8.1 与三角形有关的边和角 课件 华东师大版数学七年级下册

8.1与三角形有关的边和角第8章三角形知识点三角形的相关元素知1－讲11.三角形的定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.特别解读1.三角形的“三要素”：(1)三条线段；(2)三个顶点不在同一条直线上；(3)三条线段首尾顺次连结.知1－讲三角形的表示法：用符号“△”表示三角形,如图8.1-1，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC

”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由安排.知1－讲2.三角形的相关概念：(1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.如图8.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点.(2)边：组成三角形的线段叫做三角形的边.如图8.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC的三条边.知1－讲特别提醒2.三角形的边是一条线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如顶点A所对的边BC可用a表示.知1－讲(3)内角：在三角形中，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.如图8.1-1，∠A，∠B，∠ACB是△ABC的三个角.知1－讲(4)外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如图8.1-1，∠ACD是△ABC的一个外角.特别提醒3.同一个顶点处的内角和外角互补.知1－练例1如图8.1-2，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连结BE，AD交于点F.解题秘方：紧扣“三角形及其相关元素的定义”及几何图形计数的常用方法进行解答.知1－练(1)图中共有多少个三角形？请把它们表示出来.解：图中共有8个三角形，分别是△ABF，△AEF，△ABE，△ABD，△ACD，△ABC，△BDF，△BCE.知1－练(2)请写出△BDF的三个顶点、三条边及三个内角.解：△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是线段BD，DF，BF，三个内角是∠FBD，∠FDB，∠BFD.知1－练(3)以AB为边的三角形有哪些？(4)以∠C为内角的三角形有哪些？解：以AB为边的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.以∠C为内角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB.知1－练方法点拨：几何图形计数的常用方法1.按序计数法；2.画图计数法；3.基本图形计数法；4.分类计数法.知1－练1-1.如图所示，图中共有______个三角形.△ABE中，AE

所对的角是______，∠BAE所对的边是______，AD在△ADE中是______所对的边，在△ADC中是______所对的边.6∠BBE∠AED∠C知2－讲知识点三角形的分类2

知2－讲

知2－讲特别提醒1.三角形按内角的大小分类和按边的相等关系分类是两种不同的分类方式，各自独立，但无论按哪种标准分类，原则都是不重不漏.2.对于等腰直角三角形，按边的相等关系分类属于等腰三角形，按内角的大小分类属于直角三角形.知2－练根据下列所给条件，判断△ABC的形状(若已知的是角，则按角的分类标准去判断；若已知的是边，则按边的分类标准去判断).(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.例2解题秘方：根据三角形的分类标准进行判断.知2－练解：(1)∵∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°，∴∠A<∠B<∠C<90°，∴△ABC是锐角三角形.(2)∵∠C＝120°>90°，∴△ABC是钝角三角形.(3)∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形.(4)∵AB＝BC＝4，AC＝5，∴△ABC是等腰三角形.知2－练2-1.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且(a－b)(b－c)(c－a)＝0，则△ABC是()A.等腰三角形B.等边三角形C.三边都不相等的三角形D.底边和腰不相等的等腰三角形A知3－讲知识点三角形的三条重要线段3

知3－讲特别解读三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的面积及周长的关系：1.两个小三角形的面积相等；2.两个小三角形的周长的差等于这个三角形另两边的差.知3－讲2.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线.特别提醒1.角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.2.三角形的角平分线是其内角的平分线的一部分.故三角形的角平分线具有角的平分线的所有性质.知3－讲

知3－讲3.三角形的高：三角形的高的定义和性质如下表.定义从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线作垂线，垂足为点D，所得线段AD叫做△ABC

的边BC上的高图形知3－讲续表性质∵AD是△ABC的边BC上的高(已知)，∴AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°).判定∵AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°)(已知)，∴线段AD是△ABC的边BC上的高(高的定义).知3－讲4.三角形的三条重要线段的区别：三角形的高三角形的中线三角形的角平分线用途举例(1)说明线段垂直；(2)说明角相等(1)说明线段相等；(2)说明面积相等说明角相等知3－讲续表三角形的高三角形的中线三角形的角平分线在三角形中的位置锐角三角形三条高全在三角形内三条中线全在三角形内三条角平分线全在三角形内直角三角形一条高位于三角形内，另两条高与两直角边重合钝角三角形一条高位于三角形内，另两条高位于三角形外知3－讲续表三角形的高三角形的中线三角形的角平分线条数三条三条三条交点位置锐角三角形在三角形内在三角形内在三角形内直角三角形在直角顶点处钝角三角形在三角形外知3－讲拓展三角形中三个重要的点：三条高所在直线的交点叫垂心，三条中线的交点叫重心，三条角平分线的交点叫内心.知3－练如图8.1-7，在△ABC中，AB>AC，AD，BE分别是△ABC，△ABD的中线.例3解题秘方：利用中线将三角形分成的两个小三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题.知3－练(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3，AB＝8，求AC的长；解：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD.由图易知AB＞AC，∴△ABD与△ADC的周长之差＝(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC.∴8－AC＝3，解得AC＝5.知3－练(2)若S△ABC＝8，求S△ABE

.

知3－练3-1.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若DE＝3cm，则EC＝______cm.9知3－练3-2.[中考·常州]如图，在△ABC中，E是中线AD的中点.若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是_______．2知3－练如图8.1-8，AE⊥EC于点E，CD⊥AD于点D，AD交EC于点B.例4知3－练(1)△ABC的边BC上的高为______，边AB上的高为______；解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断；解：△ABC是钝角三角形，由三角形高的定义和钝角三角形高的位置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部，故边BC上的高为AE，边AB上的高为CD.AECD知3－练

解题秘方：分别以BC，AB为底边计算△ABC的面积，列式求解.

同一个三角形面积的两种表示.

知3－练4-1.如图，在△ABC中，∠C＝90°.(1)指出图中BC，AC边上的高.(2)画出AB边上的高CD.解：BC边上的高是AC，AC边上的高是BC.略．知3－练(3)在(2)的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来.解：图中有3个直角三角形，分别是直角三角形ABC、直角三角形ACD、直角三角形BCD.知3－练(4)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB边上的高CD的长.知3－练如图8.1-9，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.试问：DO是否为△DEF的角平分线？并说明理由.例5解题秘方：根据三角形角平分线的定义进行说明.知3－练解：DO是△DEF的角平分线.理由：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠3＝∠2，∠4＝∠1.∴∠3＝∠4.∴DO是△DEF的角平分线.知3－练5-1.[中考·河北改编]如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的(

)A.中线

B.角平分线C.高线D.无法确定B知4－讲知识点三角形内角和定理及其推论41.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.知4－讲2.三角形内角和定理的说明思路：思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将三角形的三个内角转化为一个平角.如图8.1-10①②.知4－讲思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.如图8.1-11①②.知4－讲特别解读1.说明三角形内角和定理的思路方法：运用平行线作为桥梁，将三个内角“转移”集中到一个角或两个角，再说明这个角或这两个角的和是180°.2.三角形内角和定理揭示了三角形三个内角之间的数量关系.3.三角形的三个内角中最多只有一个钝角或直角，或者说至少有两个锐角.知4－讲3.三角形内角和定理的推论1：直角三角形的两个锐角互余.根据三角形内角和定理与直角三角形中的最大角是直角可得出这个推论.4.三角形内角和定理的推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.知4－练

例6解题秘方：紧扣三角形内角和定理建立方程(组)求解.解：设∠B＝∠C＝m°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴40＋m＋m＝180，解得m＝70.∴∠B＝∠C＝70°.知4－练(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；

知4－练(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B

的度数；

知4－练

三角形中求角的度数问题一般用方程思想求解.当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°列方程(组)求解.知4－练6-1.[中考·达州]如图，AE∥CD，CA平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝()A.52°B.50°C.45°D.25°B知4－练6-2.在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数.解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋∠B＋70°＝180°.∴∠B＝30°.∴∠A＝50°，∠C＝100°.知4－练[中考·德阳]如图8.1-12是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC

等于()A.10° B.20°C.30° D.40°例7知4－练解题秘方：根据平行线的性质和“直角三角形的两个锐角互余”计算即可．解：∵AB∥CD，∠ABC＝70°，∴∠BCD＝∠ABC＝70°．∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°，∴∠EDC＝90°－70°＝20°.答案：B知4－练7-1.[中考·十堰]一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC＝______．100°知4－练如图8.1-13，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE.试说明△AEM

是直角三角形.例8知4－练解题秘方：紧扣三角形内角和定理的两个推论，求得∠AME＋∠MAE＝90°即可．解：∵

AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠DMC＋∠DCM＝90°．∵∠DCM＝∠MAE，∠DMC＝∠AME，∴∠AME＋∠MAE＝90°，∴△

AEM是直角三角形．知4－练8-1.如图，在△ABC中，D为AB上一点，∠A＝∠2，∠1＝∠B.知4－练(1)判断△ABC的形状，并说明理由；解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵∠A＝∠2，∠1＝∠B，∠ACB＝∠1＋∠2，∴∠A＋∠ACB＋∠B＝∠A＋∠2＋∠1＋∠B＝2(∠A＋∠B)＝180°，∴∠A＋∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形．知4－练(2)判断CD是否与AB垂直，并说明理由．解：CD⊥AB.理由如下：∵∠A＋∠B＝90°，∠A＝∠2，∴∠2＋∠B＝90°，∴∠CDB＝90°，∴CD⊥AB.知5－讲知识点三角形的外角和及内、外角关系51.三角形外角的性质：如图8.1-14，∠ACD，∠BAE，∠CBF是△ABC的三个外角；∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角.性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图8.1-14，∠ACD＝∠1＋∠2，∠BAE＝∠2＋∠3，∠CBF＝∠1＋∠3.性质2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.知5－讲2.三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和是指从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加得到的和，而不是三角形的六个外角之和.知5－讲特别解读三角形外角的性质常见的应用：(1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角；(2)说明一个角等于另两个角的和或差；(3)作为中间关系式说明两个角相等.知5－练如图8.1-15，AD是∠CAE的平分线，交BC的延长线于点D，∠B＝35°，∠DAE＝60°，求∠ACD的度数.解题秘方：利用外角的性质，将∠ACD转化为∠B＋∠BAC

进行求解.例9解：∵AD是∠CAE的平分线，∴∠CAE＝2∠DAE＝2×60°＝120°.∴∠BAC＝180°－∠CAE＝180°－120°＝60°.∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠BAC＋∠B=60°＋35°＝95°.知5－练知5－练9-1.[中考·杭州]如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连结CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝(

)A.10°

B.20°C.30°

D.40°C知6－讲知识点三角形的三边关系61.三角形的三边关系文字语言数学语言理论依据图形三角形的任何两边的和大于第三边a＋b﹥c，b＋c﹥a，a＋c﹥b两点之间线段最短三角形的任何两边的差小于第三边a－b﹤c，b－c﹤a，a－c﹤b(a﹥b﹥c)知6－讲2.三角形三边关系的应用：(1)判断三条线段能否组成三角形；(2)已知三角形的两边长，确定第三边长(或周长)的取值范围；(3)三角形的边长用字母表示时，求字母的取值范围；(4)证明线段的不等关系.知6－讲特别解读●“两边”指的是三角形的任意两边，应用时常选取两条较小的边的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与第三边作比较.●已知三角形的两边长a，b(a>b)，根据三角形的三边关系可知，第三边长c的取值范围是a－b<c<a＋b.知6－练下列长度的四组线段能组成三角形的是()A.1cm，2cm，3.5cm B.4cm，5cm，9cmC.5cm，8cm，15cm D.6cm，8cm，9cm解题秘方：紧扣“三角形的三边关系”进行判断.例10答案：D知6－练解：∵1＋2<3.5，∴不能组成三角形.∵4＋5＝9，∴不能组成三角形.∵5＋8<15，∴不能组成三角形.∵6＋8>9，∴能组成三角形.用较短的两条线段的和与最长的线段作比较.知6－练10-1.[中考·金华]在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是(

)A.1cm B.2cmC.13cm D.14cmC知6－练如图8.1-16是一个直三棱柱的平面展开图，其中AD＝10，CD＝2，则AB的长可以是()A.5 B.4C.3 D.2解题秘方：紧扣“三角形的三边关系”，将AB，BC与CD转化到同一个三角形中，求出AB长的取值范围.例11答案：B知6－练解：∵AD＝AB＋BC＋CD，AD＝10，CD＝2，∴AB＋BC＝8.设AB＝x，则BC＝8－x.由题意易知BP＝AB＝x