《经济预测与决策技术及MATLAB实现》课件 第7章 时间序列预测法

经济预测与决策技术及MATLAB实现第7章时间序列预测法

7.1移动平均值预测法

7.2指数平滑预测法7.3季节指数预测法7.4时间序列分解法练习与提高（七）

7.5ARMA模型预测法7.6案例分析

7.1移动平均值预测法7.1.1一次移动平均法（1）一次移动平均法模型一次移动平均法是收集一组观察值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。其模型：其中，为t期的实际值；N为所选数据个数，为下一期（t＋1）的预测值。【例7-1】我国2005--2020年的房地产开发投资数据如表，试用一次移动平均法预测2021年的房地产投资额（取N=3）。MATLAB程序clearX=[1.59 1.94 2.53 3.12 3.62 4.83 6.18 7.18...8.60 9.50 9.60 10.26 10.98 12.02 13.22 14.14];年份20052006200720082009201020112012投资额1.591.942.533.123.624.836.187.18年份20132014201520162017201820192020投资额8.609.509.6010.2610.9812.0213.2214.14N=3;fort=3:length(X)M1(t)=(X(t)+X(t-1)+X(t-2))/N;%一次移动平均值

X1(t+1)=M1(t);%下一期预测值endM1,X1t1=1:length(X);t2=4:length(X)+1plot(t1,X,'-+',t2,X1(4:end),'-O')xlabel('时间/年')ylabel('投资额/万亿元')legend('原始数据','预测值')X1=0 00 2.0200 2.5300 3.0900 3.8567 4.8767 6.0633 7.3200 8.4267 9.2333 9.7867 10.2800 11.0867 12.0733 13.12677.1.2二次移动平均法

（1）二次移动平均法的线性模型其中，为t期的实际值，为t＋T期的预测值，t为当前的时期数，

T为由t至预测期的时期数。【例7-2（续【例7-1】）利用二次移动平均法预测2021年房地产投资额（取N=3）。（1）先计算一次、二次移动平均值clearX=[1.59 1.94 2.53 3.12 3.62 4.83 6.18 7.18...8.60 9.50 9.60 10.26 10.98 12.02 13.22 14.14];N=3;fort=3:length(X)%t从3开始，前两项用0占位置

M1(t)=(X(t)+X(t-1)+X(t-2))/N;%一次移动平均值endM1%t从5开始是因为M1的前2项为0M2(t)=(M1(t)+M1(t-1)+M1(t-2))/N;%二次移动平均值endM2（2）给出2010--2021年的预测值，并绘出预测图。a=2*M1(5:end)-M2(5:end);b=2*(M1(5:end)-M2(5:end))/(N-1);T=1;y=a+b*Tt1=1:length(X);t2=6:length(X)+1;plot(t1,X,'-+',t2,y,'-O')xlabel('时间/年')ylabel('投资额/万亿元')legend('原始数据','预测值')y=4.17675.25226.74788.32569.786710.740011.046711.062211.306712.491113.926715.18897.2指数平滑预测法7.2.1一次指数平滑法（1）一次指数平滑法的基本模型

其中，为时间序列观测值，为观测值的指数平滑值，为平滑系数，。【例7-3】（续例7-1）利用一次指数平滑法预测2021年的房地产投资额（=0.7、0.8、0.9）。clearX=[1.59 1.94 2.53 3.12 3.62 4.83 6.18 7.18...8.60 9.50 9.60 10.26 10.98 12.02 13.22 14.14];X0=X(1);X1=X(2:end);alpha=0.9;S0=X0;%初始值S1(1)=alpha*X1(1)+(1-alpha)*S0;%指数平滑值第一项fort=1:length(X1)-1S1(t+1)=alpha*X1(t+1)+(1-alpha)*S1(t);endS1%指数平滑值全部项S=[S0S1];MSE=sum((X1-S(1:length(X1))).^2)./length(X1)%均方误差t1=1:length(X);t2=2:length(X)+1;plot(t1,X,'-+',t2,S,'-O')xlabel('时间/年');ylabel('投资额/万亿元')legend('原始数据','预测值')alpha=0.9，MSE=1.0020alpha=0.8，MSE=1.2294alpha=0.7，MSE=1.5482首页

7.2.2二次指数平滑法（1）二次指数平滑法的线性模型为

【例7-4】（续例7-1）试用二次指数平滑法预测2021年房地产投资额（alpha＝0.9）。1）先计算一次、二次指数平滑值clearX=[1.59 1.94 2.53 3.12 3.62 4.83 6.18 7.18...8.60 9.50 9.60 10.26 10.98 12.02 13.22 14.14];X0=X(1);X1=X(2:end);alpha=0.9;S10=X0;%S1的初始值S1(1)=alpha*X1(1)+(1-alpha)*S10;%一次指数平滑值第一项fort=1:length(X1)-1S1(t+1)=alpha*X1(t+1)+(1-alpha)*S1(t);%一次指数平滑值第二项以后项endS1S20=X0;%S2的初始值S2(1)=alpha*S1(1)+(1-alpha)*S20;%二次指数平滑值第一项fort=1:length(S1)-1S2(t+1)=alpha*S1(t+1)+(1-alpha)*S2(t);%二次指数平滑值第二项以后项endS2（2）预测2021年及以前的全部预测值a=2*S1(1:end)-S2(1:end);b=alpha/(1-alpha)*(S1(1:end)-S2(1:end));T=1;y=a+b*TY=[X0,y];MSE=sum((X(2:end)-Y(1:end-1)).^2)./(length(X)-1)t1=1:length(X);t2=2:length(X)+1;plot(t1,X,'-+',t2,Y,'-O')xlabel('时间/年')ylabel('投资额/万亿元')legend('原始数据','预测值')为两个平滑参数，取值范围都在（0,1）区间;为第t期平滑值;为第t期趋势值。7.2.4双参数线性指数平滑法霍尔特双参数线性指数平滑法的基本原理与二次指数平滑法相似，只不过它并不是进行二次指数平滑，而是对序列的趋势直接进行平滑。双参数线性指数平滑法的模型：【例7-6】（续【例7-1】）试用双参数线性指数平滑法预测2021年房地产投资额（＝0.9）clearX=[1.59 1.94 2.53 3.12 3.62 4.83 6.18 7.18...8.60 9.50 9.60 10.26 10.98 12.02 13.22 14.14];alpha=0.9;gamma=0.9;S0=X(1);b0=(X(end)-X(1))/(length(X)-1);S(1)=alpha*X(1)+(1-alpha)*(S0+b0);b(1)=gamma*(S(1)-S0)+(1-gamma)*b0;fort=2:length(X)S(t)=alpha*X(t)+(1-alpha)*(S(t-1)+b(t-1));b(t)=gamma*(S(t)-S(t-1))+(1-gamma)*b(t-1);endfort=1:length(X)Y(t)=S(t)+b(t);endY%霍尔特双参数线性指数平滑法预测值MSE=sum((X(2:end)-Y(1:end-1)).^2)./(length(X)-1)t1=1:length(X);t2=2:length(X)+1;plot(t1,X,'-+',t2,Y,'-o')7.3季节指数预测法首页7.3.1季节性水平模型

如果时间序列没有明显的趋势变动，而主要受季节变化和不规则变动影响时，可用季节性水平模型进行预测。预测模型的方法：

（1）计算历年同季的平均数（2）计算全季总平均数（3）计算各季的季节指数历年同季的平均数与全时期的季平均数之比，即：若各季的季节指数之和不为4，季节指数需要调整为（4）利用季节指数法进行预测【例7-7我国2015-2021年城镇居民人均消费性支出28个季度数据如表7-2所示，并利用2021年第4季度数据作为基期数据，预测2022年四个季度居民人均消费性支出。

季度年份123420155534486752355756201659705215561262822017638755445915659920186749599662697098201971606405681476842020647860076762776020217495707174158326

（1）根据所给数据，画出走势图，观察季节性clearX=[5534 4867 5235 57565970 5215 5612 62826387 5544 591565996749 5996 6269 70987160 6405 681476846478 6007 6762 77607495 7071 7415 8326];Y=X';%将年度数据转化为按列、季度数据按行排列Z=Y(:);%矩阵转换为一列向量t=1:length(Z);plot(t,Z,'-o')xlabel('时间/季度')ylabel('人均消费支出/元')（2）计算季节指数并预测r=mean(X)%同季平均数R=mean(X(:))%全部季度平均数b=r./R%各季季节指数F=4/sum(b)*b%调整各季季节指数%以2021年第4季度作为基期I=X(end)*(F./F(4))%2022年第1~4季度预测值r=1.0e+03*6.53905.87216.28897.0721R=6.4430e+03b=1.01490.91140.97611.0976F=1.01490.91140.97611.0976I=1.0e+03*7.69836.91327.40388.32607.3.2季节性趋势模型

当时间序列既有季节性变动又有趋势性变动时，先建立趋势预测模型，在此基础上求得季节指数，再建立预测模型。其过程如下：（1）计算历年同季平均数r；（2）建立趋势预测模型，求趋势值；（3）计算出趋势值后，再计算出历年同季的平均数R；（4）计算趋势季节指数（k）；用同季平均数r与趋势值同季平均数R之比来计算；（5）对趋势季节指数进行修正；（6）求预测值。将预测期的趋势值乘以该期的趋势季节指数，即预测模型。【例7-8】（续【例7-7】），试用季节性趋势模型预测2022年1至4季度居民人均消费性支出。（1）根据所给数据，画出走势图，观察季节性和趋势性。X=[55344867523557565970521556126282638755445915659967495996...6269 7098716064056814768464786007676277607495 707174158326];t=1:length(X);plot(t,X,'-o')%显示结果见如图7-7xlabel('时间');ylabel('销售量')（2）计算各年同季平均数。r1=mean(X(1:4:length(X)));r2=mean(X(2:4:length(X)));r3=mean(X(3:4:length(X)));r4=mean(X(4:4:length(X)));r=[r1r2r3r4]%各年同季平均（3）计算趋势预测值。p=polyfit(t,X,1);%拟合得长期趋势参数T=polyval(p,t);%计算长期趋势预测值（4）计算趋势值各年同季平均。R1=mean(T(1:4:length(T)));R2=mean(T(2:4:length(T)));R3=mean(T(3:4:length(T)));R4=mean(T(4:4:length(T)));R=[R1R2R3R4]%趋势值各年同季平均（5）计算并调整趋势季节指数。k=r./R%趋势季节指数K=4/sum(k)*k%调整趋势季节指数（6）预测2022年四个季度居民人均消费性支出。t1=length(X)+1:length(X)+4;%2022年1至4季度时间T1=polyval(p,t1)%计算2022年趋势预测值Y=K.*T1%计算2022年最终预测值plot(t,X,'-o',t1,Y,'-*',[t,t1],[T,T1],'-')xlabel('时间/季度')ylabel('人均消费支出/元')7.3.3季节性环比法模型环比法是指积累历年（至少三年）各月或各季的历史资料，逐期计算环比，加以平均，求出季节指数季节预测的方法。（1）求逐期环比：将本期实际值和前期实际值相比，即：第一期的环比不能计算（2）计算同季环比平均数

（3）计算各季连锁指数以第一季度为固定基准期，其连锁指数为，后面各季平均环比逐期连乘，得各季连锁指数：（4）根据趋势变动修正连锁指数如果没有趋势变动，基准期的连锁指数应为1，若求出来的基准期（第一季度）的连锁指数不为1，则存在趋势变动的影响，应加以修正，其修正值为此时是第四季度的连锁指数乘以第一季度的平均环比，即各季扣除d后的修正连锁指数应为：第一季度第二季度第三季度第四季度：（5）计算季节指数将各季修正连锁指数，除以全部四个季度修正连锁指数的平均数，得各季季节指数：（6）配合趋势直线模型，计算趋势值结合季节指数进行预测，预测模型为：【例7-9】（续【例7-7】）试用季节性环比法预测2022年1至4季度居民人均消费性支出。（1）先画出走势图X=[5534 486752355756597052155612628263875544591565996749 5996...6269 7098716064056814768464786007676277607495 707174158326];t=1:length(X);plot(t,X,'-o')%显示结果如图（2）计算季节指数h=x(2:end)./x(1:end-1)%各期环比h1=mean(h(4:4:end))%第1季度同季环比平均数h2=mean(h(1:4:end))%第2季度同季环比平均数h3=mean(h(2:4:end))%第3季度同季环比平均数h4=mean(h(3:4:end))%第4季度同季环比平均数H1=[h1h2h3h4]%四个季度同季环比平均数H2=[1h2h3h4]%第1季度基准期为1四个季度

%同季环比平均数c=cumprod(H2)%四个季度连锁指数c1=c(4)*H1(1)%第1季度连锁指数d=(c1-1)/4%修正值C1=1%第1季度修正连锁指数C2=c(2)-d%第2季度修正连锁指数C3=c(3)-2*d%第3季度修正连锁指数C4=c(4)-3*d%第4季度修正连锁指数C=[C1C2C3C4]%汇总修正连锁指数F=C./mean(C)%季节指数环比法季节指数季度年份12342015环比

0.87951.07561.09952016环比1.03720.87351.07611.11942017环比1.01670.86801.06691.11562018环比1.02270.88841.04551.13222019环比1.00870.89461.06391.12772020环比0.84310.92731.12571.14762021环比0.96590.94341.04861.1229同季环比平均数H10.98240.89641.07181.1236连锁指数c1.00001.06040.89840.96071.0794修正值d0.0151修正连锁指数C10.88130.93051.0341季节指数F1.04010.91660.96781.0756（3）求趋势值p=polyfit(t,x,1)T=polyval(p,t)（4）求2016年1-4季度预测值1=length(X)+1:length(X)+4;T1=polyval(p,t1)Y=F.*T1%2022年预测值plot(t,X,'-o',t1,Y,'-+',[t,t1],[T,T1],'-k')7.4时间序列分解法（1）时间序列数据的影响因素主要有长期趋势、季节变动、周期变动、不规则变动。（2）乘法分解模型为时间序列的全变动，为长期趋势，为季节变动，

为循环变动，为不规则变动。（3）确定上述各个因素的步骤1）用MA=TC分析长期趋势与循环变动；2）用X/MA=SI分析季节性与随机性；3）用SI平均值分析季节性；4）用趋势外推法分析长期趋势T；5）用MA/T分析循环变动；6）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的即为不规则变动，即在实际运算时可以不考虑随机因素，而直接用前三种因素来处理：即【例7-10】（续【例7-7】）试用序列分解模型预测2022年1至4季度居民人均消费性支出。（1）计算一次移动平均值MA，即得长期趋势与循环变动。X=[5534 486752355756597052155612628263875544591565996749 5996...6269 7098716064056814768464786007676277607495 707174158326];fort=1:length(X)-3MA1(t)=(X(t)+X(t+1)+X(t+2)+X(t+3))/4;end%四项移动平均值所得出的结果应放在第2.5季度的位置，若将其放在第三季度的位置，%需将一次移动平均值MA1的前后两项再取平均数：MA=(MA1(1:end-1)+MA1(2:end))/2（2）季节与随机性SI，即X与MA的比率。SI=100*X(3:end-2)./MA（3）用各年同季平均，去掉SI中的随机性，得季节指数r，并修正季节指数R。r1=mean(SI(3:4:end));r2=mean(SI(4:4:end));r3=mean(SI(1:4:end));r4=mean(SI(2:4:end));r=[r1r2r3r4];R=r./mean(r)（4）拟合得长期趋势T。m=1:length(X);p=polyfit(m,X,1)T=polyval(p,m);（5）计算循环变动CC=MA./T(3:end-2);（6）预测2022年1-4季度。n=length(X)+1:length(X)+4%2022年1至4季度时间T1=polyval(p,n)%2022年1至4季度趋势项C1=mean(C)%取循环变动C的均值X1=T1.*C1.*R%2022年1至4季度预测值（3）用各年同季平均，去掉SI中的随机性，得季节指数r，并修正季节指数R。r1=mean(SI(3:4:end));r2=mean(SI(4:4:end));r3=mean(SI(1:4:end));r4=mean(SI(2:4:end));r=[r1r2r3r4];R=r./mean(r)（4）拟合得长期趋势T。m=1:length(X);p=polyfit(m,X,1)T=polyval(p,m);（5）计算循环变动CC=MA./T(3:end-2);（6）预测2022年1-4季度。n=length(X)+1:length(X)+4%2022年1至4季度时间T1=polyval(p,n)%2022年1至4季度趋势项C1=mean(C)%取循环变动C的均值X1=T1.*C1.*R%2022年1至4季度预测值序号观察值X移动平均值MA=TC比

率X/MA=SI长期趋势T循环变动C15534

5261.27

24867

5348.81

352355402.5096.905436.350.9938457565500.50104.655523.880.9958559705591.13106.785611.420.9964652155704.0091.435698.961.0009756125821.8896.405786.501.0061862825915.13106.205874.041.0070963875994.13106.555961.571.00551055446071.6391.316049.111.00371159156156.5096.086136.651.00321265996258.25105.446224.191.00551367496359.00106.136311.731.00751459966465.6392.746399.271.01041562696579.3895.286486.801.01431670986681.88106.236574.341.01641771606801.13105.286661.881.02091864056942.5092.266749.421.02861968146930.5098.326836.961.01372076846795.50113.076924.500.98142164786739.2596.127012.030.96112260076742.2589.097099.570.94972367626878.8898.307187.110.95712477607139.00108.707274.650.98142574957353.63101.927362.190.99882670717506.0094.207449.731.0076277415

7537.26

288326

7624.80

7.5ARMA模型预测法7.5.1ARMA模型的基本形式（1）自回归模型AR(p)其中，是独立同分布的随机变量序列称时间序列服从p阶自回归模型AR(p)（2）移动平均模型MA(q)服从q阶移动平均模型MA(q)（3）自回归移动平均模型ARMA(p,q)服从（p,q）阶自回归移动平均模型ARMA(p,q)2．模型建立的条件及判定法时间序列的平稳性自相关分析法它可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。7.5.2ARMA模型相关性分析及识别根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。1．AR(p)模型（1）AR(p)的自相关函数满足表明随k的增加按指数形式衰减，呈“拖尾”状。AR(1)模型AR(2)模型（2）AR(p)的偏相关函数可知偏相关函数具有“截尾”状。2．MA(q)模型（1）MA(q)自相关函数（2）MA(q)偏相关函数由于任何一个可逆的MA过程都可以转化为一个无限阶的系数按几何递减的AR过程，所以MA过程的偏自相关函数同AR模型一样呈缓慢衰减特征。3．ARMA(p,q)模型根据AR、MA模型可知ARMA模型的自相关函数和偏自相关函数也是无限延长的，其过程也是呈缓慢衰减，是拖尾的。三个基本模型的相关性特征根据相关性特征，可利用自相关函数与偏自相关函数的截尾性来识别模型类型。并利用偏相关函数PartialACF，确定AR模型的滞后阶数；利用自相关函数ACF，确定MA模型的滞后阶数。模型自相关函数偏自相关函数AR(p)拖尾p阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾4．自相关函数与偏相关函数的命令（2）计算并描绘时间序列的自相关函数格式：

autocorr(series,nLags,M,nSTDs)%绘出自相关函数图

[ACF,Lags,Bounds]=autocorr(series,nLags,M,nSTDs)说明：series：时间序列

nLags：延迟数，默认为20个ACF。

M：延迟阶数，缺省时假设为高斯白噪声。

nSTDs：表示计算出的相关函数ACF估计误差的标准差；ACF：相关函数；Lags：对应于ACF的延迟；Bounds：置信区间的近似上下限，假设序列是MA（M）模型（1）计算时间序列的相关系数格式：r=corrcoef(x1,x2)说明：计算两时间序列x1,x2的相关系数r，其值在[0，1]之间。【例7-11】x=randn(1000,1);%生成1000点的Gaussian白噪声y=filter([1-11],1,x);%生成MA（2）过程autocorr(y,[],2)%绘出相关函数图[ACF,Lags,Bounds]=autocorr(y,[],2)%计算95％置信度下的相关系数（3）计算并描绘时间序列的偏相关函数格式：parcorrr(series)[PACF,Lags,Bounds]=parcorr(series,nLags,R,nSTDs)说明：series：时间序列；

nLags：延迟数，缺省时计算在延迟点0，1，…，T

（T=min([20,length(series)-1])的PACF；

R：表示Lags延迟阶数，缺省时假设为AR(R)过程；

nSTDs：表示计算出的相关函数PACF估计误差的标准差PACF：相关函数；Lags：对应于ACF的延迟；

Bounds：置信区间的近似上下限，假设序列是AR(R)过程。【例7-12】x=randn(1000,1);%Gaussian白噪声

y=filter(1,[1-0.60.08],x);%生成AR(2）过程

parcorr(y,[],2)%绘出偏相关函数图，

[PACF,Lags,Bounds]=parcorr(y,[],2)%偏相关系数5．评价时间序列模型的准则FPE准则：是指最终预报误差（FinalPredictionError）的定阶准则。主要用于AR模型、ARMA模型的阶，其方法是以选用模型的一步误差达到最小的相应的阶作为模型的阶，用其预报效果的优劣来确定该模型的阶数。

7.5.3ARMA模型参数估计1、AR(p)模型参数矩估计Yule-Walker方程利用实际时间序列数据，首先求得自相关函数的估计值，代入Yule-Walker方程组，求得模型参数的估计值。2、MA(q)模型参数估计利用实际时间序列数据，求得自协方差函数的估计值求得模型参数的估计值。

3、ARMA(p,q)模型的参数估计先求得自相关函数的估计值，代入Yule-Walker方程组，求得模型参数的估计值，再改写ARMA模型求解估计值

4、模型参数的MATLAB命令（1）AR模型参数估计格式：m=ar(y,n)[m,refl]=ar(y,n,approach,window)说明：y是数据结构，由iddata函数得到：y=iddata(y)，后面y是给定的时间序列；

n是AR阶次；

approach：估计时采用的方法：Approach＝’fb’：前向后；’ls’：最小二乘法；’yw’：Yule-Walker方法；’Burg’：基于Burg谱估计方法；

Window：处理Y中缺失值的方法，Window＝’now’：表示观察值中没有缺失值；Window＝’yw’：表示Yule-Walker方法处理缺失值；

m：AR模型的文字形式；

refl：AR模型的系数。（2）ARMAX模型参数估计自回归移动平均各态历经ARMAX（AutoRegressiveMovingAverageeXogenous）模型，是考虑外部解释变量X的模型。na,nb,nc是滞后多项式的阶数，nk为延迟格式：Z=iddata(y)m=armax(Z,[nanbncnk])m=armax(Z,'na',na,'nb',nb,'nc',nc,'nk',nk)说明：y原始序列，Z是y的数据结构；

na,nb,nc是滞后多项式的阶数，nk为延迟（3）MA模型参数估计。用ARMAX模型可对MA模型进行估计，只需在模型

A(q)＝1，B(q)＝0

格式：z=iddata(y)m=armax(z,’nc’,5)（4）ARMA模型参数估计用ARMAX模型可对ARMA模型进行估计，只需在模型：B(q)＝0

格式：z=iddata(y);m=armax(z,[nanc]);（5）ARX模型参数估计

A(q)y(t)=B(q)u(t-nk)+e(t)格式：m=arx(data,[nanbnk])m=arx(data,'na',na,'nb',nb,'nk',nk)7.5.4ARMA模型的预测1．AR（p）模型的预测公式预测方差

GREEN函数2．MA(q)模型预测公式预测方差

若已知和新获得的数据，则得的递推公式：[,,…，]T

，初始值可取某个时刻3．ARMA(p,q)模型预测公式预测方差

的递推公式：[,,…，]T

，当时，上式最后一项为04．模型预测及误差的MATLAB命令格式：yp=predict(m,y,k)说明：m表预测模型，y为实际输出，k为预测区间；yp为预测输出。当k<inf,yp(t)为模型m与y（1,2，……t-k）的预测值；当k=inf,yp(t)为模型m的纯仿真值，默认k=1；在计算AR模型预测时，k应取1。格式：[yh,fit,x0]=compare(m,y,k)说明：Compare的预测原理与predict相同，但对预测进行比较，并可绘出比较图

格式：e=pe(m,data)%pe误差计算，说明：采用yh=predict(m,data,1)进行预测，然后计算误差e=data-yh在无输出情况下，绘出误差图，误差曲线应足够小，黄色区域为99%的置信区间，误差曲线在该区域内表明通过检验。格式：[e,r]=resid(m,data,mode,lags)resid(r)计算并检验误差。7.6案例分析7.6.1利用移动平均法预测GDP【例7-13】我国2008--2021年的国内生产总值（GDP）数据如表，试用指数平滑法预测2022年的国内生产总值。年份2008200920102011201220132014GDP31.9234.8541.2148.7953.8659.364.36年份2015201620172018201920202021GDP68.8974.6483.291.9398.65101.36113.35第一步，先编程查找二次指数平滑系数alpha.clearX=[31.9234.8541.2148.79 53.8659.364.36...68.89 74.64 83.291.9398.65101.36113.35];X0=X(1);X1=X(2:end);U=[];foralpha=0.1:0.1:0.9%在0.1至0.9之间查找alphaS0=X0;S1(1)=alpha*X1(1)+(1-alpha)*S0;fort=1:length(X1)-1S1(t+1)=alpha*X1(t+1)+(1-alpha)*S1(t);endS20=X0;S2(1)=alpha*S1(1)+(1-alpha)*S20;fort=1:length(S1)-1S2(t+1)=alpha*S1(t+1)+(1-alpha)*S2(t);end

a=2*S1(1:end)-S2(1:end);b=alpha/(1-alpha)*(S1(1:end)-S2(1:end));T=1;y=a+b*T;Y=[X0,y];MSE=sum((X(2:end)-Y(1:end-1)).^2)./(length(X)-1);U=[U,MSE];endR=find(U==min(U));%获得均方误差最小的最佳位置alpha=0.1:0.1:0.9;ALPHA=alpha(R)%获得二次指数平滑系数alphaALPHA=0.8000第二步，对获取的二次指数平滑系数alpha=0.8进行预测。只需上面程序添加alpha=0.8，删去U=[];foralpha=0.1:0.1:0.9……MSE=sum((X(2:end)-Y(1:end-1)).^2)./(length(X)-1);U=[U,MSE];endR=find(U==min(U)alpha=0.1:0.1:0.9;ALPHA=alpha(R)再添加绘图t1=1:length(X);t2=2:length(X)+1;plot(t1,X,'-+',t2,Y,'-O')xlabel('时间/年')ylabel('GDP/万亿元')legend('原始数据','预测值')7.6.2利用ARMA模型预测股票价格【例7-14】平安银行2021年10月11日至12月31日的交易日的收盘价数据如表7-7，试用ARMA模型预测未来五个交易日的股票价格。日期收盘价日期收盘价日期收盘价日期收盘价10月11日1411月1日19.3911月22日18.1212月13日18.2710月12日19.3511月2日18.1811月23日17.8812月14日17.5810月13日19.5811月3日18.0311月24日17.8712月15日17.5510月14日19.2111月4日17.8711月25日17.6812月16日17.7210月15日19.6611月5日17.6411月26日17.5812月17日17.5710月18日19.2911月8日17.4211月29日17.5112月20日17.5210月19日19.5711月9日17.5311月30日17.4412月21日17.5910月20日19.2411月10日17.4012月1日17.6412月22日17.3910月21日20.0011月11日18.3512月2日17.5912月23日17.3210月22日20.0411月12日18.2712月3日17