一次函数与一元一次不等式教学设计教案

一次函数与一元一次不等式教学设计教案一、教学目标1.知识与技能目标理解一次函数与一元一次不等式的关系。会根据一次函数的图象求解一元一次不等式。能够运用一次函数解决实际问题中的不等式问题。2.过程与方法目标通过观察、分析一次函数图象与一元一次不等式的联系，培养学生的数形结合思想。在解决实际问题的过程中，让学生体会函数建模的一般方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。通过小组合作交流，让学生体验合作学习的快乐，增强学生的团队合作意识。

二、教学重难点1.教学重点一次函数与一元一次不等式的关系。利用一次函数图象求解一元一次不等式。2.教学难点理解一次函数值大于（或小于）零的自变量取值范围与一元一次不等式解集之间的内在联系。将实际问题转化为一次函数与一元一次不等式的问题，并进行求解。

三、教学方法讲授法、直观演示法、小组合作探究法

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.回顾旧知提问：什么是一次函数？一次函数的一般形式是什么？学生回答：形如$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）的函数叫做一次函数。追问：什么是一元一次不等式？学生回答：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。2.创设情境展示问题：某单位计划购买一批办公桌椅，已知甲公司的报价是每套桌椅1000元，另加运费1500元；乙公司的报价是每套桌椅1250元，免收运费。问该单位选择哪家公司购买办公桌椅更划算？引导学生思考：设购买桌椅$x$套，甲公司的费用为$y_1$元，乙公司的费用为$y_2$元，如何用函数关系式表示$y_1$和$y_2$？怎样通过比较$y_1$和$y_2$的大小来确定选择哪家公司更划算？学生回答：$y_1=1000x+1500$，$y_2=1250x$。当$y_1<y_2$时，$1000x+1500<1250x$，解这个不等式就能知道在什么情况下选择甲公司更划算；当$y_1>y_2$时，$1000x+1500>1250x$，解这个不等式就能知道在什么情况下选择乙公司更划算。教师总结：由此可见，一次函数与一元一次不等式之间存在着紧密的联系，今天我们就来深入探究一次函数与一元一次不等式。

（二）探究新知（20分钟）1.一次函数与一元一次不等式的关系给出一次函数$y=2x1$，让学生思考当$y>0$时，$x$的取值范围是多少？学生独立思考后，小组内交流讨论。小组代表发言：当$y>0$时，即$2x1>0$，解这个不等式得$x>\frac{1}{2}$。教师引导：从函数图象的角度来看，$y=2x1$的图象是一条直线，当$y>0$时，也就是图象在$x$轴上方的部分，此时对应的$x$的取值范围就是不等式$2x1>0$的解集。展示$y=2x1$的图象，在图象上标注出$y>0$的部分，让学生直观地观察$x$的取值范围。总结归纳：对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$y>0$时，$kx+b>0$；当$y<0$时，$kx+b<0$。一次函数值大于（或小于）零的自变量取值范围就是相应一元一次不等式的解集。2.利用一次函数图象求解一元一次不等式例1：利用函数图象解不等式$3x+1>2x2$。分析：将不等式$3x+1>2x2$变形为$3x2x>21$，即$x>3$。我们也可以通过一次函数图象来求解。设$y_1=3x+1$，$y_2=2x2$，在同一平面直角坐标系中画出$y_1$和$y_2$的图象。教师在黑板上画出$y_1=3x+1$和$y_2=2x2$的图象（如下）：对于$y_1=3x+1$，当$x=0$时，$y=1$；当$y=0$时，$x=\frac{1}{3}$。对于$y_2=2x2$，当$x=0$时，$y=2$；当$y=0$时，$x=1$。引导学生观察图象：当$x$取何值时，$y_1$的图象在$y_2$的图象上方？学生观察图象后回答：当$x>3$时，$y_1$的图象在$y_2$的图象上方，即$3x+1>2x2$。总结方法：把一元一次不等式转化为两个一次函数$y_1=k_1x+b_1$和$y_2=k_2x+b_2$。在同一平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图象。观察图象，找出$y_1$的图象在$y_2$的图象上方（或下方）时自变量$x$的取值范围，这个取值范围就是一元一次不等式的解集。

（三）课堂练习（15分钟）1.利用函数图象解不等式：$2x3>x+1$$2x+1<3x4$2.已知一次函数$y=x+3$，当$y<0$时，求$x$的取值范围。3.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%。设该学校计划购买$x$台电脑，分别写出两家商场的收费$y_1$，$y_2$与$x$之间的函数关系式，并通过函数图象分析，选择哪家商场购买更优惠？

学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。完成后，教师请部分学生上台展示解题过程，进行讲解，其他学生进行评价，教师总结点评。

（四）拓展延伸（10分钟）1.展示问题：某童装厂现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套。已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元。设生产L型号的童装$x$套，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为$y$元。求$y$与$x$之间的函数关系式，并写出自变量$x$的取值范围。该厂在生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂所获的利润最大？最大利润是多少？2.分析问题：学生分组讨论，找出题目中的等量关系和不等关系。小组代表发言：利润$y=45x+30(50x)$，化简得$y=15x+1500$。因为甲种布料38米，乙种布料26米，所以可得不等式组：$0.5x+0.9(50x)≤38$$x+0.2(50x)≤26$解第一个不等式：$0.5x+450.9x≤38$$0.4x≤7$$x≥17.5$解第二个不等式：$x+100.2x≤26$$0.8x≤16$$x≤20$所以自变量$x$的取值范围是$17.5≤x≤20$，且$x$为整数。3.解决问题：对于函数$y=15x+1500$，因为$k=15>0$，所以$y$随$x$的增大而增大。又因为$17.5≤x≤20$，且$x$为整数，所以当$x=20$时，$y$有最大值。$y_{最大}=15×20+1500=1800$（元）

教师引导学生回顾解题过程，总结解决此类实际问题的一般方法：先根据题意列出函数关系式和不等式组，然后求解不等式组确定自变量的取值范围，最后根据函数的性质求出最值。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容：一次函数与一元一次不等式的关系是什么？如何利用一次函数图象求解一元一次不等式？在解决实际问题中，怎样将问题转化为一次函数与一元一次不等式的问题进行求解？2.学生思考后，教师请几位学生回答，教师进行补充完善，强调重点知识和方法。

（六）布置作业（5分钟）1.必做题：教材第[X]页练习第[X]题。已知一次函数$y=3x5$，当$y>1$时，求$x$的取值范围。2.选做题：某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元。设商场投入资金$x$元，请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对一次函数与一元一次不等式的关系有了较深入的理解，掌握了利用一次函数图象求解一元一次不等式的方法，并能运用