导数与函数的单调性教学设计

导数与函数的单调性教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解导数与函数单调性的关系，能利用导数研究函数的单调性。掌握利用导数求函数单调区间的一般步骤。2.过程与方法目标通过探究导数与函数单调性的关系，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。在利用导数求函数单调区间的过程中，让学生学会运用导数工具解决函数单调性问题，提高学生的运算能力和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过本节课的学习，让学生感受数学的严谨性和科学性，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。体会导数在研究函数性质中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.教学重点理解导数与函数单调性的关系，掌握利用导数判断函数单调性的方法。能正确求导，并利用导数求函数的单调区间。2.教学难点对导数与函数单调性关系的理解，特别是导数符号与函数单调性之间的内在联系。含参数函数单调区间的讨论。

三、教学方法1.讲授法：讲解导数与函数单调性的基本概念、原理和方法，使学生系统地掌握知识。2.探究法：通过引导学生探究导数与函数单调性的关系，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：让学生通过适量的练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾提问：什么是函数的单调性？如何判断函数的单调性？学生回答：函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质。判断函数单调性的方法有定义法、图象法等。2.情境引入展示一个实际问题：已知某物体的运动方程为\(s(t)=t^36t^2+9t\)，其中\(s\)的单位是米，\(t\)的单位是秒。求物体在\([0,3]\)上的运动速度变化情况以及物体运动的单调性。引导学生思考：如何通过数学方法来研究物体运动的单调性呢？这就需要引入一种新的工具导数。板书课题：导数与函数的单调性

（二）讲授新课（25分钟）1.导数与函数单调性的关系以函数\(y=x^2\)为例，引导学生观察函数图象的变化情况。提问：当\(x\)在\((\infty,0)\)上变化时，函数图象的切线斜率有什么特点？函数值是如何变化的？当\(x\)在\((0,+\infty)\)上变化时呢？学生观察并回答：当\(x\)在\((\infty,0)\)上时，函数图象的切线斜率小于\(0\)，函数值随\(x\)的增大而减小；当\(x\)在\((0,+\infty)\)上时，函数图象的切线斜率大于\(0\)，函数值随\(x\)的增大而增大。教师总结：一般地，设函数\(y=f(x)\)在某个区间内可导，如果\(f^\prime(x)>0\)，那么函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递增；如果\(f^\prime(x)<0\)，那么函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递减。强调：导数的符号决定了函数的单调性，\(f^\prime(x)>0\)是函数单调递增的充分不必要条件，\(f^\prime(x)<0\)是函数单调递减的充分不必要条件。2.利用导数求函数单调区间的步骤给出例题：求函数\(f(x)=x^33x^29x+5\)的单调区间。引导学生分析解题步骤：第一步：求函数\(f(x)\)的定义域，函数\(f(x)=x^33x^29x+5\)的定义域为\(R\)。第二步：求\(f(x)\)的导数\(f^\prime(x)\)，对\(f(x)=x^33x^29x+5\)求导得\(f^\prime(x)=3x^26x9\)。第三步：令\(f^\prime(x)=0\)，解方程\(3x^26x9=0\)，即\(x^22x3=0\)，因式分解得\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=3\)。第四步：根据\(f^\prime(x)\)的符号确定函数的单调区间。当\(x<1\)或\(x>3\)时，\(f^\prime(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增。当\(1<x<3\)时，\(f^\prime(x)<0\)，函数\(f(x)\)单调递减。总结利用导数求函数单调区间的一般步骤：确定函数\(f(x)\)的定义域。求\(f(x)\)的导数\(f^\prime(x)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，求出方程的根。用方程的根将定义域分成若干个区间，列表判断\(f^\prime(x)\)在各个区间内的符号，从而确定函数\(f(x)\)的单调区间。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1：已知函数\(f(x)=x^33x\)，求函数\(f(x)\)的单调区间。分析：按照利用导数求函数单调区间的步骤进行求解。解：函数\(f(x)=x^33x\)的定义域为\(R\)。求导数：\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3(x+1)(x1)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=1\)。列表：|\(x\)|\((\infty,1)\)|\(1\)|\((1,1)\)|\(1\)|\((1,+\infty)\)|||||||||\(f^\prime(x)\)|\(+\)|\(0\)|\(\)|\(0\)|\(+\)||\(f(x)\)|单调递增|极大值|单调递减|极小值|单调递增|所以，函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)，单调递减区间为\((1,1)\)。2.例2：已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^2+ax5\)在\((\infty,+\infty)\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。分析：函数在\((\infty,+\infty)\)上单调递增，则其导数\(f^\prime(x)\geq0\)恒成立，转化为求\(f^\prime(x)\)的最小值大于等于\(0\)。解：对\(f(x)=\frac{1}{3}x^3x^2+ax5\)求导得\(f^\prime(x)=x^22x+a\)。因为函数\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)上单调递增，所以\(f^\prime(x)=x^22x+a\geq0\)恒成立。对于二次函数\(y=x^22x+a\)，其图象开口向上，要使其在\(R\)上恒大于等于\(0\)，则其判别式\(\Delta=(2)^24a\leq0\)。解不等式\(44a\leq0\)，得\(a\geq1\)。所以，\(a\)的取值范围是\([1,+\infty)\)。3.例3：已知函数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，当\(a^23b<0\)时，讨论函数\(f(x)\)的单调性。分析：先求导数\(f^\prime(x)\)，再根据判别式判断\(f^\prime(x)=0\)的根的情况，进而确定函数的单调区间。解：对\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)求导得\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b\)。方程\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b=0\)的判别式\(\Delta=(2a)^24\times3b=4(a^23b)\)。因为\(a^23b<0\)，所以\(\Delta<0\)，则\(f^\prime(x)=3x^2+2ax+b>0\)恒成立。所以，函数\(f(x)\)在\((\infty,+\infty)\)上单调递增。

（四）课堂练习（15分钟）1.求下列函数的单调区间：\(f(x)=x^42x^2+5\)\(f(x)=e^xx1\)2.已知函数\(f(x)=x^3+mx^2+(m+6)x+1\)既存在极大值又存在极小值，求实数\(m\)的取值范围。

（五）课堂小结（5分钟）1.学生总结：请学生回顾本节课所学内容，包括导数与函数单调性的关系、利用导数求函数单调区间的步骤等。2.教师补充：教师对学生的总结进行补充和完善，强调重点知识和易错点。

（六）布置作业（5分钟）1.必做题：教材P89练习第1、2、3题。2.选做题：已知函数\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)，求函数\(f(x)\)的单调区间，并证明当\(x>0\)时，\(f(x)\leq\frac{1}{e}\)。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对导数与函数单调性的关系有了较深刻的理解，掌握了利用导数求函