2025北京北师大实验中学高三（下）开学考数学（教师版）

第1页/共1页2025北京北师大实验中学高三（下）开学考数学2025．2本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集，集合，则（）A. B.C. D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.4.已知点在抛物线：上，则到的准线的距离为（）A. B. C. D.5.2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，6.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）A. B. C. D.7.已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（）A. B. C. D.8.设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为，衰减速度为．经过轮迭代学习时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：）A. B. C. D.10.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.在的展开式中，的系数为__________用数字作答12.已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则___________；___________.13.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为________.14.已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为_________．15.设是正整数，且，数列满足：，，，数列的前项和为.给出下列四个结论：①数列为单调递增数列，且各项均为正数；②数列为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，，；④对任意正整数，.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．（1）求的面积；（2）求边长及的值．17.如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：；条件②：.（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.18.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；（3）在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）19.已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点．（1）求椭圆的方程和焦距；（2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值．20.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）求集合中元素的个数；（3）当时，问函数有多少个极值点？（只需写出结论）21.有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件：①对于任意的，（），；②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项．（1）若，且，，，，求的值；（2）证明：，，不可能是数列中的项；（3）求的最大值．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【分析】求得集合，结合集合补集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合又由，所以.故选：A.2.【答案】D【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.【详解】，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.3.【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断.【详解】对于A,的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故为偶函数，故C错误，对于D，由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，故选：D4.【答案】B【分析】将点代入抛物线方程求出的值，进而得到抛物线方程和准线方程，最后计算点到准线的距离.【详解】已知点在抛物线上，可得，解得.

由，可得抛物线的方程为.所以抛物线的准线方程为.

那么点到准线的距离为.

则点到的准线的距离为，故选：B5.【答案】C【分析】由题及图象关系可知，在中，当一定时，越大，则越大，当一定时，越小，则越大，代入对应的，逐项判断选项即可得到答案.【详解】由题及图象关系可知，在中，当一定时，越大，则越大，当一定时，越小，则越大，对于A，当时，，故A错误.对于B，当时，，故B错误.对于C，当时，，故C正确.对于D，因为，令,，，故D错误.故选：C6.【答案】C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故选：C.7.【答案】C【分析】将△的面积表示出来即可求出最大值.【详解】因为直线直线恒过点在圆内，所以直线与圆相交，圆的圆心，所以△的面积的最大值为：.故选：C.8.【答案】A【分析】将模的关系平方得到，进而判断即可.【详解】由，平方得，，即，又因为，即，所以，所以夹角为钝角或平角，所以“夹角为钝角”是“”的充分不必要条件.故选：A9.【答案】D【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．【详解】由于，所以，依题意，则，则，由，得到，所以，所以所需的训练迭代轮数至少为74次，故选：D.10.【答案】B【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得的关系，消再利用基本不等式求解最值可得.【详解】设，.由已知，在单调递增，当时，；当时，.由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；由题意，则当时，；当时，.所以是方程的根，则，即，且，所以，当且仅当，即时等号成立.则的最小值是.故选：B.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】【分析】直接利用二项展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式中，的系数为，故答案为：12.【答案】①.②.##【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列的求和公式可求出结果.【详解】解：设等比数列的公比为，因为则，将代入得，得，所以，所以.故答案为：；.13.【答案】（答案不唯一）【分析】由图象平移写出解析式，再由，根据正弦函数图象及零点个数求参数范围，即得结果.【详解】由题设，在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，所以，即，故满足要求.故答案为：（答案不唯一）14.【答案】【分析】由双曲线的对称性得，从而得为等边三角形，，然后由离心率定义结合三角形中正切函数定义计算．【详解】由题意关于原点对称，又也关于原点对称，所以四边形是平行四边形，所以，所以为等边三角形，则，则，由双曲线的定义，得，所以，则．故答案为：．15.【答案】①③④【分析】由和可确定①正确；由知②错误；根据已知等式可得及，推导得到，加和可得③正确；由已知等式可推导得到，累加得到，进而得到，知④正确.【详解】对于①，，，，数列为单调递增数列，，，即数列各项均为正数，①正确；对于②，，由①知：，，，数列单调递减数列，②错误；对于③，由得：，又，，，③正确；对于④，由得：，，，，，即，④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式研究数列相关性质及前项和的问题；求解关键是能够对已知递推关系式进行变形，得到、等关系式，结合累加法、放缩法来进行求解.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.【答案】（1）（2），【分析】（1）利用平方关系和面积公式求解即可.（2）利用余弦定理和正弦定理求解即可.【小问1详解】由，且，则，所以．【小问2详解】由，则，又，则．17.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得点到平面的距离为；（3）设，利用线面角的向量求法解方程即可求得.【小问1详解】选择条件①：（1）因为平面平面，所以平面.又因为平面，平面平面，所以.选择条件②：解法同上【小问2详解】选择条件①：因为平面，平面，所以.又因为，所以.因此，即两两垂直.如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，所以.由（1），得，且为棱的中点，所以点为棱的中点.，故.设平面的一个法向量为，则，取，则，即.所以点到平面的距离.选择条件②：因为平面，平面所以，又因为与相交，平面，所以平面，平面，所以，即两两垂直.以为原点建立空间直角坐标系及以下步骤同上；【小问3详解】选择条件①：设，则.所以.设直线与平面所成角为，所以；化简得，解得，即.选择条件②：解法同上18.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）.【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得；（2）由题可知服从超几何分布，即求；（3）由超几何分布即得.【小问1详解】由直方图可得第二组的频率为，∴全校学生的平均成绩为：【小问2详解】由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，所以可取0,1,2,3，则，，，，故的分布列为：0123P；【小问3详解】.19.【答案】（1）椭圆C的方程为，焦距2（2）【分析】（1）根据给定条件，求出，写出椭圆的方程并计算焦距作答.（2）设出坐标，求线段中垂线方程得点，求圆在点处的切线方程得点，再借助均值不等式求解作答.【小问1详解】由题意知，，∴，∴椭圆的方程为，焦距为．【小问2详解】由直线与轴平行，可设，则，，根据椭圆与圆的对称性，不妨取，∵，，∴直线的斜率为，线段的中点为，∴线段的垂直平分线为，令，则，而，则，圆在点处的切线方程为，令，则，∴线段长度为，当且仅当，即时，等号成立，故线段长度的最小值为．20.【答案】（1）是偶函数，证明见解析；（2）答案见解析；（3）3个.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义分析判断；（2）对分三种情况结合函数的奇偶性和单调性分析判断得解；（3）利用导数求出函数的单调性得解.【小问1详解】的定义域是，关于原点对称，是偶函数【小问2详解】当时，.由是上的偶函数，故在上无零点.集合中的元素个数为0；当时，令，解得.集合中的元素个数为1；当时，当时，，在上单调递增在上有唯一零点在上有两个零点，集合中的元素个数为2.【小问3详解】由题得，设，，设，，可知，在上恒大于零，在上恒小于零，因此，在上先递增后递减，且，，，因此，在上先递减后递增，在上先递增后递减，且，，，在上和在上，分别有一个零点．因此在上先递增后递减，在上先递增后递减，在处，和，上各有一个极值点（分别与的零点对应）．因此共有3个极值点．所以当时，函数有3个极值点.21.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）利用①推出的范围．利用②求解的值即可；（2）利用反证法：假设，，是数列中的项，