《备考指南一轮 数学 》课件-第8章 第2讲

第八章第2讲[A级基础达标]1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A2．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【答案】C3．(2019年银川一中模拟)已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，则异面直线PA与MN所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】A4．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c【答案】C5．如图所示是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是()

ABCD【答案】D6．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．【答案】平行或异面7．(2019年西安模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．eq\f(π,3)【解析】如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ【答案】1【解析】由PQ∥平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PM＝eq\f(1,2)AA1＝1．9．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P－ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).10．已知正方体ABCD－A1B1C1D(1)求直线AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求直线A1C1与EF所成角的大小解：(1)如图，连接B1C，AB1，则B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1所以直线A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1AC⊥BD，AC∥A1C1因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC．所以EF⊥A1C所以直线A1C1与EF[B级能力提升]11．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形，④不正确．12．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(1,2)，则下列结论中正确的是()A．AC⊥AFB．AC⊥平面BEFC．AB与平面BEF所成角是45°D．△AEF面积与△BEF的面积相等【答案】BC【解析】连接BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1．对于A项，AC与AF不垂直，假设AC⊥AF，又AC⊥EF，且AF∩EF＝F，则AC⊥平面AEF，又AC⊥平面BB1D1D，所以平面AEF∥平面BB1D1D，这显然不成立，即假设不成立，故A错误；对于B项，由AC⊥平面BB1D1D，判断AC⊥平面BEF，故B正确；对于C项，由AC⊥平面BB1D1D，则垂足O为AC与BD的交点，所以∠ABD是直线AB与平面BEF所成的角，且∠ABD＝45°，故C正确；对于D项，点A、B到直线B1D1的距离不相等，所以△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选BC．13．已知异面直线a与b所成的角为＝70°，P为空间一点，则过P点与a和b所成的角都是45°的直线有________条．【答案】2【解析】平移a，b过点P，过P点作直线a，b夹角的平分线c，这时c与a，b所成的角均为35°，过点P作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成的角均为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成的角单调递增，必经过45°，因为可向两边旋转，所以有2条．14．如图所示，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________．【答案】90°【解析】如图，延长DA至E，使AE＝DA，连接PE，BE.因为∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，所以DE＝BC，DE∥BC．所以四边形CBED为平行四边形，故CD∥BE，则∠PBE为异面直线CD与PB所成的角．在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，由余弦定理，得PE＝eq\r(PA2＋AE2－2PA·AEcos∠PAE)＝eq\r(3)AE.在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，所以BE＝eq\r(2)AE.因为△PAB是等边三角形，所以PB＝AB＝AE，所以PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，所以∠PBE＝90°.15．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成角的余弦值．解：(1)如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以C1C⊥底面ABC，所以C1C又因为EC＝2FB＝2，所以OM∥EC∥FB，且OM＝eq\f(1,2)EC＝FB．所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．易求得AF＝EF＝eq\r(5)，OF＝eq\r(3)，EO＝eq\r(2)，又O为AE的中点，所以OF⊥AE.所以cos∠OFE＝eq\f(OF,EF)＝eq\f(\r(3),\r(5))＝eq\f(\r(15),5).所以BM与EF所成的角的余弦值为eq\f(\r(15),5).16．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥O－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，所以ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角．由已知可得DE＝eq\r(2)，EM＝eq\r(3)，MD＝eq\r(5)，所以DE2＋EM2＝MD2，所以△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°.所以tan∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).所以异面直线OC与MD所成角的正切值为eq\f(\r(6),3).[C级创新突破]17．(2020年山东模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱(直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱)．如图，棱柱ABC－A1B1C1为一个“堑堵”，底面ABC的三边中的最长边与最短边分别为AB，AC，且AB＝5，AC＝3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，则当△APC1的面积取最小值时，异面直线AA1与PC1所成角的余弦值为________【答案】eq\f(2,3)【解析】设BB1＝x，BP＝y，则B1P＝x－y.由题意可得BC＝4，所以PC2＝BC2＋BP2＝16＋y2，PCeq\o\al(2,1)＝B1Ceq\o\al(2,1)＋B1P2＝16＋(x－y)2.由PC2＋PCeq\o\al(2,1)＝CCeq\o\al(2,1)，得16＋y2＋16＋(x－y)2＝x2，整理得x＝eq\f(y2＋16,y).过点P作PQ⊥CC1交于点Q，再过点Q作QM⊥AC1交于点M，则PM⊥AC1，即PM为△APC1的边AC1上的高．因为sin∠AC1C＝eq\f(MQ,C1Q)＝eq\f(AC,AC1)，所以MQ＝eq\f(AC·C1Q,AC1)＝eq\f(3x－y,\r(9＋x2))，所以PM2＝PQ2＋MQ2＝16＋eq\f(9x－y2,9＋x2)，S2△APC1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·PM·AC1))2＝eq\f(1,4)·PM2·ACeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,4)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(16＋\f(9x－y2,9＋x2)))·(9＋x2)＝eq\f(1,4)·[16(9＋x2)＋9(x－y)2]．把x＝eq\f(y2＋16,y)代入上式，化简得S2△APC1＝eq\f(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16y2＋\f(25×162,y2)＋656))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2·4y·,\f(5×16,y)＋656))，当且仅当4y＝eq\f(5×16,y)，即x＝eq\f(18,\r(5))，y＝2eq\r(5)时，等号成立，此时△APC1的面积取得最小值．因为AA1∥BB1，所以∠B1PC1即为异面直线AA1与PC1所成角．此时sin∠B1PC1＝eq\f(B1C1,PC1)＝eq\f(4,\r(16＋x－y2))＝eq\f(\r(5),3)，所以cos∠B1PC1＝eq\f(2,3)，即异面直线AA1与PC1所成角的余弦值为eq\f(2,3).18．(2020年六安期末)已知正四棱锥P－ABCD的表面积为2，记正四棱锥的高为h.(1)试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值；(2)当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的正切值．解：(1)设正四棱锥的底面边长为a，侧面三角形的高为H，则a2＋2aH＝2，所以H＝eq\f(1,a)－eq\f(a,2).又H2＝h2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2，所以a＝eq\f(1,\r(1＋h2)).所以正四棱锥体积V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(h,31＋h2)＝eq\f(1,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h＋\f(1,h)))