2025年山东省名校考试联盟高考数学模拟试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年山东省名校考试联盟高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z(1−i)=i，则|z|为(

)A.2 B.1 C.222.若集合A={x|x>3}，B={x||x−1|∈A}，则A∪B=(

)A.{x|x>3} B.{x|x>−2}

C.{x|x>1或x<−2} D.{x|x>3或x<−2}3.已知圆C：x2+y2=1，直线l：3x+4y−m=0(m∈R)，若圆C上有且仅有一点到直线l的距离为1A.6 B.10 C.±6 D.±104.已知数列{an}，是公差不为0的等差数列，若a1a2=A.−1 B.−12 C.125.已知tanα=13，则sin2α+cos2A.23 B.1 C.32 6.设函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时满足xf′(x)+f(x)=1，且f(1)=2，则f(−ln2)，f(12)，f(sinA.f(−ln2)<f(12)<f(sin12) B.7.设e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若向量a满足(A.[−2,−1]，[0,1] B.[−1,1]

C.[1−28.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，E为A1B1A.12π B.π C.32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若a，b>0，且a+b=1，则下列说法正确的是(

)A.ab有最大值14 B.1a+1b有最小值4

C.a2+10.下列说法正确的是(

)A.数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9

B.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，P(X<−2)=P(X>4)=0.14，则P(1<X<4)=0.36

C.20张彩票中有2张能中奖，现从中一次性抽取n张，若其中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n的最小值为5

D.已知数据x1，x2，…，x6的平均数为6，方差为10，现加入511.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y=kx+1表示过点(0,1)的直线族(不包括y轴).直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.已知直线族ax+by=1(a,b∈R)，下列说法正确的是(

)A.若该直线族的包络曲线为圆x2+y2=2，则a2+b2=2

B.若直线族的包络曲线为抛物线x2=4y，则直线族中过点A(2,1)的直线方程为y=x−1

C.若a=cosθm，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−313.已知f(x)=ex(e为自然对数的成数)，g(x)=lnx+2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l14.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=1，CD=2，△ABC为等边三角形，记∠ADC=α．

(1)若α=π3，求△ABD的面积；

(2)若α∈(π216.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AC⊥CD，AB=BC=AC=PB=2，PA=PC=2，CD=3，E是棱PD上的中点．

(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；

(2)求平面PAB17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线x−2y+6=0经过C的两个顶点．

(1)求C的方程；

(2)若P为C18.(本小题15分)

已知函数f(x)=sinx+12sin2x−2x+ax3．

(1)当a=0时，求函数f(x)的零点个数；

(2)若函数f(x)19.(本小题17分)

两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母、大小相同的卡片各一张.每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置.记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为pn(n∈N∗)．

(1)求p1和p2；

(2)证明：|p参考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.C

6.A

7.C

8.B

9.ABC

10.ABD

11.BCD

12.540

13.y=ex或y=x+1

14.515.解：(1)在平面四边形ABCD中，已知AD=1，CD=2，△ABC为等边三角形，记∠ADC=α，

在△ACD中，由余弦定理，AC2=AD2+CD2−2AD⋅CD⋅cosα=1+4−2×2×cosπ3=3，

所以AC=3，所以∠DAC=90°，

又因为△ABC为等边三角形，

所以AB=AC=3，且∠BAD=∠BAC+∠DAC=150°，

所以S△ABD=12AB⋅AD⋅sin∠BAD=12×3×1×sin150°=34，

则△ABD的面积为34；

(2)在平面四边形ABCD中，已知AD=1，CD=2，△ABC为等边三角形，记∠ADC=α，

设∠DAC=β，

在△ACD中，由余弦定理，

AC2=AD2+CD16.(1)证明：取AC中点为O，连接BO，PO，如图，

因为PA=PC=2，所以PO⊥AC，PO=1，

又因为AB=BC=AC=2，所以BO=3，

因为PB=2，所以PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，

因为BO∩AC=O，所以PO⊥平面ABCD，

因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD；

(2)解：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，

建立如图所示空间直角坐标系，

因为AB=BC=AC=PB=2，PA=PC=2，CD=3，AC⊥CD，

所以A(0,−1,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，D(−3,1,0)，P(0,0,1)，E(−32,12,12)，

则AP=(0,1,1)，AB=(3,1,0)，AC=(0,2,0)，AE=(−32,32,12)，

设平面PAB的法向量为n1=(x,y,z)，

则由n1⊥AP，n1⊥AB，可得n1⋅AP=0n1⋅AB=0，即y+z=03x+y=0，

令x=3，得y=−3，z=3，所以n1=(3,−3,3)，

设平面ACE的法向量为n2=(a,b,c)，

则由n2⊥AC，n2⊥AE，可得17.解：(1)因为直线x−2y+6=0过C的上顶点和左顶点，

所以椭圆C的上顶点为(0,3)，左顶点为(−6,0)，

即a=6，b=3，

则椭圆C的方程为x26+y23=1；

(2)证明：当直线PA或PB斜率不存在时，

令A(2,−2)，

此时P(2,2)，

所以直线PB方程为y=2，

即B(−2,2)，

所以直线AB恒过(0,0)，

设P(x0,y0)，

过点P的切线方程为y=kx−kx0+y0，

所以|y0−kx0|1+k2=2，

所以(2−x02)k2+2x0y0k+2−y02=0，

此时kPA⋅kPB=2−y022−x018.解：(1)当a=0时，f(x)=sinx+12sin2x−2x，定义域为R．

则f′(x)=cosx+cos2x−2≤1+1−2=0，∴f(x)为R上的单调递减函数．

又f(0)=0，∴函数f(x)的零点个数为1．

(2)∵f(−x)=−sinx−12sin2x+2x−ax3=−f(x)，

∴f(x)为奇函数，

若函数f(x)有且只有一个零点，由于f(0)=0，

则当x>0时，f(x)>0或f(x)<0，

由(1)知，当a=0时，f(x)=sinx+12sin2x−2x在(0,+∞)上单调递减，

此时f(x)<f(0)=0，即sinx+12sin2x−2x<0．

若a≤0，则当x>0时，f(x)≤sinx+12sin2x−2x<0，符合题意．

∵f′(x)=cosx+cos2x−2+3ax2，令g(x)=f′(x)，

则g′(x)=−sinx−2sin2x+6ax．

令ℎ(x)=g′(x)，则ℎ′(x)=−cosx−4cos2x+6a．

若a≥56，则ℎ′(x)=−cosx−4cos2x+6a≥−1−4+5=0，

∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，于是ℎ(x)>ℎ(0)=0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，

于是g(x)>g(0)=0，即f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，此时f(x)>f(0)=0，符合题意．

若0<a<56，记cosx0=192a+129−116且0<x0<π2，

则当0<x<x0时，ℎ′(x)=−cosx−4cos2x+6a=−cosx−4(2cos2x−1)+6a

=−8cos2x−cosx+6a+4=−8(cosx+116)2+6a+12932<0．

∴ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，于是ℎ(x)<ℎ(0)=0.∴g(x)在(0,x0)上单调递减，

于是g(x)<g(0)=0，则19.解：(1)两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母、大小相同的卡片各一张．

每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置．

记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为pn(n∈N∗)．

对两个盒子中相同字母的卡片进行交换，则p1=3×13×13=13．

若第1次交换的是相同字母的卡片，则第二次仍需将两个盒子中相同字母的卡片进行交换，

此时概率为13×13=19．

若第1次交换的是不同字母的卡片，有3×2=6种情况，

不妨设将第一个盒子中的A和第二个盒子中的B进行交换，

则第二次需要将第一个盒子中的B和第二个盒子中的A进行交换，

此时概率为6×132×(23)2=827.于是p2=19+82