2025年高考数学必刷题分类：第14讲、导数的概念与运算（学生版）

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第14讲导数的概念与运算

知识梳理

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

yf(x0x)f(x0)

函数f(x)在xx0处瞬时变化率是limlim，我们称它为函数

x0xx0x

yfx在xx处的导数，记作f(x)或y．

00xx0

知识点诠释：

①增量x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．x0的意义：x与0之间

距离要多近有

多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数；

②当x0时，y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在

一个常数与

yf(xx)f(x)

00无限接近；

xx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是

位移在这一时

yf(xx)f(x)

刻的瞬间变化率，即00．

f(x0)limlim

x0xx0x

2、几何意义

，

函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义即为函数yf(x)在点P(x0y0)处

的切线的斜率．

3、物理意义

函数ss(t)在点t0处的导数s(t0)是物体在t0时刻的瞬时速度v，即vs(t0)；vv(t)

在点t0的导数v(t0)是物体在t0时刻的瞬时加速度a，即av(t0)．

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

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f(x)c（c为常数）f(x)0

f(x)xa(aQ)f(x)axa1

f(x)ax(a0，a1)f(x)axlna

1

f(x)logx(a0，a1)f(x)

axlna

f(x)exf(x)ex

1

f(x)lnxf(x)

x

f(x)sinxf(x)cosx

f(x)cosxf(x)sinx

2、导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：[f(x)g(x)]f(x)g(x)；

（2）函数积的求导法则：[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

（3）函数商的求导法则：g(x)0，则[]．

g(x)g2(x)

3、复合函数求导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

yf[g(x)]yf(u)ug(x)yxyuux

【解题方法总结】

1、在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点，处的切线方

yf(x0)f(x0)(xx0)yf(x)A(x0f(x0))

y0f(x0)

程为yf(x)f(x)(xx)，抓住关键．

000

kf(x0)

2、过点的切线方程

设切点为，，则斜率，过切点的切线方程为：，

P(x0y0)kf(x0)yy0f(x0)(xx0)

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几

A(m，n)ny0f(x0)(mx0)x0x0

个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

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必考题型全归纳

题型一：导数的定义

【例1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数yfx的图象如图所示，函数yfx的

导数为yfx，则（）

A．f(2)f(3)f(3)f(2)B．f(3)f(2)f(3)f(2)

C．f(2)f(3)f(2)f(3)D．f(3)f(3)f(2)f(2)

【对点训练1】（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器

1

内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间（t单位：s）的函数关系式为ht3t2，

3

当tt0时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当tt01时，液体上升高度的瞬时变

化率为（）

A．5cm/sB．6cm/sC．8cm/sD．10cm/s

【对点训练2】（2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数fx的导函数是fx，

1

f(xx)f(x)

若fx2，则00（）

0lim2

x0x

1

A．B．1C．2D．4

2

【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）若函数fx在x0处可导，且

fx02xfx0

lim1，则fx0（）

x02x

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1

A．1B．1C．2D．

2

【对点训练4】（2024·高三课时练习）若fx在x0处可导，则fx0可以等于（）．

fxfxxfxxfxx

A．lim00B．lim00

x0xx0x

fx2xfxxfxxfx2x

C．lim00D．lim00

x0xx0x

【解题方法总结】

对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接

写出．

题型二：求函数的导数

【例2】（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．

2

(1)fx2x1；

(2)fxln4x1；

(3)fx23x2

(4)fx5x4；

【对点训练5】（2024·高三课时练习）求下列函数的导数：

(1)y3x22x1cosx；

3x2xx5x1

(2)y；

x

(3)yx18sinxlnx；

x

(4)y2cosx3xlog3x；

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x

(5)y3sinx3log3x；

(6)yexcosxtanx．

【对点训练6】（2024·海南·统考模拟预测）在等比数列an中，a32，函数

1

fxxxaxaLxa，则f0__________．

2125

【对点训练7】（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数fx，gx定义域

211

均为R，对任意x满足fx2xgxx1，且f11，求f1g__________.

22

【对点训练8】（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx的导函数为fx，且

fxx2f1x2，则f1______．

【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)f(0)e2xex，则

f(0)__________.

【解题方法总结】

对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本

函数求导问题．

题型三：导数的几何意义

方向1、在点P处切线

3

【例3】（2024·广东广州·统考模拟预测）曲线y2x1在点1,1处的切线方程为

__________．

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3

【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）曲线f(x)ln(x2)在点0,f0处的切

2

线方程为______．

132π

【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f(x)xbxcosx，fx

32

为fx的导函数.若fx的图象关于直线x＝1对称，则曲线yfx在点2,f2处的切

线方程为______

【对点训练12】（2024·湖南·校联考模拟预测）若函数fxx32x2xR是奇

函数，则曲线yfx在点,f处的切线方程为______．

方向2、过点P的切线

【对点训练13】（2024·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线ylnx相切，则

该直线的方程是______．

【对点训练14】（2024·浙江金华·统考模拟预测）已知函数fxx3ax1，过点P2,0

存在3条直线与曲线yfx相切，则实数a的取值范围是___________.

2

【对点训练15】（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）过点,0作曲线yx3的切线，写

3

出一条切线方程：__________.

【对点训练16】（2024·海南海口·校联考模拟预测）过x轴上一点Pt,0作曲线

C:yx3ex的切线，若这样的切线不存在，则整数t的一个可能值为_________．

【对点训练17】（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线yx2ex的切线，则切点

的横坐标为___________.

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【对点训练18】（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点P1,aaR有n条直

线与函数fxx2ex的图象相切，则当n取最大值时，a的取值范围为__________.

1

【对点训练19】（2024·全国·模拟预测）已知函数fxx3f1x21，其导函数为fx，

3

则曲线fx过点P3,1的切线方程为______．

方向3、公切线

【对点训练20】（2024·云南保山·统考二模）若函数fx4lnx1与函数

1

gxx22xa0的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（）

a

11

A．0,B．,

33

212

C．,1D．,

333

x

【对点训练21】（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线yk1(x1)1与曲线ye相

切，直线yk2(x1)1与曲线ylnx相切，则k1k2的值为___________.

【对点训练22】（2024·河北邯郸·统考三模）若曲线yex与圆(xa)2y22有三条公切

线，则a的取值范围是____．

2

【对点训练23】（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线C1:f(x)xa和

曲线C2:g(x)2lnx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．

2

【对点训练24】（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线C1:f(x)x与

x1

曲线C2:gxae(a0)有且只有一条公切线，则a________．

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【对点训练25】（2024·福建南平·统考模拟预测）已知曲线yalnx和曲线y=x2有唯一

公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．

方向4、已知切线求参数问题

【对点训练26】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线yxlnx有两条过e,a的切线，

则a的范围是______.

【对点训练27】（2024·山东聊城·统考三模）若直线yxb与曲线yexax相切，

则b的最大值为（）

A．0B．1C．2D．e

a

【对点训练28】（2024·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线yx相切，则实

x

数a＝（）

143

A．0B．C．D．

252

【对点训练29】（2024·海南·校联考模拟预测）已知偶函数fxa1x23bxcd1

ab

在点1,f1处的切线方程为xy10，则（）

cd

A．1B．0C．1D．2

1

【对点训练30】（2024·全国·高三专题练习）已知M是曲线ylnxx2ax上的任一点，

2

π

若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数a的取值范围是（）

4

A．2,B．1,C．,2D．,1

1

【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知m0，n0，直线yxm1与曲

e

11

线ylnxn2相切，则的最小值是（）

mn

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A．16B．12C．8D．4

方向5、切线的条数问题

【对点训练32】（2024·河北·高三校联考阶段练习）若过点(m,n)可以作曲线ylog2x的

两条切线，则（）

A．mlog2nB．nlog2mC．mlog2nD．nlog2m

【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）若过点(a,b)可以作曲线ylnx的两条切线，

则（）

A．alnbB．blnaC．lnbaD．lnab

【对点训练34】（2024·湖南·校联考二模）若经过点a,b可以且仅可以作曲线ylnx的

一条切线，则下列选项正确的是（）

A．a0B．blnaC．alnbD．a0或blna

方向6、切线平行、垂直、重合问题

2xm

【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）若函数f(x)lnxx与g(x)的图

x1

象有一条公共切线，且该公共切线与直线y2x1平行，则实数m（）

17171717

A．B．C．D．

8642

【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）已知直线x9y80与曲线C:yx3px23x

相交于A,B，且曲线C在A,B处的切线平行，则实数p的值为（）

A．4B．4或-3C．-3或-1D．-3

【对点训练37】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线

x

fxe1(x1)在点Ax1,fx1,Bx2,fx2x1x2处的切线l1,l2互相垂直，且切线

l1,l2与y轴分别交于点D,E，记点E的纵坐标与点D的纵坐标之差为t，则（）

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2

A．2t0B．22et0

e

2

C．t2D．t2e2

e

【对点训练38】（2024·全国·高三专题练习）若函数fxaxsinx的图象上存在两条相

互垂直的切线，则实数a的值是（）

A．2B．1C．0D．1

【对点训练39】（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数yf(x)的图像

上存在两个不同的点P,Q，使得在这两点处的切线重合，则称f(x)为“切线重合函数”，下

列函数中不是“切线重合函数”的为（）

A．yx4x21B．ysinx

C．yxcosxD．yx2sinx

x2xa,x0

【对点训练40】（2024·全国·高三专题练习）已知A，B是函数fx，

xlnxa,x0

图象上不同的两点，若函数yfx在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（）

111

A．,B．,C．0,D．,

222

方向7、最值问题

【对点训练41】（2024·全国·高三专题练习）设点P在曲线yex1上，点Q在曲线y1lnx

上，则|PQ|最小值为（）

A．2B．22

C．2(1ln2)D．2(1ln2)

1

【对点训练42】（2024·全国·高三专题练习）设点P在曲线ye2x上，点Q在曲线ylnx

2

上，则|PQ|的最小值为（）

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2

A．(1ln2)B．2(1ln2)

2

2

C．2(1ln2)D．(1ln2)

2

【对点训练43】（2024·全国·高三专题练习）设点P在曲线y2ex上，点Q在曲线

ylnxln2上，则|PQ|的最小值为（）

A．1ln2B．2(1ln2)

C．2(1ln2)D．2(1ln2)

【对点训练44】（2024·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c，d满足

|ln(a1)b||cd2|0，则(ac)2(bd)2的最小值为（）

A．22B．8C．4D．16

【对点训练45】（2024·全国·高三专题练习）设函数f(x)(xa)24(lnxa)2，其中x0，

4

aR．若存在正数x，使得f(x)成立，则实数a的值是（）

005

121

A．B．C．D．1

552

【对点训练46】（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）已知实数x,y满足2x25lnxy0，

mR，则x2y22mx2my2m2的最小值为（）

93221

A．B．C．D．

2222

【对点训练47】（2024·四川成都·川大附中校考二模）若点P是曲线ylnxx2上任意一

点，则点P到直线l:xy40距离的最小值为（）

2

A．B．2C．22D．42

2

方向8、牛顿迭代法

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【对点训练48】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求

方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设r是fx0

的根，选取x0作为r的初始近似值，过点x0,fx0做曲线yfx的切线l：

fx

0

yfx0fx0xx0，则l与x轴交点的横坐标为x1x0fx00，称x1是r

fx0

fx

n

的一次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中xn1xnfxn0，称xn1

fxn

是r的n1次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数

fxlnxx3的零点一次近似值为（）（精确到小数点后3位，参考数据：ln20.693）

A．2.207B．2.208C．2.205D．2.204

【对点训练49】（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，

给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设r是函数yfx的一个零点，任意选

取x0作为r的初始近似值，过点x0fx0作曲线yfx的切线l1，设l1与x轴交点的横坐

标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点x1fx1作曲线yfx的切线l2，设l2与x轴交

*

点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值.一般地，过点xnfxn（nN）作曲线yfx

的切线ln1，记ln1与x轴交点的横坐标为xn1，并称xn1为r的n1次近似值.对于方程

3

xx10，记方程的根为r，取初始近似值为x01，下列说法正确的是（）

A．r2,1B．切线l2：23x4y310

3

12xn1

C．x3x2D．xn12

83xn1

【对点训练50】（多选题）（2024·全国·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高

次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点x0，如图，在xx0处作fx图

象的切线，切线与x轴的交点横坐标记作x1：用x1替代x0重复上面的过程可得x2；一直继

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续下去，可得到一系列的数x0，x1，x2，…，xn，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，

*