2025年高考数学必刷题分类：第6讲、函数的概念（教师版）

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第6讲函数的概念

知识梳理

1、函数的概念

（1）一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都

有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B

的一个函数．记作：xyf(x)，xA．集合A叫做函数的定义域，记为D，集合{yyf(x)，

xA}叫做值域，记为C．

（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．

2、函数的三要素

（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．

（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函

数．

3、函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

4、分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这

种函数称为分段函数．

【解题方法总结】

1、基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；

（5）三角函数中的正切ytanx的定义域是xxR,且xkx,kZ；

2

（6）已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx

的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式

子的范围相同；

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（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函

数的定义域．

2、基本初等函数的值域

（1）ykxb(k0)的值域是R．

4acb2

（2）yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为{yy}；当a0时，

4a

4acb2

值域为{yy}．

4a

k

（3）y(k0)的值域是{yy0}．

x

（4）yax(a0且a1)的值域是(0，)．

（5）ylogax(a0且a1)的值域是R．

必考题型全归纳

题型一：函数的概念

例1．（2024·山东潍坊·统考一模）存在函数fx满足：对任意xR都有（）

A．fxx3B．fsinxx2C．fx22xxD．fxx21

【答案】D

【解析】对于A，当x1时，f1f(1)1；当x=1时，f1f(1)1，

不符合函数定义，A错误；

对于B,令x0，则fsinxf(0)0，令xπ，则fsinπf(0)π2，

不符合函数定义，B错误；

对于C,令x0，则f(0)0，令x2，则f(0)f(2)22(2)2，

不符合函数定义，C错误；

对于D,fxx21|x|21,xR,则|x|0，则存在x0时，f(x)x21，

符合函数定义，即存在函数f(x)x21,(x0)满足：对任意xR都有fxx21，D

正确，

故选：D

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例2．（2024·重庆·二模）任给u2,0，对应关系f使方程u2v0的解v与u对应，则

vf(u)是函数的一个充分条件是（）

A．v[4,4]B．v4,2C．v[2,2]D．v4,2

【答案】A

【解析】根据函数的定义，对任意u[2,0]，按vu2，在v的范围中必有唯一的值与之

对应，u2[0,4]，则u2[4,0]，则v的范围要包含[4,0]，

故选：A．

例3．（2024·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数fx的图象的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求

故选：D

变式1．（2024·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线x1的交点个数（）

A．至少1个B．至多1个C．仅有1个D．有0个、1个或多

个

【答案】B

【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线x1没有交点，

若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线x1有1个交点，

故选：B.

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【解题方法总结】

利用函数概念判断

题型二：同一函数的判断

例4．（2024·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）．

A．fxlgx2，gx2lgx

x1

B．fxlg，gxlgx1lgx1

x1

1u1v

C．fu，gv

1u1v

2

D．fxx，gxx2

【答案】C

【解析】对于A：fxlgx2的定义域为R，gx2lgx的定义域为0,.因为定义域不

同，所以fx和gx不是同一个函数.故A错误；

x1

对于B：fxlg的定义域为,11,，gxlgx1lgx1的定义域为

x1

1,.因为定义域不同，所以fx和gx不是同一个函数.故B错误；

1u1v

对于C：fu的定义域为1,1，gv的定义域为1,1，所以定义域相

1u1v

同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；

2

对于D：fxx的定义域为0,，gxx2的定义域为R.因为定义域不同，所

以fx和gx不是同一个函数.故D错误；

故选：C

例5．（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）

A．yx,uv2B．yx2,s(t)2

x21

C．y,mn1D．yx1x1,yx21

x1

【答案】A

【解析】对于A，yx和uv2的定义域都是R，对应关系也相同，是同一个函数，故

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选项A正确；

对于B，函数yx2的定义域为R，函数s(t)2的定义域为[0,)，定义域不同，不是

同一个函数，故选项B错误；

x21

对于C，函数y的定义域为{x|x1}，函数mn1的定义域为R，定义域不同，不

x1

是同一个函数，故选项C错误；

对于D，函数yx1x1的定义域为{x|x1}，函数yx21的定义域为

(,1][1,)，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误，

故选：A.

例6．（2024·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A．f(x)elnx，g(x)x

x24

B．f(x),g(x)x2

x2

C．f(x)x0，g(x)1

D．f(x)|x|，x{1，0，1}，g(x)x2，x{1，0，1}

【答案】D

【解析】对于A：f(x)的定义域是(0,)，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相同，

不是同一函数，

对于B：f(x)x2，(x2)，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一

函数，

对于C：f(x)的定义域为{x|x0}，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是

同一函数，

对于D：f(x)对应点的坐标为{(1,1)，(0,0)，(1,1)}，g(x)对应点的坐标为{(1,1)，(0,0)，

(1,1)}，两个函数对应坐标相同，是同一函数，

故选：D．

【解题方法总结】

当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不

同的函数．

题型三：给出函数解析式求解定义域

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x1

例7．（2024·北京·高三专题练习）函数f(x)的定义域为________.

x21

【答案】xx1

x1

【解析】令0，可得x10，解得x1.

x21

x1

故函数f(x)的定义域为xx1.

x21

故答案为:xx1.

x299x2

例8．（2024·全国·高三专题练习）若y1，则3x4y_________.

x2

【答案】5或13

x299x2

【解析】由y1有意义可得

x2

x290,9x20,x20，

所以x3或x3，

当x3时，y1，3x4y13，

当x3时，y1，3x4y5，

故答案为：5或13.

例．（高三课时练习）函数22的定义域为．

92024·f(x)2xx3log332xx______

【答案】1,3

2x2x30

【解析】要使函数有意义，则，解得

21x3.

32xx0

所以函数的定义域为[1,3).

故答案为：[1,3).

a

变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足ab2,loga，则函数

bb

1

f(x)logx的定义域为___________.

ba

【答案】0,2

aa

aa2

【解析】由logba可得b，即b2，所以2a2b，代入ab

bbabbb

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即2bb2，解得b2或b0（舍），则a4

1

所以fxlogx

24

x0

1解得0x2

log4x0

2

所以函数定义域为0,2

故答案为:0,2

变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm，底边长ycm是腰长

xcm的函数，则函数的定义域为()

A．10,20B．0,10C．5,10D．5,10

【答案】A

【解析】由题设有y402x，

402x0

由得10x20，故选A.

xx402x

【解题方法总结】

对求函数定义域问题的思路是：

（1）先列出使式子fx有意义的不等式或不等式组；

（2）解不等式组；

（3）将解集写成集合或区间的形式．

题型四：抽象函数定义域

例10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数yf11x的定义域为{x|0x1}，则

函数yf(x)的定义域为_____

【答案】[1,2]

【解析】令u11x，由0x1得：1x001x1，

所以01x1111x2，即1u2，

所以，函数yf(x)的定义域为[1,2].

故答案为：[1,2]

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1121

例11．（2024·高三课时练习）已知函数fx的定义域为,，则函数yfxx

222

的定义域为______．

1515

【答案】,01,

22

11

【解析】因为函数yf(x)的定义域为,，

22

2112111515

所以在函数yfxx中，xx，解得x0或1x，

222222

211515

故函数yfxx的定义域为,01,.

222

1515

故答案为：,01,.

22

例12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx1定义域为1,4，则函数fx1的定

义域为_______.

【答案】3,6

【解析】因fx1的定义域为1,4，则当1x4时，2x15，

即fx的定义域为2,5，于是fx1中有2x15，解得3x6，

所以函数fx1的定义域为3,6.

故答案为：3,6

f2x

y

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数fx的定义域为3,6，则函数

log12x

2

的定义域为______

3

【答案】,2

2

3

x3

32x62

【解析】由函数f(x)的定义域是3,6，得到32x6，故2x0即2x.

log(2x)01x2

1

2

33

解得:x2；所以原函数的定义域是：,2.

22

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3

故答案为：,2.

2

变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)的定义域为[2,3]，则函数f(2x1)的定

义域为__________．

1

【答案】[,2]

2

1

【解析】由22x13解得x2，

2

1

所以函数f(2x1)的定义域为[,2].

2

1

故答案为：[,2]

2

【解题方法总结】

1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若f(x)的

定义域为(a，b)，求f[g(x)]中ag(x)b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域，口诀：定

义域指的是x的范围，括号范围相同．已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域

2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域

的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．

题型五：函数定义域的应用

2x3

例13．（2024·全国·高三专题练习）若函数f(x)的定义域为R，则实数a的

ax2ax1

取值范围是__________．

【答案】[0,4)

【解析】f(x)的定义域是R，则ax2ax10恒成立，

a0时，ax2ax110恒成立，

a0

a0时，则2，解得0a4，

Δa4a0

综上，0a4．

故答案为：[0,4)．

例14．（2024·全国·高三专题练习）已知f(x)lnx2ax1的定义域为R，那么a的取值

范围为_________．

【答案】(2,2)

【解析】依题可知，x2ax10的解集为R，所以a240，解得2a2．

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故答案为：(2,2)．

1

例15．（2024·全国·高三专题练习）函数f(x)的定义域为(,)，则实数a

ax24ax3

的取值范围是___________.

3

【答案】0,

4

1

【解析】因为函数f(x)的定义域为R，所以ax24ax30的解为R，

ax24ax3

即函数yax24ax3的图象与x轴没有交点，

（1）当a0时，函数y3与x轴没有交点，故a0成立；

2

（2）当a0时，要使函数yax24ax3的图象与x轴没有交点，则4a12a0，

3

解得0a.

4

3

综上：实数a的取值范围是0,.

4

3

故答案为：0,

4

21

变式6．（2024·全国·高三专题练习）若函数f(x)2x2axa的定义域是R，则实数a的

2

取值范围是__________.

1515

【答案】,

22

21x22axa1

【解析】由函数fx2x2axa的定义域为R,得20恒成立,化简得

22

21515

x22axa10恒成立,所以由4a41a0解得:,.

22

1515

故答案为:

,.

22

【解题方法总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，

必要时对参数进行分类讨论．

题型六：函数解析式的求法

例16．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式：

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(1)已知f1sinxcos2x，求fx的解析式；

121

(2)已知fxx，求fx的解析式；

xx2

(3)已知fx是一次函数且3fx12fx12x17，求fx的解析式；

(4)已知fx满足2fxfx3x，求fx的解析式.

【解析】(1)设1sinxt，t0,2，则sinx1t

∵f1sinxcos2x1sin2x

2

∴ft11t2tt2，t0,2

即fx2xx2，x0,2

2

1211

(2)∵f(x)xx2

xx2x

1

由勾型函数yx的性质可得，其值域为,2U2,

x

所以fxx22，x,22,

(3)由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，

∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，

a2,a2,

∴解得

5ab17,b7,

∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.

(4)∵2f(x)+f(-x)=3x，①

∴将x用x替换，得2fxfx3x，②

由①②解得f(x)=3x.

例17．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求fx的解析式

(1)已知fx满足fx1x24x1

(2)已知fx是一次函数，且满足3fx1fx2x9；

1

(3)已知fx满足2ffxxx0

x

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【解析】（1）令tx1，则xt1，

2

故ftt14t11t22t2，

所以fxx22x2；

（2）设fxkxb，

因为3fx1fx2x9，

所以3kx13bkxb2x9，

即2kx3k2b2x9，

2k2k1

所以，解得，

3k2b9b3

所以fxx3；

1

（3）因为2ffxxx0①，

x

11

所以2fxf②，

xx

2

2②①得3fxx，

x

2x

所以fxx0.

3x3

例18．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．

(1)已知fx1x2x，则f(x)的解析式为__________．

1

(2)已知f(x)满足2f(x)f3x，求f(x)的解析式．

x

(3)已知f(0)1，对任意的实数x，y都有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的解析式．

【解析】（1）方法一（换元法）：令x1t，则x(t1)2，t1．

所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，

所以函数f(x)的解析式为f(x)x21(x1)．

2

方法二（配凑法）：fx1x2xx2x11x11．

因为x11，所以函数f(x)的解析式为f(x)x21(x1)．

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1113

（2）将代入2f(x)f3x，得2ff(x)，

xxxx

1

2f(x)f()3x,

x1

因此，解得f(x)2x(x0)．

13x

2f()f(x),

xx

（3）令x0，得f(y)f(0)y(y1)1y2y(y)2(y)1，

所以f(y)y2y1，即f(x)x2x1．

1x1x2

变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知f()，求f(x)的解析式.

1x1x2

1x1x21x1t

【解析】由f()，令t,t1，则x，

1x1x21x1t

1t

1()2

1t2t

所以f(t)2,t1，

1t2

1()t1

1t

2x

所以f(x)2(x1).

x1

变式8．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：

fxyfxfy2xy的函数解析式为______.

【答案】fxx2

【解析】fxyfxfy2xy中，令xy0，解得f00，

令yx得fxxfxfx2x2，故fxfx2x2，

不妨设fxx2，满足要求.

故答案为：fxx2

变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知定义在0，上的单调函数fx，若对任意

x0，都有ffxlog1x3，则方程fx2x的解集为_______．

2

【答案】4，16．

【解析】∵定义在0，上的单调函数fx，对任意x0，都有ffxlog1x3，

2

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令fxlog1xc，则fc3，

2

，

在上式中令xc，则fclog1cclog1cc3，解得c2，

22

故fx2log1x，

2

由得，2log1x2x即，

fx2xlog2xx

2

在同一坐标系中作出函数ylog2x和yx的图像，

可知这两个图像有2个交点，即4，2和16，4，

则方程fx2x的解集为4，16．

故答案为：4，16.

【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下：

（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．

（2）当已知表达式为fgx时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x的式子配成gx，

用配凑法．若易换元后求出x，用换元法．

（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．

（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．

（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．

1

（6）若已知成对出现f(x)，f()或f(x)，f(x)，类型的抽象函数表达式，则常用

x

解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出f(x)．

题型七：函数值域的求解

例19．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的值域

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3x

（1）y；

4x

5

（2）y；

2x24x3

（3）y12xx；

x24x3

（4）y；

x2x6

（5）y432xx2；

（6）yx12x；

（7）yx35x；

（8）yx26x5

3x1

（9）y；

x2

2x2x11

（10）y(x).

2x12

3x7

【解析】（1）分式函数y1，

4xx4

7

定义域为xx4，故0，所有y1，

x4

故值域为(,1)(1,)；

52

（2）函数y中，分母t2x24x32x111，

2x24x3

5

则y0,5，故值域为0,5；

t

1

（3）函数y12xx中，令12x0得x，

2

易见函数y12x和yx都是减函数，

111

故函数y12xx在x时是递减的，故x时y，

22min2

1

故值域为,；

2

x24x3x13

（4）y1,x3，

x2x6x2x2

2

故值域为yy1且y；

5

（5）y432xx24(x1)24，x1,3

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而0(x1)244，x0,4，

0(x1)242，424(x1)2440，

即2y4，故值域为2,4；

1

（6）函数yx12x，定义域为,，令t12x0，

2

1t21t2t21

所以x，所以ytt,t0，对称轴方程为t1，

2222

11

所以t1时，函数y11，故值域为,1；

max22

x30

（7）由题意得，解得3x5，

5x0

2

则y222x35x22x41,3x5，

22

故x410,1，2x410,2，2y24，

由y的非负性知，2y2，故函数的值域为2,2；

22

（8）函数yx26x5x34，定义域为5,1，x340,4，故

2

yx340,2，即值域为0,2；

3x17

（9）函数y3，定义域为xx2，

x2x2

7

故0，所有y3，故值域为(,3)(3,)；

x2

2

2x2x12x12x12121

（10）函数y2x1，

2x122x122x12

1121

令t2x1，则由x知，t0，yt，

22t2

2

根据对勾函数t在0,2递减，在2,递增,

t

1111

可知时，，故值域为

t2ymin2222,.

2222

例20．（2024·全国·高三专题练习）若函数yf(x)的值域是1,3，则函数g(x)32f(x1)

的值域为__．

【答案】3,5

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【解析】因为函数yf(x)的值域是1,3，

所以函数yf(x1)的值域为1,3，

则y2f(x1)的值域为6,2，

所以函数g(x)32f(x1)的值域为3,5．

故答案为：3,5．

sinx2

例21．（2024·全国·高三专题练习）函数y的值域为_____

cosx2

4747

【答案】,

33

sinx2

【解析】y表示点cosx,sinx与点2,2连线的斜率，

cosx2

cosx,sinx的轨迹为圆x2y21，

sinx2

y表示圆x2y21上的点与点2,2连线的斜率，

cosx2

由图象可知：过2,2作圆x2y21的切线，斜率必然存在，

则设过2,2的圆x2y21的切线方程为y2kx2，即kxy2k20，

2k247

圆心0,0到切线的距离d1，解得：k，

k213

4747

结合图象可知：圆x2y21上的点与点2,2连线的斜率的取值范围为,，

33

sinx24747

即y的值域为,.

cosx233

[在此处键入]

[在此处键入]

4747

故答案为：,.

33

x24

变式10．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数y的最大值为

x25

______.

2

【答案】/0.4

5

x24x241

y22

【解析】因为21，

x5x41x4

x24

令tx24，则t2，

11

令gxx，x2,，因为函数gxx在2,上单调递增，所以

xx

5

gx,，

2

12

2150,

即x4,，则215，

x242x4

x24

x242

即函数y的最大值为，当且仅当x0时取等号.

x255

2

故答案为：

5

变式11．（2024·全国·高三专题练习）函数y1x2x的值域为______.

【答案】3,6

1x0

【解析】由y1x2x有意义可得，所以2x1，

2x0

y1x2x的定义域为[2,1]，

y(1x2x)21x2x21x2x

2

219

2(1x)(2x)32xx232x3，

24

2

199

设tx，则t,0，y2t3，则y[3,6].

244

[在此处键入]

[在此处键入]

故答案为：3,6．

【解题方法总结】

函数值域的求法主要有以下几种

（1）观察法：根据最基本函数值域（如x2≥0，ax0及函数的图像、性质、简单的

计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．

（2）配方法：对于形如yax2bxca0的值域问题可充分利用二次函数可配方的

特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．

（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．

（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．

（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形yaxbcxd的值城，可通

过换元将原函数转化为二次型函数．

（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便

于分析．

（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别

ax2bxc

式求值域，一般地，形如yAxB，ax2bxc或y的函数值域问题可运

dx2exf

用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．

（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于

形如yaxbcxd或yaxbcxd的函数，当ac>0时可利用单调性法．

（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出

现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．

（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求

出函数的值域．

题型八：分段函数的应用

f(x1),x0

例22．（2024·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数f(x)2，则

x3x4,x0

ff4（）

[在此处键入]

[在此处键入]

A．-6B．0C．4D．6

【答案】A

【解析】由分段函数知：当x0时，周期T1，

所以f4f45f11346，

所以ff4f6f67f16．

故选：A

3x11,x1,

例23．（2024·河南·统考模拟预测）已知函数fx且fm2，

log3x52,x1,

则fm6（）

A．-16B．16C．26D．27

【答案】C

【解析】当m1时，fm23m1123m11m，

当m1时，fm2log3m522m4，

所以fm6f2321126，

故选：C

x22x,x0

例．（全国高三专题练习）已知，满足fafa，则的

242024··fx2a

x2x,x0

取值范围是（）

A．,20,2B．,22,

C．2,00,2D．2,02,

【答案】D

22

【解析】当a<0时，faa2a,faa2a，

22

所以fafaa2aa2a，即a22a0，解得2a0，

当a0时，faa22a,faa22a，

22

所以fafaa2aa2a，即a22a0，解得a2，

[在此处键入]

[在此处键入]

所以，a的取值范围是2,0