陕西省石泉县高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模教学实录 北师大版必修1

陕西省石泉县高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模教学实录北师大版必修1学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析本节课选自北师大版高中数学必修1第四章函数应用4.2实际问题的函数建模。该节内容与课本紧密关联，旨在通过实际问题引入函数建模思想，帮助学生理解函数在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。教学内容符合教学实际，贴近学生生活，有利于激发学生的学习兴趣，培养他们的数学思维。核心素养目标1.发展数学建模意识，学会运用函数模型解决实际问题。

2.提升逻辑推理能力，通过分析问题，构建合理的数学模型。

3.培养应用意识，理解数学与生活的联系，提高解决实际问题的能力。

4.增强数学运算能力，熟练运用数学工具进行计算和推导。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了函数的基本概念、性质和图像，以及基本的数学建模方法。他们能够识别和理解不同类型的函数，如线性函数、二次函数等，并能够运用这些函数解决一些简单的数学问题。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，部分学生对函数建模这类应用数学问题表现出较高的兴趣，他们喜欢通过实际问题来理解数学概念。学生的能力水平参差不齐，一些学生具有较强的逻辑思维能力和解决问题的能力，而另一些学生可能在理解抽象概念和建立数学模型时遇到困难。学习风格上，有的学生偏好通过直观的图形来理解数学，有的则更倾向于通过公式和计算来解决问题。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在理解和应用函数建模时可能遇到的困难包括：如何将实际问题转化为数学模型，如何选择合适的函数类型来描述问题，以及如何处理复杂的数据和计算。此外，学生可能对函数模型的应用场景和实际意义理解不够深入，导致在解决实际问题时缺乏信心和动力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括《高中数学》北师大版必修1的相关章节。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如函数图像展示、实际问题案例等。

3.实验器材：本节课不涉及实验，无需实验器材。

4.教室布置：布置教室环境，设置分组讨论区，确保学生能够进行有效的合作学习。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对函数应用的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们在生活中遇到过需要用数学方法解决的问题吗？”

展示一些实际生活中的函数应用案例，如购物折扣、温度变化等，让学生初步感受函数的魅力或特点。

简短介绍函数应用的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.函数应用基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解函数应用的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解函数应用的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍函数应用的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.函数应用案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解函数应用的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的函数应用案例进行分析，如人口增长模型、经济预测模型等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解函数应用的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用函数解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与函数应用相关的主题进行深入讨论，如“如何用函数模型预测天气变化”。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对函数应用的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调函数应用的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括函数应用的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调函数应用在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用函数。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学习效果，提高学生的实际应用能力。

过程：

布置课后作业：让学生选择一个实际生活中的问题，尝试用函数模型进行建模和预测。

要求学生在下一节课前提交作业，并准备在课堂上进行分享和讨论。教学资源拓展1.拓展资源：

-函数图像与实际应用：介绍函数图像在不同领域的应用，如物理学中的运动轨迹、经济学中的供需曲线等。

-函数模型的历史发展：探讨函数模型的发展历程，从古代的几何模型到现代的数学建模。

-案例分析数据库：提供一系列不同领域的函数应用案例，包括数据来源、模型构建和分析结果。

-数学软件应用：介绍如何使用MATLAB、Mathematica等数学软件进行函数建模和数据分析。

2.拓展建议：

-学生可以通过阅读相关科普书籍或学术论文，深入了解函数模型在不同领域的应用。

-鼓励学生参与数学建模竞赛，将所学的函数知识应用于解决实际问题。

-建议学生收集和整理实际生活中的函数应用案例，进行分析和讨论，以增强对函数概念的理解。

-组织学生参观科技馆或企业，了解函数模型在实际生产中的应用，提高他们的实践能力。

-建议学生利用网络资源，如教育平台和在线课程，进行自主学习，拓宽知识面。

-推荐学生阅读数学史书籍，了解函数模型的历史演变，激发对数学的兴趣和好奇心。

-建议学生参与小组项目，共同研究和解决一个实际的问题，提高团队合作和问题解决能力。

-鼓励学生尝试使用不同的数学软件，学习不同的建模方法和数据分析技术。

-组织学生参加研讨会或讲座，邀请相关领域的专家分享他们的研究成果和经验。

-建议学生撰写研究报告或论文，总结他们的学习成果，提高学术写作能力。教学反思与改进这节课上完之后，我觉得还是有不少值得反思的地方。首先，我觉得在导入环节，虽然我通过实际案例引起了学生的兴趣，但是可能没有很好地把握住学生们的兴趣点，有的学生对于案例中的数学问题并不太感兴趣，所以我觉得在未来的教学中，我应该更细致地了解学生的兴趣所在，找到更贴近他们生活经验的案例来引入新课。

接着，我在讲解基础知识时，发现有的学生对于函数模型的概念理解不够深刻。我觉得这可能是因为我讲解的时候没有用足够直观的方式来表达，或者是我对学生的反馈不够敏感，没有及时调整教学节奏。所以，我需要在未来的教学中，尝试更多样的教学方式，比如使用多媒体教学，结合图形和动画来解释复杂的数学概念。

案例分析环节，虽然学生参与度很高，但是在讨论过程中，我发现一些学生对于如何将实际问题转化为数学模型仍然感到困惑。这可能是由于他们的逻辑思维能力还有待提高。因此，我计划在未来的教学中，增加一些逻辑推理的训练，帮助学生更好地理解模型构建的过程。

小组讨论环节，我观察到学生们在讨论时，有些小组内部交流不够，或者有的学生不愿意发表意见。这提示我需要更有效地组织小组讨论，比如提前给出讨论指南，鼓励学生积极参与，并且给予他们更多展示自己观点的机会。

在课堂展示与点评环节，虽然学生们表现得很积极，但是我发现自己在点评时可能过于严格，有时会打击学生的积极性。我意识到，我需要更加关注学生的努力和进步，给予更多的正面反馈。

最后，我觉得课后作业的布置还可以更加多样化，不仅仅局限于传统的书面作业，可以加入一些实际操作或者研究性的任务，这样既能巩固所学知识，又能提高学生的综合能力。

1.更深入地了解学生的兴趣和需求，以便更好地设计教学内容和案例。

2.采用多种教学手段，提高学生对抽象数学概念的理解能力。

3.加强逻辑推理和模型构建的训练，帮助学生更好地应用数学知识。

4.改善小组讨论的组织方式，鼓励学生积极参与和表达自己的观点。

5.提供多样化的课后作业，提高学生的实践能力和创新能力。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-函数的定义与性质

-函数模型的应用场景

-实际问题的数学建模方法

②本文重点词句：

-“函数是描述变量之间关系的数学工具。”

-“函数模型是解决实际问题的有效方法。”

-“数学建模是数学与实际问题之间的桥梁。”

③本文重点逻辑关系：

-函数定义与性质：阐述函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系等，以及函数的图像、性质和分类。

-函数模型的应用场景：介绍函数模型在各个领域的应用，如物理学、经济学、生物学等，以及这些应用的实际意义。

-实际问题的数学建模方法：讲解如何将实际问题转化为数学模型，包括问题的抽象、模型的选择和验证等步骤。重点题型整理1.题型一：函数模型建立与应用

-例题：某城市人口增长情况如下表所示，请建立人口增长模型，并预测未来5年的人口数量。

|年份|人口数量（万人）|

|----|--------------|

|2010|500|

|2015|540|

|2020|580|

-答案：首先，观察数据，发现人口数量每年增加约40万人，因此可以假设人口增长呈线性关系。设人口增长函数为y=ax+b，代入数据求解a和b，得到模型y=40x+460。预测未来5年的人口数量，将年份代入模型计算。

2.题型二：函数图像分析

-例题：已知函数f(x)=-2x^2+4x+1，请分析该函数的图像特征，并确定其顶点坐标。

-答案：首先，将函数f(x)写成顶点式f(x)=-2(x-1)^2+3，可以看出函数图像是一个开口向下的抛物线，顶点坐标为(1,3)。

3.题型三：函数方程求解

-例题：解方程2x^2-4x-6=0。

-答案：使用求根公式解方程，首先计算判别式Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4*2*(-6)=16+48=64，因为Δ>0，所以方程有两个实数根。根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，得到x1=(4+8)/4=3，x2=(4-8)/4=-1。

4.题型四：函数性质判断

-例题：判断函数f(x)=x^3-3x在区间[0,2]上的单调性。

-答案：首先求出函数的导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。由于在区间[0,2]上，f'(x)>0，所以函数在[0,2]上单调递增。

5.题型五：函数与实际问题结合

-例题：某商品的原价为100元，销售过程中，每增加1元，销量减少5件。请建立销量与价格之间的函数关系，并求出该商品的销售价格使其利润最大。

-答案：设商品售价为x元，销量为y件，则销量与价格之间的关系为y=100-5(x-100)。利润函数为P(x)=(x-100)*(100-5(x-100))，化简得P(x)=-25x^2+1500x-50000。为了求出最大利润，需要找到P(x)的极大值点，即求导数P'(x)=-50x+1500=0，解得x=30。因此，该商品的销售价格应为30元。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了函数应用的相关知识，重点了解了函数模型在实际问题中的应用。通过几个实际案例的分析，我们学会了如何将实际问题转化为数学模型，并运用数学知识解决这些问题。以下是本节课的几个关键点：

1.函数模型是解决实际问题的有效工具，它可以帮助我们描述和预测现实世界中的各种现象。

2.在建立函数模型时，我们要注意选择合适的函数类型，并确保模型能够准确地反映问题的本质。

3.函数模型的构建过程包括问题的抽象、模型的选择、参数的确定和模型的验证等步骤。

4.在实际应用中，我们要注意将数学知识与实际生活相结合，提高解决问题的能力。

当堂检测：

为了检测学生对本节课内容的掌握情况，以下是一些检测题目：

1.请根据以下数据建立人口增长模型，并预测未来10年的人口数量。

|年份|人口数量（万人）|

|----|--------------|

|2010|1000|

|2015|1100|

|2020|1200|

2.已知某商品的销量与价格之间的关系为y=-5x^2+100x，其中x为价格（元），y为销量（件）。请求出该商品的最大利润价格。

3.某城市一年的降雨量数据如下表所示，请建立降雨量与年份之间的函数模型，并预测明年该城市的降雨量。

|年份|降雨量（毫米）|

|----|--------------|

|2010|800|

|2015|750|

|2020|720|

4.已知函数