高考文数一轮夯基作业本8-第八章立体几何夯基提能作业本5

第五节直线、平面垂直的判定与性质A组基础题组1.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有()A.平面ABD⊥平面ADC B.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面BDC2.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥ABCD,则在三棱锥ABCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC3.(2017北京朝阳期中)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是()A.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则α⊥βB.若α∥β,m⊥α,n∥β,则m⊥nC.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m∥nD.若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥β4.(2015北京西城二模)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,点P为对角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD上的动点(点P、Q可以重合),则B1P+PQ的最小值为()A.2 B.3 C.32 5.(2017北京,18,14分)如图,在三棱锥PABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD;(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积.6.(2017北京朝阳期中)如图,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,DE∥PA.(1)求证:BC⊥CE;(2)若直线m⊂平面PAB,试判断直线m与平面CDE的位置关系,并说明理由;(3)若AB=PA=2DE=2,AD=3,求三棱锥EPCD的体积.7.(2018北京朝阳期中)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,E是棱PA上的一个动点.(1)若E为PA的中点,求证:PC∥平面BDE;(2)求证:平面PAC⊥平面BDE;(3)若三棱锥PBDE的体积是四棱锥PABCD的体积的13,求EAB组提升题组8.(2016北京海淀二模)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点P,Q,R分别是棱A1A,A1B1,A1D1的中点,以△PQR为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上,则这个正三棱柱的高为()A.22 B.2 C.33 9.(2017北京东城二模)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,BC∥AD,△ABD是边长为2的正三角形,E,F分别为AD,A1D1的中点.(1)求证:DD1⊥平面ABCD;(2)求证:平面A1BE⊥平面ADD1A1;(3)若CF∥平面A1BE,求棱BC的长度.

10.(2018北京海淀期末)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.(1)求证:AC⊥AE;(2)求三棱柱ABCA1B1C1的体积;(3)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP∥平面AEF.若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.11.(2016北京西城二模)如图,在周长为8的矩形ABCD中,E,F分别为BC,DA的中点.将矩形ABCD沿着线段EF折起,使得∠DFA=60°.设G为AF上一点,且满足CF∥平面BDG.(1)求证:EF⊥DG;(2)求证:G为线段AF的中点;(3)求线段CG长度的最小值.答案精解精析A组基础题组1.C∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC,又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.2.D易证BD⊥CD.因为平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD,故CD⊥平面ABD,则CD⊥AB.又AD⊥AB,AD∩CD=D,AD⊂平面ADC,CD⊂平面ADC,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,∴平面ADC⊥平面ABC.3.B由m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面知:在A中,若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则α与β相交或平行,故A错误;在B中,若α∥β,m⊥α,n∥β,则m⊥β,m⊥n,故B正确;在C中,若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m与n相交、平行或异面,故C错误;在D中,若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n与β相交、平行或n⊂β,故D错误.故选B.4.C5.解析本题考查线面垂直的判定和性质,面面垂直的判定及线面平行的性质,三棱锥的体积.考查空间想象能力.(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)因为AB=BC,D为AC中点,所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=2由(1)知,PA⊥平面ABC,所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积V=16BD·DC·DE=16.解析(1)证明:因为PA⊥底面ABCD,PA∥DE,所以DE⊥底面ABCD.所以DE⊥BC.因为四边形ABCD为矩形,所以BC⊥CD.又因为CD∩DE=D,所以BC⊥平面CDE,所以BC⊥CE.(2)直线m∥平面CDE.证明如下:因为PA∥DE,且PA⊂平面PAB,DE⊄平面PAB,所以DE∥平面PAB.在矩形ABCD中,CD∥BA,且BA⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,所以CD∥平面PAB.又因为CD∩DE=D,所以平面PAB∥平面CDE.又因为直线m⊂平面PAB,所以直线m∥平面CDE.(3)由题意知,三棱锥EPCD的体积等于三棱锥PCDE的体积.由(1)可知,BC⊥平面CDE.又因为AD∥BC,所以AD⊥平面CDE.易证PA∥平面CDE,所以点P到平面CDE的距离等于AD的长.因为S△CDE=12CD·DE=1所以三棱锥EPCD的体积V=13S△CDE·AD=17.解析(1)证明:如图,设AC交BD于O,连接EO.因为底面ABCD是菱形,所以O是AC的中点.又因为E为PA的中点,所以EO∥PC.因为PC⊄平面BDE,EO⊂平面BDE,所以PC∥平面BDE.(2)证明:因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.(3)设四棱锥PABCD的体积为V.因为PA⊥平面ABCD,所以V=13·S菱形ABCD又因为底面ABCD是菱形,BD为对角线,所以S△ABD=S△BCD=12S菱形ABCD所以VPABD=13·S△ABD·PA=1根据题意,VPBDE=13所以VEABD=VPABDVPBDE=12V13V=又因为VEABD=13·S△ABD·EA,所以EAPA=VE-ABDB组提升题组8.D连接A1C,A1C1,B1D1.在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,又∵CC1⊥面A1B1C1D1,B1D1⊂面A1B1C1D1,∴CC1⊥B1D1,∵A1C1∩CC1=C1,∴B1D1⊥面A1CC1.∴B1D1⊥A1C.又∵R、Q分别为A1D1、A1B1的中点,∴RQ∥B1D1,∴RQ⊥A1C.同理可证,PQ⊥A1C.又∵RQ∩PQ=Q,∴A1C⊥面PQR.故此正三棱柱的侧棱必与A1C平行.连接AC,BD交于M,连接PM.∵P为AA1的中点,M为AC的中点,∴PM∥A1C,∴PM⊥面PQR,故M为正三棱柱另一底面的一个顶点.故PM的长即为正三棱柱的高.在△AA1C中,PM=12A1C=39.解析(1)证明:因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形,所以DD1⊥AD,且DD1⊥CD.因为AD∩CD=D,所以DD1⊥平面ABCD.(2)证明:因为△ABD是正三角形,且E为AD的中点,所以BE⊥AD.因为DD1⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以BE⊥DD1.因为AD∩DD1=D,所以BE⊥平面ADD1A1.因为BE⊂平面A1BE,所以平面A1BE⊥平面ADD1A1.(3)因为BC∥AD,AD∥A1D1,所以BC∥A1F.所以B,C,F,A1四点共面.因为CF∥平面A1BE,平面BCFA1∩平面A1BE=A1B,所以CF∥A1B.所以四边形BCFA1是平行四边形.所以BC=FA1=1210.解析(1)证明:三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,因为侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,AC⊂底面ABC,所以AC⊥平面ABB1A1,又因为AE⊂平面ABB1A1,所以AC⊥AE.(2)连接AB1,因为三棱柱ABCA1B1C1中,所以A1B1=AB.因为AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因为∠AA1B1=60°,所以△AA1B1是边长为2的正三角形.因为E是棱A1B1的中点,所以AE⊥A1B1,AE=3.又因为AE⊥AC,A1C1∥AC,所以AE⊥A1C1.因为A1C1∩A1B1=A1,A1C1、A1B1⊂底面A1B1C1,所以AE⊥底面A1B1C1.所以三棱柱ABCA1B1C1的体积为V=S△=12A1B1·A1C1·AE=12=23.(3)在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.理由如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,设交点为P.连接CP.因为BB1∥AA1,故EA1EB1由于E为棱A1B1的中点,所以EA1=EB1,故有PE=EB.又F为棱BC的中点,连接EF,故EF为△BCP的中位线,所以EF∥CP.又EF⊂平面AEF,CP⊄平面AEF,所以CP∥平面AEF.故在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.此时A1P=BB1=2,AP=2AA1=4.11.解析(1)证明:因为在折起前的矩形ABCD中,E,F分别为BC,DA的中点,所以在立体图形中,EF⊥FD,EF⊥FA,又因为FD∩FA=F,所以EF⊥平面DFA.又因为DG⊂平面DFA,所以EF⊥DG.(2)证明:因为在折起前的矩形ABCD中,E,F分别为BC,DA的中点,所以在立体图形中,AB∥EF∥CD.故在立体图形中,四边形ABCD为平行四边形.连接AC,设AC∩BD=O,则AO=CO.连接OG.因为CF∥平面BDG,CF⊂平面ACF,平面ACF∩平面BDG=OG,所以CF∥OG,因为O为AC的中点,所以G为线段AF的中点.(3)因为DF