高中数学讲义-极坐标与参数方程

极坐标与参数方程

一、教学目标

本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的

概念等基础学问，驾驭极坐标与直角坐标的相互转化，驾驭一般常见曲线和直

线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想一一换元思

想。

二、考纲解读

极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每

年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为

二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简洁，所以在

考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。

三、学问点回顾

（-）曲线的参数方程的定义：

在取定的坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标my都是某个变数力的函

数，即=

y=/（O

并且对于大每一个允许值，由方程组所确定的点〃（％y）都在这条曲线上,

则方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系my之间关系的变数叫做参变

数，简称参数.

（二）常见曲线的参数方程如下：

1.过定点（荀，%）,倾角为a的直线：

「7。+小颉（力为参数）

L>=Vo+%sina

其中参数方是以定点〃（芯，K）为起点，对应于t点MQx,y）为终点的有

向线段的数量，又称为点月与点"间的有向距离.

依据力的几何意义，有以下结论.

.设力、£是直线上随意两点，它们对应的参数分别为和，则q=上「"=

-AV—4%公■

.线段的中点所对应的参数值等于

2.中心在（荀，%）,半径等于r的圆:

jx=%+rcosO

（。为参数）

1>=%+rsin。

3.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆:

rx=acosO（。为参数）｛（或x=bcos^

Iy=bsinOLy=〃sin，

中心在点（xOO）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程

x=x+acosa,俎金拓、

<0,.（tz为参数）

y=y0+bsma.

4.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：

x=asecO/八位公出八「x=btg0、

｛r,八（。为参数）｛（或3八）

Ly=/?tg"Ly=asecu

5.顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：

x=2pr（方为参数，p>o）

1y=2pt

直线的参数方程和参数的几何意义

过定点,（两，％）,倾斜角为戊的直线的参数方程是打二：,。工潦］（t

Iy—十Isin.cz

为参数）.

（三）极坐标系

I、定义：在平面内取一个定点0,叫做极点，引一条射线，叫做极轴，再

选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的随意一点

M,用P表示线段的长度，。表示从到的角，P叫做点M的极径，。叫做点M的

极角，有序数对（P,。）就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标

图1

2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位与它的

方向.极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下,

一对有序实数.、6对应惟一点尸（P，。），但平面内任一个点尸的极坐标不惟

一.一个点可以有多数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P（p,（极点除

外）的全部坐标为（p,。+2左/）或（-p,。+（2左+1）乃），（左eZ）.极点的极径

为0,而极角随意取.若对0、0的取值范围加以限制.则除极点外，平面上点

的极坐标就惟一了，如限定P〉0,0^。<2万或P<0,-乃万等.

极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是---对应的，而极

坐标系中，点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.

3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为：

（1）8=夕°（2）P=’_（3）夕=--—

cos。cos。

（4）^=—⑸凄—⑹凄一--

sin。sin。cos（^-^）

M

M

PP

ee

Oa~aO

图2图3

aa

p=-------)=------------

cos3cos0

M

aP

e

O

图5

图4a

asin。

p=------

sin。

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a>0)：

⑴/=a(2)p=2QCOS6⑶p-—2acos6

(4)p-2asin6(5)p=-2asin0(6)p=2acos6—0)

p=2acos(。一夕)

5、极坐标与直角坐标互化公式:

四、例题讲解

1、已知一条直线上两点M（M，%）、"2G2,为），以分点"（x，y）分根孙所成

的比2为参数，写出参数方程。

x=3—乌

2、直线2（力为参数）的倾斜角是

y=l+-t

2

万57r

B.

c.~6D.

x=—1+/cosa

3、方程t为非零常数，a为参数）表示的曲线是

y=3+1sina

)

A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线

1案（。为参数），则椭圆上一点呜，-2⑨

4、已知椭圆的参数方程是

的离心角可以是A-IB-Tc-TD-T

5、把弹道曲线的参数方程

%=%cos。•普

?）化成一般方程.

.12

y=vGsma-t--gt,⑵

6、将下列数方程化成一般方程.

21-t2

X=---7(t+-)

①卜=2/工=-1-+-产71+产x=ax=—my+1

y=2t2t2t7/1、y=mx+\

y=-2y=b(t——)

l+r

x=acosa,、,公立心x=cos20

(a为参数,。>b>0)

y=bsina.y=sin。

7、直线3x—2y+6=0,令y=+6（方为参数）.求直线的参数方程.

8、已知圆锥曲线方程是卜=3[5及。+1

[y=-6t+4sin^9-5

（1）若t为参数，夕为常数，求该曲线的一般方程，并求出焦点到准线的

距离；

（2）若0为参数，t为常数，求这圆锥曲线的一般方程并求它的离心率。

9、在圆/+2x+/=o上求一点，使它到直线2x+3y—5=0的距离最大.

10、在椭圆4/+9/=36上求一点只使它到直线x+2y+18=0的距离最短（或

最长）.

11、已知直线；1：卜=彳匚子与双曲线匕9方=1相交于A、B两点，P点坐标

P（-l,2）o求:

（1）的值；（2）弦长；弦中点M与点P的距离。

12、已知A（2,0），点在圆x22=4上移动，且有〃AC=*求MBC重心G的轨迹

方程。

22

13、已知椭圆十『I和圆春⑹F在椭圆上求一点P”在圆上求一点P2,

使Rl达到最大值，并求出此最大值。

14、已知直线1过定点P(-2,0),与抛物线C:x2+8=0相交于A、B两点。(1)

若P为线段的中点，求直线1的方程；(2)若1绕P点转动，求的中点M的方

程.

22

15、椭圆二+==1(。>6>0)上是否存在点P,使得由P点向圆x222所引的两条

a-b

切线相互垂直？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

16、在同一极坐标系中与极坐标"(一2,40°)表示同一点的极坐标是()

(⑷(-2,220°)(B)(-2,140°)(C)(2,-140°)QD)

(2,-40°)

17、已知△的三个顶点的极坐标分别为力(4,0°),£(—4,—120°),C(2V3+

2,30°),则△为()。

CA)正三角形(£)等腰直角三角形

(O直角非等腰三角形(〃)等腰非直角三角形

18、在直角坐标系中，已知点欣一2,1),以原点。为极点，x轴正半轴为极轴

建立极坐标系，当极角在(一n,n］内时，〃点的极坐标为()

(A)(V5,口一(——))(夕)(—出,(——)

22

(0(一逐，页——)(27)(V5,—Ji+—)

22

19、把点4(一53),3(3,-2)的极坐标化为直角坐标。

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20、把点M(-g,-1),N(O,-3),P("O)的直角坐标化为极坐标。

21、已知正三角形中，顶点A、B的极坐标分别为A(1,O),8(右,自，试求顶点C的极坐标。

22、化圆的直角方程x?2-20为极坐标方程。

23、化圆锥曲线的极坐标方程夕=3:为直角坐标方程。

i-ecos。

24、探讨下列问题：

(1)在极坐标系里，过点〃(4,30°)而平行于极轴的直线2的方程是()

(/)/?sin6=2(6)psinO——2(C)夕cos9=2(〃)Pcos9=—2

(2)在极坐标系中，已知两点(4,1,鹿(一6,—it—(―^^)),则线段

(/)(-1,迪)

M版的中点极坐标为((6)(1,

")(-1,(—谑))(D)(1,-1)

(3)已知夕点的极坐标是(1,口)，则过点〃且垂直于极轴的直线的极坐标方程

是()。

(Z)P=1(6)P=o(。)P0=—1(。)P0=1

(4)若P>0,则下列极坐标方程中，表示直线的是()o

(4)0=四(6)。=如(0<0或”)(C)0=1(〃)9=1(0

32

W。Wn)

(5)若点力(一4,工兀)与6关于直线。=生对称，在「>0,一JiWOVn条件

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下，£的极坐标是o

(6)直线P(。一巴)=1与极轴所成的角是_______________o

4

(7)直线P(0-a)=l与直线p(0-a)=l的位置关系是。

(8)直线+1(K0且AW—工)与曲线P?。一P2。=0的公共点的个数是()。

2

(4)0")1(02(〃)3

25、探讨下列问题；

(1)圆的半径是1,圆心的极坐标是(1,0),则这个圆的极坐标方程是()。

(Z)P=0(0p=o(C)p=2。(D)p=29

(2)极坐标方程分别是p=。和p=。的两个圆的圆心距是()□

(A)2QB)框(C)1QD)正

2

(3)在极坐标系中和圆P=4。相切的一条直线方程是()

(Z)P0=2(0P0=2(C)P。=4(切P0=4

(4)圆0=。一。与极轴相切的充分必要条件是()

(Z)〃•£=()QB)力+毋=0(C)D=0,£关0(。)30,£=0

(5)圆p=260-20的圆心的极坐标为