高中数学基础知识与练习题3

第一讲集合与逻辑用语

第1节集合及其运算

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号表示)和不属于(用符号

表示).

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

文字语言符号语言

关系

相等集合4与集合B中的所有元素都相同A=B

集合间子集4中任意一个元素均为B中的元素AQB

的基本4中任意一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元

关系真子集素不是A中的元素AB

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

空集

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集

符号表示AH8

合A的补集为二A

图形表示:0

AUBt

{x|xGA,»£xeB}]x|x£A,且x£B}{x|xGU,且x4A}

意义

4.集合的运算性质

并集的性质:AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；AUB=AOBGA.

交集的性质:AA0=0；AHA=A；AGB=BGA；AnB=A=A£B.

补集的性质:AU([UA)=U；An(CUA)=0；[U([UA)=A；

[MAU8)=&A)G([M)：[MAG8)=&A)U([〃).

★练习

I.己知集合A={X|3WXV7},B={X|2VXVI()},则([RA)AB=.

2.(2015•全国I卷)已知集合A={x|x=3n+2,nWN},B={6,8,10,12,14),则集合AHB中

元素的个数为()

A.5B.4C.3D.2

3.(2015•全国U卷)已知集合A={x|-lVxV2},B={x|0VxV3},则AUB等于()

A.(-l,3)B.(-l,0)C.(0.2)D.(2,3)

4.(2015・浙江卷)已知集合口=3乂2—2乂23}4=32<*<4),则PCQ等于()

A.[3,4)B.(2,3]C.(-1.2)D.(T,3]

一、选择题

1.(2015•安徽卷)设全集U={1,2,3,4,5,6),A={1,2},B={2,3,4),则AG(「UB)等于

()

A.{1,2,5,6}B.{1}C.{2}D.{1,2,3,4}

2.(2015•南昌监测)已知集合人={。,y)|x,y£R,且x2+y2=l},B={(x,y)|x,y£R,

且y=x},则AGB的元素个数为()

A.OB.lC.2D.3

3.(2015•长春监测)已知集合「=也仅20},、=，则PAQ等于()

A.(-°°,2)-1]C.[O,+8)D.(2,+8)

4.(2015•江西师大附中模拟)设集合A={x|-I<x^2.xGN},集合B={2,3},则AUB

等于()

A.{2}B.{1,2,3}C.{-1,O,1,2,3}D.{0,1,2,3}

5.已知集合M={0,l,2,3,4},N=1],3,5},P=MnN,则P的子集共有()

A.2个B.4个C.6个D.8个

6.(2014•宜春检测)设集合P={x|x>l},Q={x|x2—x>0},则下列结论正确的是()

A/qQB.QGPC.P=QDPUQ=R

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

I.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题：它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.

2.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则p.是q的充分条件,q是p的必要条件

P是q的充分不必要条件pnq且qnp

P是q的必要不充分条件〃=夕且qnp

P是q的充要条件poq

〃是g的既不充分也不必要条件pnq旦

★练习

1.（2015•山东卷）设m£R,命题“若m>0,则方程x2+x—m=0有实根”的逆否命题是（）

A.若方程x2+x—m=0有实根，则m>0B.若方程x2+x—m=0有实根，则mWO

C.若方程x2+x-m=0没有实根，则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根，则mWO

2（2015•安徽卷）设p：x<3,q：-l〈x<3,则p是q成立的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.（2015•浙江卷）设a,b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列命题：

①%=2是/-4%+4=0的必要不充分条件；

②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；

③sina=sin0是a=fi的充要条件；④ab手0是在0的充分不必要条件.

其中为真命题的是（填序号）.

基础巩固题组

一、选择题

1.（2015•重庆卷）“x=l”是“『一2丫+1=0”的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.命题“若x,y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）

A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数

C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数

3.设xER,贝ij“1<XV2”是“伙一2|<1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

4.“若aWb,则ac2Wbc2"，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数

是.

5.“舄”是“一元二次方程f+x+机=0有实数解”的条件（填"充分不必要、必

要不充分、充要”）.

6.函数的图象关于直线x=l对称的充要条件是.

第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”

（1）命题中的旦、或、韭叫做逻辑联结词.

⑵命题〃且外〃或外,弟〃的真假判断

PqP且qP或q非P

真真&真假

真假假真假

假真假真

假假假假真

2.全称量词与存在量词

⑴常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.

⑵常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.

3.全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题.（2）含有存在量词的命题叫特称命题.

4.命题的否定

（I）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.

（2）p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.

★练习

1.(2015•湖北卷)命题“存在x£(0,+8),]nx=x-l”的否定是()

A.任意x£(0,+8),]nxWx—IB.任意xE(0,+°°),Inx=x—1

C.存在xW(0,+°°),Inx^x—ID,存在x*0,+°°),Inx=x—I

2..若命题“Vx£R,ax2-ax-2W0”是真命题，则实数a的取值范围是_______.

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015•抚州二检)若p是真命题,q是假命题，则()

A.p且“是真命题B.p或q是假命题

C.非“是真命题D.非夕是真命题

2..命题“存在实数x,使x>l”的否定是()

A.对任意实数x,都有x>IB.不存在实数x,使xWl

C.对任意实数x,都有xWlD.存在实数x,使xWl

3.下列四个命题

pl:存在x£(0,x<x；p2:存在xW0l),；

p3：任意x£(Q+8),x>；p4：任意.

其中真命题是()

A.pl,p3B.pl,p4C.p2,p3D.p2,p4

第二讲函数概念与函数基本性质

第1节函数及其表示

1.函数的基本概念(1)函数的定义

给定两个非空数集A和B.如果按照某个对应关系f,对于集合A中的任何一个数x,在集合

B中都存在唯一的数f(x)与之对应，则就把对■应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f:A

-8或丫=1^),xGA,此时x叫作自变量，集合A叫做函数的定义域，集合｛f(x)|x£A｝叫作

函数的值域.

(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系.

(3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法.

(4)分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通

常叫作分段函数.

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

2.函数定义域的求法

类型一满足的条件

,nGN*

阿20

ri.与如）1°

心)W0

log«/U)心-)>()

四则运算组成的函数各个函数定义域的交集

实际问题使实际问题有意义

★练习

I.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是()

A7U)=|A1B./(X)=A—|.v|C.y(x)=x+1D.fix)=-x

2.(2015・重庆卷)函数_/U)=log2(『+Zx-3)的定义域是()

A.[-3,1]B.(-3,1)

C.(-8,-3]U[I,+8)D.(-8,-3)U(I,+8)

1—ylx,x20,

3.(2015•陕西卷)设则A/(—2))等于()

2r,A<0,

3

AuB-

2

基础巩固题组

一、选择题

I.下图中可作为函数y=兀0的图象的是（）

2.下列函数中，与函数丫=的定义域相同的函数为（）

AJ'=W?•尸乎3=加口y=野

jr+1.I.

3.设函数启）=<2则欲3））等于（）

x>l,

A.1B,3C.^D.^

4..某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数

大于6时再增选一名代表.则，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函

数y=［x］（［x］表示不大于x的最大整数）可以表示为（!

rx~\「x+3~L「x+4~ln「x+5

A.尸国」B.尸|_下*.产］而「.)，=匕丁」

二、填空题

6.函数氏丫)=•八、的定义域为______.

710go.2(3—A)

3-x2,x£1—1,2］»

7.已知函数yu)=.口则方程兀t)=i的解为_________

x—3,工£(2,5］,

第2节函数的单调性与最大(小)值

1.函数的单调性

(I)单调函数的定义

增函数减函数

在函数y=f［x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数xl,x2£A

定义当xlVx2时,都有f(xl)Vf(x2),则就说当xlVx2时,都有f(xl)>f(x2),则就说

函数f(x)在区间A上是增加的函数f(x)在区间A上是减少的

续表

尸/3

自左向右看图像是上丑的憾一

图像描述01孙勺“

y

，=/(%)

自左向右看图像是卜.降的：/1):加2)

0勺x2X

(2)函数单调性的两种等价形式:设任意xl,x2E［a,b］且xl<x2,则

①>Oof(x)在［a,b］上是增函数;VOof(x)在［a,b］上是减函数.

②(xl—x2)[f(xl)—f(x2)]>00f(x)在[a,b]上是增函数;(xl—x2)[f(xl)—f(x2)]<0

of(x)在［a,b］上是减函数.

⑶单调区间的定义:如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的，则称A为单调区间.

2.函数的

最值函数y=/U)的定义域为。

前提

⑴对于任意x£D,都有f(x)WM；(3)对于任意x£D,都有f(x)2M：

条件⑵存在xOWD,使得f(xO)=M(4)存在xO£D,使得f(x())=M

(2)存在为£0,使得<xo)=M(4)存在加£。，使得/UQ)=M

结论M为最大值M为最小值

★练习

1.(2015•宜春调研)下列函数中，在区间(0,+8)内单调潴减的是()

A.j=^—A-C.>'=lnx—^D.y=e'—x

2.数1/U)=lgf的单调递减区间是.

3f(x)=,x£[2,6],则l'(x)的最大值为,最小值为.

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015・九江模拟)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是()

-1

Aj=log2xB.y=x3C.y=­⑸D.y=;

2.已知函数f(x)=2ax2+4(a—3)x+5在区间(一8,3)上是减函数，则a的取值范围是()

A.(0,孤(0,孤[。,孤]。‘j

3.函数«r)=]og1(f—4)的单调递增区间为()

A.(0,+8)B,(-°°.0)C.(2,+8)D.(—8,-2)

二、填空题

4.(2()15•中山质检»=+2仅|+3的单调增区间为.

5.己知函数f(x)为(0,—8)上的增函数，若f(a2—a)>f(a+3),则实数a的取值范围为

第3节函数的奇偶性与周期性

1.奇函数、偶函数

图像关于原点对称的函数叫作奇函数.图像关于y轴对称的函数叫作偶函数.

2.奇(偶)函数的性质

⑴奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调

性相反(填“相同”、“相反”).

(2)在公共定义域内

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.

②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.

③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数.

(3)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0.

3.周期性

⑴周期函数：对于函数y=f(x),如果存在非零常数T,对定义域内的任意一个x值，都有f(x

+T)=f(x),就把f(x)称为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小正数就

叫做f(x)的最小正周期.

★练习

1.(2015•广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()

A.y=x+sinZvB.y=A2—cosACjuZ'+RDjuf+sinx

2.已知f(x)=ax2+bx是定义在［a—1,2a］上的偶函数，则a+b的值是()

3(2014•四川卷)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当xW［-l,1)时，f(x)=则f=

4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=x(l+x),则x<0时，f(x)=

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015・吉安二检)下列函数为偶函数的是()

Aj=sinxB.y=—x)C.y=eT).y=1周4+1

2.(2015・石家庄模拟)设函数f(x)为偶函数,当xe(0,+8)时,f(x)=log2x,

则人-也)=()

A.—ZB.TC.2D.—2

3.(2014・福建卷)已知函数凡r)=则下列结论正确的是(

A.yu)是偶函数B.yu)是博函数

Cf(x)是周期函数D.f(x)的值域为［―1,+8)

4.(2015•沈阳质量监测)已知函数f(x)=，若f(a)=，则f(一a)=()

、2八244

A.3B.-3C.3D.-3

二、填空题

5.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=,

第三讲基本初等函数及其性质

第1节二次函数性质的再研究与第函数

1.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

①一般式：f(x)=ax2+bx+c(aK0).②顶点式：f(x)=a(x—m)2+n(a#0).③零点式：f(x)

=a(x—xl)(x—x2)(a^O).

(2)二次函数的图象和性质

解析式f(x)=ax2+bx+>0)fix)=ar2+bx+c(a<0)

小

图象

(-8,H-OO)(-8,4-CO)

定义域

4ad2,、(Aac—h1

值域_[4a，+叼__(8，〃」_

在(-8,一治］上单调递减；在1—8,一用上单调递增；

单调性

在［―枭+8)上单调递增在［—枭+8)上单调递减

函数的图象关于1=一治对称

对称性

2.'曷函数

⑴哥函数的定义“”如果一个函数，底数是自变量X,指数是常量a,即y=xa,这样的函数

称为幕函数.

(2)常见的5种幕函数的图象

(3)常见的5种塞函数的性质

特征畋

1

y=xiy=x~l

产1y=x2

性

[0,+8)(x|x£R.

定义域RRR

且xWO}

10,+oo)[0,4-00)hly£R.

值域RR

且yWO)

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(-8,0]减，(一8,0)减，

单调性增[0,+8)增增增(0,+8)减

[0,+8)增(0,+8)减

(0,0),(1,1)(1,1)

定点

★课前练习

1.函数）=%—51+1的对称轴和顶点坐标分别是（）

A.x=5,B.x=—5,C.x=5,D.x=-5,

2.已知f（x）=x2+px+q满足f（l）=f（2）=0,则f（—l）的值是（）

A.5B.-5C.6D.-6

3.在同一坐标系内，函数丫=*@缶£0）和y=ax+的图象可能是（）

4.已知幕函数y=f（x）的图象过点，则此函数的解析式为;在区间_______上递减.

基础巩固题组

一、选择题

1.二次函数y=-x2+4x+t图象的顶点在x轴上，则t的值是（）

A.-4B.4C.-2D.2

2.若a<0,则0.5a,5a,5—a的大小关系是（）

A.5-Y5yo.5"B.5"VO.5y5一"

c.o.5"v5-y"D.5yLy（）.5"

3.（2015・汉中模拟）如果函数f（x）=x2-ax-3在区间（-8,4］上单调递减，则实数a满足的

条件是（）

A.a28B.aW8C.a24D.a2—4

4若二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（xl）=f（x2）,则f（xl+x2）等于（）

bX4ac-tr

A.—B.-C.cD.-T------

2aa4a

5..已知函数f(x)=x2+2ax+3,x€[-4,6J.

(1)当a=-2时,求f(x)的最值;

(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间［―4,6］上是单调函数.

第2节指数与指数函数

1.根式：(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数,a叫做被开方数.

(2)性质：()n=a(a使有意义)；当n为奇数时,=a,

当n为偶数时，=|a|=

2.分数指数累

(I)规定：正数的正分数指数暴的意义是a=(a>0,m,n£N*,且n>l)；正数的负分数指

数昂的意义是a-=(a>0,m,n£N*,且n>1)；0的正分数指数某等于0；0的负分数指

数哥没有意义.

(2)有理指数累的运算性质：aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr,其中a>0,b>(),r,s£Q.

3.指数函数的图象与性质

心1

图象…尸1if

-O|1~«~d]~

定义域R

(0.+8)

值域

过定点(0,1),即x=0时,y=l

当x>0时,y>l；当xVO时,y>l；

性质

当x〈0时,0Vy<l当x>0时,OVy<l

当xV0时，OVyVl当x>0时，OVyVl

在(一8,十8)上是增困数在(-8,+8)上是减函数

★课前练习

1.下列运算中，正确的是()

A.«%3=*B.(—a2)3=(-&2c.(或一1)0=0D.(一》)3=-a6

2.(2015・山东卷)设a=0.60.6,b=0.6I.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()

A..a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

3.已知0WxW2,则y=4x--3•2x+5的最大值为.

基础巩固题组

一、选择题

1.函数f(x)=ax—2+l(a>0,且aW1)的图象必经过点()

A.(0,1)B.(l,1)C.(2,0)D.(2,2)

2.函数2'的定义域是()

A.(—°°,0]B.[0,+°°)C.(—8,0)D.(—8,4-oo)

3..函数)，=萼(0<〃<1)的图象的大致形状是()

4.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且aWl),满足f(l)=，则f(x)的单调递减区间是()

A.(-0°,2JB.[2,+8)c.[—2,+8)D.(-oo,-2]

二、填空题

3

-

45

-

4

6.已知函数f(x)=a—x(a>0,且aKl),且f(—2)>f(—3),则a的取值范闱是.

第三节对数与对数函数

I.对数的概念

一般电如果a(a>0,aWl)的b次哥等于N,即ab=N,则数b叫作以a为底N的对数，记作

logaN=b.其中a叫作对数的底数,N叫作真数.

2.对数的性质与运算性质

(1)对数的性质①alogaN=N；②logaaN=N(a>0,且aHl)：③零和负数没有对数.

(2)对数的运算性质(a>0,且aW1,MX),N>0)

①log，M,M=log“W+loR“/V；②lo眄产logqM-lo&M③logz,AT=mogqM(〃+R).

(3)对数的重要公式

①换底公式：logbN=(a,b均大于零且不等于1)；②logab=,推广logab-logbc-logcd

=logad.

3.对数函数的图象与性质

a>\OVaVl

口

图象

1!产随3

(0,+8)

定义域

值域R

过点(1,0),即x=l时,y=0

当x>l时,yVO；当0<x<lE、j,y>

当x>l时,y>0；当0<xVl时,y<0

性质0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

★练习

1.函数f(x)=loga(x+2)—2(a>0,且aW1)的图象必过定点()

A.(l,0)B.(l,-2)C.(-1,-2)D.(~l,-1)

2.(2015•浙江卷)计算：Iog2=；210g23+log43=.

3.函数.公)=log42x+1)的单调增区间是.

4.若loga<l(a>0,且a芋1),则实数a的取值范围是_______.

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015・四川卷)设a,b为正实数，则wa>b>lw是“log2a>log2b>0”的()

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.若函数y=logax(a>0,且aW1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()

3.已知b>0,log5b=a,Igb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是（）

A.J=acB.a—cdC.c=adD.d=a+c

4.若logaVI,则a的取值范围是（）

A.B.C.D.U（l,+8）

5.（2015•萍乡调研）函数f［x）=loga（ax-3）在［I,3］上单调递增，则a的取值范围是（）

A.（l,+8）B.（0,l）C.（0.）D.（3,+8）

二、填空题

6.（2015•四川卷）1g0.01+lcg216的值是.

7.函数），=log1，-2x）的定义域是；单调递减区间是.

8.（2016・武汉调研）已知函数f（x）为奇函数,当x>0时，f（x）=log2x,则满足不等式f（x）>0

的x的取值范围是.

第四讲函数图像及其应用

第1节函数的图像

1.利用描点法作函数图象：其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：（1）确定函数的定义域,（2）化简函数解析式,（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期

性、对称性等）.

其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连

线.

2.函数图象间的变换

（I）平移变换

对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.

(2)对称变换

关于y轴对称函数厂/(T)何丽

函关于x轴对称函数尸-/G)丽园

数

y关于原点对称尸田T)

/(x)

X轴及上方部分不变J

的，轴卜方部分翻折到上方|函数尸仪％)1丽家

图1

象蜘轴左侧部分去擦、右侧不变

函数尸/(141)的图象

y轴彳i侧部分翻折到左侧

(3)伸缩变换

『、纵坐标不变！、

幻各点横坐标变为原来用(«>0)倍丁=儿出・

横坐标不变_

>'=贝幻各点纵坐标变为原纸的44>0)倍)二力10

★练习

1.(2015•广州一调)把函数v=(x—2)2+2的图象向左平移I个单位，再向上平移1个单位，所

得图象对应的函数解析式是()

A.y=(x—3尸+3B.y=(x—3/+lC.y=(x—1尸+3D.y=(x—1/+1

2.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为1的图形运动一周,O,P两点连线的距离y与点P

走过的路程x的函数关系如图，则点P所走的图形是()

p

3.(2016•延安调研)已知图(1)中的图象对应的函数为y=f(x),则图(2)中的图象对应的函数为

)

0

\0

⑴⑵

A»=川川)B,.y=[/(A)|C..y=/-|.v|)D.y=-/av|)

4.(2015•长沙模拟)已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)—a=O有两个实根.则实数a的取

值范围是________.

基础巩固题组

一、选择题

1.函数y=l一士的图象是(

•X1

2

2.函数y=5'与函数丁=一吉的图象关于(

)

A.x轴对称Bj轴对■称C.原点对称D.直线)，=x对称

3.已知定义在区间［0,2］上的函数y=f(x)的图象如图所示，则y=-f(2-x)的图象为()

4.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是()

A.(—1,0)B.[—1,0)C.(—2,0)D.[—2,0)

二、填空题

6.设奇函数f(x)的定义域为［-5,5］.若当x£［0.5］时，f(x)的图象如图,则不等式f(x)VO的解

集是.

7.(2015•安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有

一个交点，则a的值为.

第2节函数的应用

1.函数的零点

(1)函数的零点的概念：函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.

(2)函数的零点与方程的根的关系

方程f(x)=0有实数根=函数y=f(x)的图像与x轴有交点=函数y=f(x)有零点.

(3)零点存在性定理

若函数y=f(x)在闭区间Ri,b］上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即

f(a)«f(b)<0,则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)=0在区间(a,b)

内至少有一个实数解.

2.二次函数)，=0¥2+法+“<40)的图象与零点的关系

J>0/=0d<0

二次函数■

y=ax2+Z?.v+c

(a>0)的图象

(xl.0).(x2、0)(xl,0)

与入轴的交点无交点

零点个数两个一个零个

3.指数、对数、基函数模型性质比较

1)y=f(〃>0)

性质

在。+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的港大逐渐表现为与上

随X的增大逐渐表现为与4随〃值变化而

图象的变化轴平行

轴平行各有不同

值的比较存在一个x0,当x>xO时，有logax<xn<ax

★练习

1.若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)内，则下列命题中正确的

是()

A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点

C.函数f(x)在区间［2,16)上无零点D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点

2.已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()

A.(0,1)B.(l,2)C.(2,4)D.(4,+8)

3.(2015•天津卷)已知函数f(x)=函数g(x)=3—f(2—x),则函数y=f(x)—g(x)的零点个数为

()

A.2B.3C.4D.5

4.某桶装水经营部

每天的房租、人员工

资等固定成本为

200元，每桶水的进

6789101112

价是5元，销售单价

与口均销售量的关

系如表所示：

销售单价/元

日均销售量/桶480440400360320280240

请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为元.

基础巩固题组

一、选择题

1.(2015・瑞金模拟)函数五用=2工一±的零点所在的大致区间是()

A.(0,2)

2.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,则函数g(x)=bx2-ax的零点是()

A.0,2B.0,C.0,-D.2,一

3.(2015•周口二模)已知函数f(x)=-log3x,若x0是函数y=f(x)的零点，且0<xl<x0,

则f(xl)的值()

A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0

4.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费

一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增

加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()

A.10B.llC.13D.21

5.若函数f(x)=ax2—X—1有且仅有一个零点，则实数a的取值为()

A.OB.一1c.O或一(D.2

第五讲导数及其应用

第1节导数的概念及运算

1.导数与导函数的概念

⑴当xl趋于x0,即Ax趋于。时，如果平均变化率趋于一个固定的值，则这个值

就是函数y=f(x)在xO点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)

在xO点的导数，通常月符号『(xO)表示，记作

/(Xl)—/(Jx))1./(Z()f(X))

11m---------------=lim---------;----:-----

f(xo)=二—2Z巴_t----------'--------.

(2)如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f'(x):

f(x)=,则『(x)是关于x的函数，称『(x)为f(x)的导函数，通常也简称为

导数.

2.导数的几何意义

函数y=f(x)在点x()处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(xO,f(x()))处的

切线的斜率k,BPk=r(xO),切线方程为:y—f(xO)=f'(x())(x—x()).

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

凡v)=C(C为常数)/(x)=Q

J(x)=xa(a是实数)/(%)=*|

y(x)=sinxf(.r)=cosx

/(x)=cosxf(x)=­sinx

人工)=8/(x)=更

f(x)=ax(a>0,a)f(x)=axAn_a

fix)=lnx

f(x)=logax(a>0,且aWl)

4.导数的运算法则

若产（x）,g，（X）存在,则有:（l）［f（x）士g（x）r=r（x）±g/（x）；

(2)[/U>g(x)『=1(x),eCr)+/Cdg'(x);

rf（X）­if（/）g（」）一《（X）月'（X）

J=仅（x）F(g(x)WO).

★练习

1.己知函数f（x）=ax2+c,且f'（1）=2,则a的值为（）

A.1R.A/2C.-1DO

2.（2016・铜川调研）已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（）

A.eB.—eC.~D.—~

ee

3已知函数f(x)=ax3+x+l的图象在点(1「(1))处的切线过点(2,7),则a=—.

4曲线y=在点M(n,())处的切线方程为.

基础巩固题组

一、选择题

1.设f(x)=xlnx,若f'(x())=2,则xO的值为()

]n2

A.e2B.eC.^-D.ln2

2.设y=x2ex,则y'=()

A„rev+ZrB.2xevC.(2A,+x2)evD.(x4-x2)ev

3.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2x・f'(l)+lnx,则f'(1)等于

()

A.—eB.-1C.1D.e

4.(2015•榆林模拟)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2