高中数学：平行的性质和证明导学案

第15.16讲平行的性质和证明

［玩前必备］

1.空间点、线、面之间的位置关系

直线与直线直线与平面平面与平面

图形z4___/

//

平行语言4_____/

关系符号

♦〃aallB

语言

图形

相交语言

关系符号

aAZ?=AaGa=AaC§=l

语言

图形

独有语言

关系符号

a,人是异面直线〃ua

语言

2.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a----b----a-----

图形Z/n//

a//a,aU0,aG夕

条件aUa,b^a,a//ba//a

—b

结论a//ab//aa//b

3.面面平行的判定与性质

判定性质

定义定理

图

形二］

条aU0,bU0,aC\ba//P，aC\y=a,

«n^=0a//P，aU0

件--P9allo(,9b//ck

结

a//pa//Ba//ba//a

论

［玩转典例］

题型一点线面的位置关系

例1如图所示，在长方体A8CA-A'B'CD'中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面,

那么在这12条直线与6个平面中:

(1)与直线夕C平行的直线和平面分别有哪几个?

(2)与直线夕C垂直的直线和平面分别有哪几个?

(3)与平面BC'平行的平面有哪几个?

(4)与平面8C'垂直的平面有哪几个?

(5)平面AC与平面A'C'间的距离可以用哪些线段来表示?

例2如图，点N为正方形A8CD的中心，△£(7£)为正三角形，平面ECZ)J_平面ABC。，M是线段ED的

中点，贝女)

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM半EN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线EN是异面直线D.BM^EN,且直线BM,EN是异面直线

［玩转跟踪］

1.如图所示，用符号语言可表示为（）

>

A.aCB=m,nUa,mG〃=A

B.aCB=m,n£a,mC\n—A

C.aC\B=m,nUa,AUAu〃

D.aC0=m,nGa,A^n

2.如图，在正方体ABCD-AiBiGA中，M,N分别为棱CYDi，GC的中点，有以下四个结论:

①直线AM与CCi是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MS是异面直线；

④直线AM与。A是异面直线.

其中正确的结论为（填序号）.

题型二线面平行的判定和性质

例3如图，在几何体48CDE中，四边形ABC。是矩形，A3_L平面BEC,BE±EC,AB=BE=EC=2,G,

厂分别是线段BE,OC的中点.求证：GP〃平面ADE

例4如图，四棱锥尸-ABCZ）中，AD//BC,AB=BC=^AD,E,F,H分别是线段

AD,PC,CD的中点，AC与BE交于。点，G是线段。尸上一点.求证：

⑴AP〃平面BEF-,

(2)GH〃平面PAD.

［玩转跟踪］

1.如图，在四棱锥E-ABCZ)中，AB//CD,NABC=90。，CD=2AB=2CE=4,点尸为棱。E1的中点.证明:

AF〃平面BCE.

2.如图所示，斜三棱柱ABC-AbBCi中，点。，A分别为AC,4G的中点.求证:

⑴AOi〃平面BDCi；

(2)2。〃平面ABiDi.

题型三平面与平面平行的判定与性质

例5如图，在多面体A8CAEF中，四边形A8C。是正方形，BF±WABCD,OEJ_平面A8CD,BF=

DE,M为棱AE的中点.

［玩转跟踪］

1.如图，在三棱柱ABC-ALBCI中，点。是BC上一点，且〃平面AG。，点

A是SG的中点.

ZZI..

求证：平面AD〃平面AGD1n----------------

题型四直线与直线平行的判定

例6如图所示，已知四边形A8CD是正方形，四边形尸是矩形，AB=2,AF=1,M是线段斯的中

点.

/n=

/•=!=

(1)求证：MA〃平面BOE

(2)若平面ADA/n平面BDE=/,平面A8MC平面BQE=m,试分析/与机的位置关系，并证明你的结论.

［玩转跟踪］

1.如图，四边形ABC。是平行四边形，点尸是平面ABC。外一点，M是PC的中点，在。/上取一点G,

过G和AP作平面交平面于GH.求证：PA//GH.

［玩转练习］

1.设a,/为两个平面，则a〃夕的充要条件是()

A.a内有无数条直线与夕平行

B.a内有两条相交直线与乃平行

C.a,£平行于同一条直线

D.a,£垂直于同一平面

2.设a,b,c表示不同直线，a,/表示不同平面，给出下列命题:

①若a〃c,b//c,则a〃6；②若a/lb,b//a,则cz〃a；

③若a〃a,b//a,则a〃6；④若°Ua,Z?u£,a///3,KOa//b.

其中真命题的个数是（

3.如图，L,M,N分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面PQR的位置关系

是（）

A.垂直

B.相交不垂直

C.平行

D.重合

4.图，在棱长为1的正方体ABCD-AbBiGA中，M,N分别是AQ”45的中点，\

过直线8。的平面a〃平面AMN,则平面a截该正方体所得截面的面积为（）

A巾B.j/

C，V3D坐

5.（多选）下列命题正确的是（）

A.若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内

B.如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交

C.若直线/与平面a平行，贝心与平面a内的直线平行或异面

D.若平面a〃平面£,直线aUa,直线贝i]

6.（多选汝口图，矩形ABC。中，E为边AB的中点，将△AZJE沿直线。E翻转成、

△ARE若M为线段4C的中点，则在△的＞£翻转过程中，下列命题正确的是（）\

//

A.MB是定值/

B.点M在圆上运动

C.一定存在某个位置，使。EL4C

D.一定存在某个位置，使MB〃平面A0E

7.（多选汝口图，在正四棱锥S-A8CD中，E,M,N分别是8C,CD,SC的中点，动点尸

在线段MN上运动时，下列四个结论恒成立的是（）

A.EPLAC

EP//BD

C.EP〃平面SBD

EP_L平面SAC

8.如图所示，在长方体48C»AIICLDI中，AB^AD=2,A4i=l.一平面截该长方

体，所得截面为OPQRST,其中。,尸分别为4。。的中点,86=/则47=./一，

a-------I_11______1

\------------

9.如图，平面a〃平面£,△加B所在的平面与a,£分别交于CD,AB,若PC=2,\\

CA=3,C£）=l,则./〉

/■=1-----

10.（一题两空）设a,0,y是三个不同的平面，m,〃是两条不同的直线，在命题“aC夕/----

=m,且________,则相〃””中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命

题为真命题.

①a〃彩〃U£；②小〃/〃〃%,③〃〃小U%可以填入的条件有（填序号）.

\\

H.（一题两空）如图，已知斜三棱柱A5CA/C1中，点。，d分别为AC,ACi上的点.\\

⑴若BG〃平面AS。，则船■=;