机械工程测试与控制技术课件：系统的频率特性及稳定性分析

机械工程测试与控制技术系统的频率特性及稳定性分析5.1频率特性的基本概念5.2频率响应的极坐标图5.3频率响应的对数坐标图5.4由频率特性曲线求传递函数5.5系统的稳定性分析频域:在分析问题时,以频率作为基本变量.频率响应:是控制系统对正弦输入信号的稳态响应.频域法5.1频率特性的基本概念频域法是工程上广为采用的系统分析和综合的间接方法.除了电路与频率特性有着密切关系外,在机械工程中机械振动与频率特性也有着密切的关系.一、频率响应系统线性系统的正弦稳态响应虽然在前面的分析中,设定输入信号是正弦信号,然而频率特性是系统的固有特性,与输入信号无关.即当输入为非正弦信号时,系统仍然具有自身的频率特性.5.1频率特性的基本概念系统频率特性是控制系统在不同频率正弦信号输入时,其稳态输出随频率(ω由0变到无穷大)而变化的特性.二、频率特性5.1频率特性的基本概念系统频率特性函数的求取方法(1)如果已知系统的微分方程,可以通过傅氏变换方法求取;(2)如果已知系统的传递函数G(s),可将s=jω代入传递函数中,即可得到系统的频率特性函数G(jω);(3)可以通过实验的方法求得.U(ω)是G(jω)的实部,称为实频特性.V(ω)是G(jω)的虚部,称为虚频特性.系统频率特性函数的表示形式大多数机电系统可简单地将拉氏变换G(s)中的s换成jw而直接得到,因此系统的频率特性函数是一种复变函数,有三种表示形式:(1)代数形式:5.1频率特性的基本概念(2)极坐标式:A(ω)是G(jω)的模,称为幅频特性.φ(ω)是G(jω)是的相角,称为相频特性.(3)指数式:5.1频率特性的基本概念例4-1

如下图所示系统的频率特性函数5.1频率特性的基本概念例4-1

如下图所示系统的频率特性函数解:传递函数为将s代之以jω,即得到系统的频率特性函数,为5.1频率特性的基本概念例2

试求的幅频特性和相频特性.5.1频率特性的基本概念例2

试求的幅频特性和相频特性.解:A(ω)φ(ω)5.1频率特性的基本概念例3

某系统传递函数为当输入为时,试求其稳态输出.5.1频率特性的基本概念例3

某系统传递函数为当输入为时,试求其稳态输出.解:当给一个线性系统输入正弦函数信号时,其系统输出为与输入同频率的正弦信号,其输出的幅值与相角取决于系统幅频特性与相频特性.5.1频率特性的基本概念5.1频率特性的基本概念5.2频率响应的极坐标图5.3频率响应的对数坐标图5.4由频率特性曲线求传递函数5.5系统的稳定性分析一

极坐标图的定义极坐标图是反映频率特性的几何表示.当ω从0逐渐增长至+∞

时,频率特性G(jω)作为一个矢量,其端点在复平面相对应的轨迹就是频率特性的极坐标图.极坐标图也称为乃氏图或乃奎斯特曲线(Nyquist).5.2频率响应的极坐标图二

极坐标图的画法5.2频率响应的极坐标图(1)

写出系统的A(ω)和φ(ω)表达式;(2)

分别求出ω=0和ω趋于无穷时的G(jω);(3)求Nyquist与实轴交点,交点可用Im[G(jω)]=0求出;也可以利用关系式∠G(jω)=n⋅180o(其中n为整数)求出;(4)求Nyquist与虚轴交点,交点可用Re[G(jω)]=0求出;

也可以利用关系式∠G(jω)=n⋅90o(其中n为奇数)求出;(5)必要时再画出中间几点;(6)勾画大致曲线.5.2频率响应的极坐标图例：绘制出一阶惯性环节

的极坐标图频率特性幅频特性相频特性一阶惯性环节的幅相频率特性曲线是一个半圆。=0.7075.2频率响应的极坐标图系统的型次机电系统的开环频率特性一般可表示为当λ=0时，称该系统为0型系统；当λ=1时，称该系统为Ⅰ型系统；当λ=2时，称该系统为Ⅱ型系统；……5.2频率响应的极坐标图各型次乃氏图的低频段5.2频率响应的极坐标图其乃氏图如下图所示:5.2频率响应的极坐标图例

试求

的乃氏图.5.2频率响应的极坐标图例

试求

的乃氏图.解:因为乃氏图与负实轴有一交点.求曲线与负实轴交点,需解方程两边取正切,得则与负实轴的交点为5.2频率响应的极坐标图令ω从−∞增长到0,相应得出的乃氏图是与ω从0增长到+∞得出的乃氏图以实轴对称的.乃氏图的负频段5.2频率响应的极坐标图机械工程测试与控制技术系统的频率特性及稳定性分析5.1频率特性的基本概念5.2频率响应的极坐标图5.3频率响应的对数坐标图5.4由频率特性曲线求传递函数5.5系统的稳定性分析

对数坐标图是将幅值对频率的关系和相位对频率的关系分别画在两张图上,用半对数坐标纸绘制,频率坐标按对数分度,幅值和相角坐标则以线性分度.

对数坐标图也称伯德图(Bode图).5.3频率响应的对数坐标图一

对数坐标图的定义伯德图幅值L(ω)所用的单位分贝(dB)定义为n(dB)=20lgN幅频特性坐标相频特性坐标这两条特性曲线画在半对数坐标纸上,采用同一个横坐标作为频率轴.横坐标采用对数分度,但标写的却是ω实际值,单位为弧度/秒(rad/s).5.3频率响应的对数坐标图横坐标(称为频率轴)分度:它是以频率w的对数值logw进行线性分度的.但为了便于观察仍标以w的值,因此对w而言是非线性刻度.w

每变化十倍,横坐标变化一个单位长度,称为十倍频程(或十倍频),用dec表示.由于w以对数分度,所以零频率点在－∞处.5.3频率响应的对数坐标图纵坐标分度:对数幅频特性曲线的纵坐标以L(w)=20logA(w)表示.其单位为分贝(dB).直接将20logA(w)值标注在纵坐标上.相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度.幅值A(w)1.001.261.562.002.513.165.6210.0100100010000对数幅值20lgA(w)02468101520406080幅值A(w)1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001对数幅值20lgA(w)0-2-4-6-8-10-15-20-40-60-805.3频率响应的对数坐标图使用对数坐标图的优点(1)由于频率坐标按照对数分度,故可合理利用纸张,以有限的纸张空间表示很宽的频率范围;(2)由于幅值采用分贝作为单位,故可以将乘法运算转化为加法运算;5.3频率响应的对数坐标图(3)幅频特性往往采用折线近似曲线,系统的幅频特性用组成该系统各环节的幅频特性折线叠加,使得作图非常方便.5.3频率响应的对数坐标图二

典型环节的Bode图1.比例环节

由知:对数幅频和相频特性5.3频率响应的对数坐标图G=10G=12.积分环节由对数幅频特性对数相频特性5.3频率响应的对数坐标图二重积分环节由5.3频率响应的对数坐标图3.一阶惯性环节低频段，当

很小，

T<<1时，L(

)=0dB,φ(

)≈0高频段，当

很大，

T>>1时，L(

)=－20lg(

T),

φ(

)≈−90°惯性环节的Bode图可用上述低频段与高频段两条渐近线的折线近似表示，当

T=1时，

T＝1/T

称为转角频率

由5.3频率响应的对数坐标图横坐标单位为1/T-20dB/dec5.3频率响应的对数坐标图4.一阶微分环节由低频段，当

很小，

τ

<<1时，L(

)=0dB,φ(

)≈0高频段，当

很大，

τ

>>1时，L(

)=20lg(

τ),

φ(

)≈90°一阶微分环节的Bode图可用上述低频段与高频段两条渐近线的折线近似表示，当

τ

=1时,

T＝1/τ

称为转角频率

5.3频率响应的对数坐标图5.3频率响应的对数坐标图5.二阶振荡环节

低频段，

很小，

T<<1，L(

)=0dB,φ(

)≈0

由高频段，当

很大，

T>>1时，L(

)=-40lg(

T),

φ(

)≈-180°5.3频率响应的对数坐标图转角频率处

Bode

图可用低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示两条渐近线交于无阻尼自然频率

5.3频率响应的对数坐标图5.3频率响应的对数坐标图对于一般系统

系统的对数幅频特性为系统的幅频特性的Bode图由各典型环节的幅频特性Bode图相叠加.三

一般系统Bode图的作图方法5.3频率响应的对数坐标图对数相频特性相频特性的Bode图也是由各典型环节的相频特性Bode图相叠加.5.3频率响应的对数坐标图例

绘制系统伯德图.已知解:该系统可认为由下列4个典型环节组成:5.3频率响应的对数坐标图例:已知,画出其Bode图.解:⒈将传函写成时间常数形式这可以看作是由五个典型环节构成的⒉求20lgK=20dB5.3频率响应的对数坐标图序号环节转折频率转折频率后斜率累积斜率1K———2(jw)-1—－20－2030.5－20－4041+jw1+20－20520－40－60注意转折频率是时间常数的倒数⒊列表5.3频率响应的对数坐标图相频特性w0.10.20.512j(w)-95.8°-104.5°-109.4°-110.4°-106.6°w5102050100j(w)-106.2°-117.9°-181.4°-252.1°-262°特别注意相频特性表达式中一项当w≥20时的计算.5.3频率响应的对数坐标图绘制Bode图的一般步骤(1)将系统频率特性化为典型环节频率特性的乘积;(2)根据组成的系统的各典型环节,确定转折频率及相应斜率,并画近似的幅频折线和相频曲线;(3)必要时对近似曲线作适当修正.

真正画伯德图时,并不需要先画出各环节伯德图,可根据静态放大倍数和各环节时间常数直接画出整个系统伯德图.5.3频率响应的对数坐标图5.1频率特性的基本概念5.2频率响应的极坐标图5.3频率响应的对数坐标图5.4由频率特性曲线求传递函数5.5系统的稳定性分析一

最小相位系统在s右半平面既无极点,也无零点的系统,称为最小相位系统;否则,称为非最小相位系统.1、幅频特性图缺定，其相频特性图就唯一确定。2、对于相同阶次的基本环节(在幅频特性相同的一类系统中),当频率ω从0变到+∞时,最小相位的基本环节造成的相移是最小的。5.4由频率特性曲线求传递函数（非最小相位系统）（最小相位系统）例

设有下列三个系统,其中T1>T2>0.系统1为最小相位系统,系统2和3为非最小相位系统.试分析系统的Bode图.而其相频特性分别为解:三个系统的幅频特性一样,均为5.4由频率特性曲线求传递函数5.4由频率特性曲线求传递函数最小相位系统有一个重要特点:幅频特性和相频特性是一对应的,具有确定的单值对应关系.知道了系统的幅频特性,其相频特性也就唯一确定了.5.4由频率特性曲线求传递函数最小相位系统幅频、相频特性对应关系

对最小相位系统:w=0时Φ(jw)=-90°×积分环节个数;

w=∞时Φ(jw)=-90°×(n-m).5.4由频率特性曲线求传递函数

在最小相位系统中,对数幅频特性的变化趋势和相频特性的变化趋势是一致的(幅频特性的斜率增加或者减少时,相频特性的角度也随之增加或者减少),因而由对数幅频特性即可唯一地确定其相频特性.

在最小相位系统中,其幅频特性与相频特性紧密联系的,当给定了幅频特性,其相频特性也随之而定,反之亦然.因此,可只根据幅频特性(或只根据相频特性)对其进行分析或综合;而非最小相位系统则不然,在进行分析或综合时,必须同时考虑其幅频特性与相频特性.5.4由频率特性曲线求传递函数许多系统的物理模型很难抽象得很准确,其传递函数很难用纯数学分析的方法求出.对于这类系统,可以通过实验测出系统的频率特性曲线,进而求出系统的传递函数.频率特性曲线时间常数静态放大倍数传递函数幅频曲线的转折点对应的频率是时间常数的倒数.5.4由频率特性曲线求传递函数5.4由频率特性曲线求传递函数1.对于0型系统,有低频段,

很小,则有5.4由频率特性曲线求传递函数可见,0型系统幅频特性伯德图在低频处的高度为20lgK0,例如图4-37所示的低频段.5.4由频率特性曲线求传递函数2.对于Ⅰ型系统,有低频段,

很小,则有5.4由频率特性曲线求传递函数可见,对于Ⅰ型系统:如果系统各转角频率均大于1,则在ω=1处的高度为20lgK1;如果系统有的转角频率小于1,则首段-20dB/dec斜率线的延长线与ω=1线的交点高度为20lgK1.例如图4-38所示的低频段.另外,波特图首段(或其延长线)与0dB线的交点应满足:5.4由频率特性曲线求传递函数3.对于Ⅱ型系统,有

低频段，

很小，则有5.4由频率特性曲线求传递函数可见,对于Ⅱ型系统:如果系统各转角频率均大于1,则在ω=1处的高度为20lgK2;如果系统有的转角频率小于1,则首段-40dB/dec斜率线的延长线与ω=1线的交点高度为20lgK2

.例如图4-39所示的低频段.另外,波特图首段(或其延长线)与0dB线的交点应满足:5.4由频率特性曲线求传递函数机械工程测试与控制技术系统的频率特性及稳定性分析5.1频率特性的基本概念5.2频率响应的极坐标图5.3频率响应的对数坐标图5.4由频率特性曲线求传递函数5.5系统的稳定性分析5.5系统的稳定性分析一、系统稳定性的基本概念控制系统的稳定性定义:若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下,其过渡过程随着时间的推移,逐渐衰减并趋于零,具有恢复原平衡状态的性能,则称该系统为稳定;否则,称该系统为不稳定的.76二

系统稳定的充要条件5.5系统的稳定性分析77785.5系统的稳定性分析795.5系统的稳定性分析805.5系统的稳定性分析815.5系统的稳定性分析825.5系统的稳定性分析若所有特征根具有负实部系统自由响应收敛系统稳定自由响应称为

瞬态响应强迫响应称为

稳态响应若存在特征根的实部大于零系统自由响应发散系统不稳定若有一对特征根的实部为零其余特征根均小于零系统自由响应最终为等幅振荡系统临界稳定5.5系统的稳定性分析83线性定常系统稳定的充分必要条件:系统特征方程式的根都具有负实部.系统特征根即闭环极点,故也可以说充要条件为:系统闭环传递函数极点全部在[s]平面的左半面.5.5系统的稳定性分析84(1)如果特征方程中有一正实根,它所对应的指数项随时间单调增长;(2)如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根,它的对应项是发散的周期振荡;稳定区不稳定区临界稳定S平面从控制工程的角度认为临界稳定状态属于不稳定.如果特征方程中有一对共轭虚根,它对应于等幅的周期振荡,称为临界平衡状态(或临界稳定状态).上述两种情况下系统是不稳定的.5.5系统的稳定性分析三

乃奎斯特稳定性判据Nyquist及Bode稳定性判据根据开环频率特性判断闭环稳定性令开环传递函数则闭环传递函数5.5系统的稳定性分析三

乃奎斯特稳定性判据Nyquist及Bode稳定性判据根据开环频率特性判断闭环稳定性令开环传递函数则闭环传递函数5.5系统的稳定性分析分子是闭环传递函数的特征多项式分母是开环传递函数的特征多项式开环传递函数则闭环传递函数5.5系统的稳定性分析线性系统传递函数的一般形式:映射定理表达的是s平面上一条封闭曲线,经过F(s)的映射,在F平面上所具有的特性.即s→F(s).5.5系统的稳定性分析辐角定理:对于一个复变函数式中zi(i=1,2,…,m)为F(s)的零点,pj(j=1,2,…,n)为F(s)的极点.[柯西辐角原理]:S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点.当s以顺时针方向沿封闭曲线CS移动一周时,在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方向绕原点旋转N圈.N,Z,P的关系为:N=Z－P.示意图5.5系统的稳定性分析若N为正,表示CF顺时针运动,包围原点;若N为0,表示CF顺时针运动,不包围原点;若N为负,表示CF逆时针运动,包围原点.函数F(s)是复变量s的单值函数,s可在整个S平面上变化,对于其上每一点,除有限(n)个极点外,函数F(s)都有唯一的一个值与之对应.对于一个复变函数5.5系统的稳定性分析

在这种映射关系中,有一点是十分重要的,即:不需知道围线CS的确切形状和位置,只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目,就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次;反过来,根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数,也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的信息.5.5系统的稳定性分析如果C顺时针包围z个零点,那么C’顺时针绕原点转z圈5.5系统的稳定性分析如果C顺时针包围p个极点,那么C’逆时针绕原点转p圈5.5系统的稳定性分析假设C曲线顺时针包围整个[s]平面的右半平面,其中包围F(s)的z个零点和p个极点,则映射到F(s)平面的C’曲线顺时针包围原点N=z-p圈.闭环稳定闭环传递函数右极点个数为0分子是闭环传递函数的特征多项式分母是开环传递函数的特征多项式F(s)右零点个数为0C’曲线逆时针包围原点的圈数为开环传递函数的右极点个数pC曲线包围F(s)的右零点个数z=05.5系统的稳定性分析如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线,并且它是满足柯西辐角条件的?①正虚轴：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点.按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面,这条曲线又叫D曲线.它可分为三部分:ⅠⅡⅢ②右半平面上半径为无穷大的半圆:③负虚轴：5.5系统的稳定性分析5.5系统的稳定性分析5.5系统的稳定性分析Nyquist稳定判据

在[s]平面作包围右半平面的D形曲线,如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(－1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数,意味着F(s)没有零点,则闭环系统稳定.——充要条件5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.解:作出系统开环传递函数乃氏图,如图5-10所示,没有包围(-1,j0).显然开环传递函数没有右极点,根据乃奎斯特稳定性判据,系统闭环稳定.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,开环传递函数为判断闭环稳定性.解:开环传递函数有1个右极点.作出开环乃氏图,如图5-11所示,顺时针包围(-1,j0)点1圈.根据乃奎斯特稳定性判据,系统闭环稳定的条件是逆时针包围(-1,j0)点1圈.因此系统闭环不稳定.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,如图所示,判断放大倍数K在什么范围内系统闭环稳定.5.5系统的稳定性分析例:

一个闭环控制系统,如图所示,判断放大倍数K在什么范围内系统闭环稳定.解:开环传递函数为K/(Ts-1),有1个右极点.作出开环乃氏图如图5-12(b)所示,它与实轴的交点为(-K,j0).只有当(-K,j0)在(-1,j0)的左边时,乃氏图才逆时针包围(-1,j0)1圈.因此系统闭环稳定的条件是K>1.开环传递函数为一阶或二阶环节的系统,只要其增益为正,它的乃氏图就不可能包围(-1,j0)点,因而闭环一定稳定.5.5系统的稳定性分析四

伯德稳定性判据开环Bode图与Nyquist图对应关系①Nyquist图上的单位圆对应Bode图上对数幅频特性的横轴(0dB线).

∵20lg|

G(jω)H(jω)

|=20lg1=0dB②Nyquist图上的负实轴对应Bode图上对数相频特性的-180°线.

∵Nyquist图中负实轴上的点的相位均为-180°.Nyquist图:ReIm(-1,j0)[GH]1ω=0＋ω=+∞ωgωcBode图:0ωcω20lg

‌‌‌G(jω)

‌‌‌ωgω∠G(jω)-90°-180°-270°5.5系统的稳定性分析Nyquist图:ReIm(-1,j0)[GH]1ω=0＋ω=+∞ωgωcBode图:0ωcω20lg

‌‌‌G(jω)

‌‌‌ωgω∠G(jω)-90°-180°-270°①幅值穿越频率ωc－－Nyquist轨迹与单位圆交点的频率;②相位穿越频率ωg－－Nyquist轨迹与负实轴交点的频率;5.5系统的稳定性分析由伯德图判断系统的稳定性设0型或I型系统开环特征方程有p个右根,且开环静态放大倍数大于零,如果在所有L(ω)≥0频率范围内,相频特性曲线φ(ω)在(-π)线上正负穿越之差为p/2次,则闭环系统稳定.5.5系统的稳定性分析L(ω)ωp=0Ф(ω)ω5.5系统的稳定性分析L