河南省开封市五县联考2024-2025学年高二下学期开学质量检测试题 数学含解析

一、单选题1．直线x-y+3=0在y轴的截距为()2．已知椭圆的长半轴长等于焦距的3倍，则该椭圆的离心率为()223．已知双曲线的方程为x-y=1，则该双曲线的焦距为()4．已知数列{an}为等比数列，若a1，a7是方程x2-10x+16=0的两个不相等的实数根，则a4=()5．已知直线l的一个方向向量为EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(r),u)=(1,-2,2)，平面α的一个法向量为n-=(2,-1,2)，则l与平面α所成角的正弦值为()89B．2334D．136．已知实数x，y满足x2+y2-2x=0，则的取值范围为()227．已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作斜率为正且与双曲线C的某条渐近线垂直的直线l与双曲线C在第一象限交于点A，若cosLF1AF2=，则双曲线C的离心率为()8．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1:x-my+4m-1=0与l2:mx+y-3m-2=0交于点P，点Q(x0,y0)是抛物线y2=-4x上一个动点，则|PQ|-x0的最小值为()二、多选题n}的公比为2B．{an}的通项公式为an==20D．数列为递增数列10．若方程所表示的曲线为C，则下列命题正确的是()A．曲线C可能是圆B．若曲线C为椭圆，则t<4且t≠-3C．若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C为双曲线，则11．已知圆C1：x2+y2-2x+4y+4=0，若圆C2与圆C1关于直线y=x对称，则下列说法正确的是()A．圆C2的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=1B．过点(-1,1)可作圆C2的切线有两条C．若M,N分别为圆C1，圆C2上的点，则M,N两点间的最大距离为3+2D．若E，F为圆C2上的两个动点，且EF=·、，则线段EF的中点的轨迹方程为三、填空题13．已知抛物线C的准线是圆x2+y2-4=0与圆x2+y2+2x-2=0的公共弦所在的直线，则抛物线C的标准方程为．14．将数列an=3n-2与数列bn=4n-3的公共项从小到大排列得到数列{cn}，则使得cn>2025成立的n的最小值为．四、解答题15．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an-Sn=n．(1)证明：数列{an+1}是等比数列；(2)设数列{bn}满足bn=an+n，求{bn}的前n项和Tn．16．已知圆C关于x轴对称且经过点(3,)和(2,-2)．(1)求圆C的标准方程；(2)过点P(1,)的直线l与圆C交于A，B两点；若|AB|=2，求直线l的方程．17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD丄平面ABCD，AB//CD，AB丄BC，AB=2CD=2BC=(1)求证：AD丄平面PBD；(2)若PD=·、，求平面PAB与平面PBD的夹角的余弦值．(2)求数列{an.bn}的前n项和Tn；若EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up8(为奇数),为偶数)，求数列{cn}的前2n项和S2n.19．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点，若点P是椭圆C上的一点，求|PM|的最小值；(3)已知直线l的斜率存在，且与椭圆C交于D，E两点（D，E与A，B不重合直线AD斜率为k1，直线BE斜率为k2，若k1=4k2，请问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．题号123456789答案CBDDABABACACD题号答案ACD直接令x=0即可得到答案.【详解】令x=0，得y=，所以直线在y轴的截距为．故选：C．应用椭圆的长轴及焦距列式求解离心率即可.【详解】设椭圆长轴长2a，焦距2c，则a=3×2c，即．故选:B．根据给定的方程求出半焦距即可.【详解】双曲线的实半轴长a=2，虚半轴长b=，则半焦距所以该双曲线的焦距为故选：D由韦达定理结合等比数列性质即可求解；【详解】由题意可得a1.a716，解得a4=±4．故选：D．应用空间向量法计算线面角正弦值即可.【详解】设l与α所成角的大小为θ,则sinθ=cos◆◆故选:A．由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解．【详解】已知实数x，y满足x2+y2-2x=0，则(x,y)的轨迹方程为(x-1)2+y2=1，由题意可得则故选：B.由图利用点线距和勾股定理求出FD,OD，过点F2作F2B丄l于B，推理可得F1B,F2B，根据解三角形和双曲线的定义可得即可求离心率.【详解】令双曲线C的半焦距为c，则F1(-c,0)，令直线l与双曲线C的渐近线bx+ay=0垂直的垂足为D，如图，过点F2作F2B丄l于B，则F2B//OD，由双曲线定义得AF1-AF2=2a，即解得．故该双曲线的离心率为故选：A．由直线方程可得其所过定点，根据两直线位置关系可得其焦点的轨迹，根据抛物线的定义与圆外一点到圆上点的距离最值问题，结合图象，可得答案.直线l2:mx+y3m2=0，即m(x3)+(y2)=0，可知直线l2过定点Q(3,2)；2，可知点P在以AB为直径的圆上，此时圆心为C(2,3)，半径r=1|AB|=．2当且仅当点P在线段QC上时，等号成立，又因为|QC|+|QF|≥|CF|=3，当且仅当点Q在线段FC上时，等号成立，所以|PQ|x0的最小值为21．故选：B．应用等比数列的基本量运算求出公比及通项判断A，B，C，再结合对数运算计算判断单调性判断D.【详解】设等比数列{an}的公比为q，依题意，a1a3=aEQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up5(2),2)=4，a2>0，所以a2524=20，A，C正确，B错误；对于则数列为递减数列，D错误．故选：AC．由圆、椭圆、双曲线方程的结构特点逐项判断即可；【详解】对于A选项，若曲线C表示圆，则，解得t=-3，即曲线C可能是圆，A正确；对于B选项，若曲线C为椭圆，则解得且t≠-3，B错误；对于C选项，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则解得正确；对于D选项，若曲线C为双曲线，则(4-t)(1-2t)<0，解得正确．故选：ACD．11．ACD由题意，根据圆C2与圆C1关于直线y=x对称，得到圆C2的圆心和半径，进而可判断A；根据点(-1,1)在C2上，则过该点有且仅有一条切线，可判断B；要求M,N两点间的最大距离，先求C1C2，代入计算即可判断C；设EF中点为P，结合垂径定理即可判断D.【详解】对于A：易知圆C1:(x-1)2+(y+2)2=1，其圆心为C1(1,-2)，半径为1，故圆C2的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=1，故A正确；对于B：易知点(-1,1)在C2上，故过点(-1,1)有且仅有一条切线，即B错误；对于D：设EF中点为P，则C2P丄EF，因为圆C2的半径为1，由垂径定理可知故点P的轨迹方程为故D正确．故选：ACD.由两直平行得到a2=4，求解并验证即可；当a=2时，直线重合，舍去，当a=2时，符合题意；故a=2；故答案为：2利用两圆方程相减后求出公共弦方程，再结合抛物线的性质求解即可；所以→p=2，所以抛物线的标准方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．通过公共项确定{cn}通项公式即可求解；故cn=12n11，所以12n11>2025，解得，所以n的最小值为170．故答案为：17015．(1)证明见解析（1）由an，Sn的关系作差即可判断；（2）由（1）求得an，再由等差数列、等比数列的求和公式即可求解；当n≥2时，联立所以=2，所以{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列；n23n1n23n1n)+(0（1）由题意，设C(t,0)到(3,)和(2,—2)的距离相等代入求解t，再求半径即可2）利用直线与圆的弦长公式求解.【详解】（1）因为圆C关于x轴对称，所以圆心在x轴上，设C(t,0)，由于圆经过(3,)和(2,—2)，所以(t,0)到(3,)和(2,—2)的距离相等，22所以圆C的标准方程为(x—2)2+y2（2）取AB中点D，连接CD，易知△BCD为直角三角形，即圆心到直线l的距离为，当直线l斜率不存在时，直线l方程为x=1，C到其距离为1，不符合题意；所以解得k=0或，故直线l的方程为y=或x—y=0．17．(1)证明见解析（1）先应用勾股定理得出AD丄BD，再应用线面垂直判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，再应用面面角公式计算即可.所以四边形ABCD为直角梯形，取AB中点E，连接DE，则AE=BE=1，四边形BCDE为正方形，所以AD2+BD2=AB2，所以AD丄BD，因为PD丄平面ABCD，ADG平面ABCD，所以AD丄PD，因为PD∩BD=D，PDG平面PBD，PBG平面PBD，所以AD丄平面PBD；（2）由（1）可知，PD，PD，BD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A(,0,0)，B(0,,0)，PEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),A),0EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2(-),A),0,)，设平面PAB的一个法向量m=(x,y,z)，由（1）可知AD丄平面PBD，所以(,0,0)是平面PBD的一个法向量，记作n，记平面PAB与平面PBD的夹角为n1；(1)由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；(3)由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】（1）{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，设公差为d，公比为q(q>0)，22，2T23+3.24两式相减可得EQ\*jc3\*hps12\o\al(\s\up9(n),n)2n1