用因式分解法解一元二次方程教学案一

用因式分解法解一元二次方程教学案一一、教学目标1.知识与技能目标理解因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程。能根据方程的特点，选择恰当的方法解一元二次方程。2.过程与方法目标通过将一元二次方程变形为两个一次因式的乘积等于0的形式，体会降次的数学思想。经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生的观察、分析和归纳能力。3.情感态度与价值观目标感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值。在探究活动中，培养学生勇于探索的精神，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.教学重点掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤。能熟练运用因式分解法解一元二次方程。2.教学难点理解因式分解法解一元二次方程的原理，即"降次"。正确地对一元二次方程进行因式分解，将其转化为两个一次因式的乘积等于0的形式。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入新课1.复习提问什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？我们已经学习了哪些解一元二次方程的方法？2.情境导入多媒体展示：一个面积为20的矩形，它的长比宽多1，求矩形的长和宽。设矩形的宽为x，则长为x+1，根据矩形面积公式可得方程：x(x+1)=20，整理得$x^2+x20=0$。提出问题：如何求解这个方程呢？今天我们就来学习一种新的解一元二次方程的方法因式分解法。

（二）探究新知1.因式分解法的概念引导学生观察方程$x^2+x20=0$，尝试将其左边进行因式分解。学生思考后可能会发现：$x^2+x20=(x4)(x+5)$。于是原方程就可化为$(x4)(x+5)=0$。讲解：当两个因式的乘积为0时，那么这两个因式中至少有一个为0。即$x4=0$或$x+5=0$。分别解这两个一元一次方程，可得$x_1=4$，$x_2=5$。总结因式分解法的概念：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解的方法求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。2.因式分解法解一元二次方程的一般步骤以方程$x^23x+2=0$为例，讲解因式分解法解一元二次方程的一般步骤。第一步：移项，将方程右边化为0。原方程变为$x^23x+2=0$。第二步：对左边的式子进行因式分解。$x^23x+2=(x1)(x2)$。第三步：令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程。即$x1=0$或$x2=0$。第四步：解这两个一元一次方程，得到原方程的解。解得$x_1=1$，$x_2=2$。总结一般步骤：移项、因式分解、令因式为0得两个一元一次方程、解这两个一元一次方程。3.思考与讨论思考：在因式分解时，有哪些常用的方法？学生讨论后回答，教师总结：常用的因式分解方法有提公因式法、公式法（平方差公式$a^2b^2=(a+b)(ab)$，完全平方公式$a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$）、十字相乘法等。例如：对于方程$2x^25x3=0$，可通过十字相乘法进行因式分解。$2x^25x3=(2x+1)(x3)$。进一步引导学生理解因式分解法解一元二次方程的关键在于正确地对多项式进行因式分解，将其转化为两个一次因式的乘积等于0的形式，从而实现"降次"求解。

（三）例题讲解例1：用因式分解法解下列方程（1）$x^24x=0$解：移项得$x(x4)=0$则$x=0$或$x4=0$解得$x_1=0$，$x_2=4$（2）$x^216=0$解：利用平方差公式因式分解得$(x+4)(x4)=0$则$x+4=0$或$x4=0$解得$x_1=4$，$x_2=4$（3）$3x(x1)=2(x1)$解：移项得$3x(x1)2(x1)=0$提取公因式$(x1)$得$(x1)(3x2)=0$则$x1=0$或$3x2=0$解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$

例2：已知方程$(x2)(x3)=12$，用因式分解法求解。解：先将方程左边展开得$x^25x+6=12$移项化为一般形式$x^25x6=0$因式分解得$(x6)(x+1)=0$则$x6=0$或$x+1=0$解得$x_1=6$，$x_2=1$

在讲解例题过程中，强调解题步骤的规范性，引导学生分析方程的特点，选择合适的因式分解方法。同时，鼓励学生积极思考，尝试不同的解法，培养学生的解题能力和创新思维。

（四）课堂练习1.用因式分解法解下列方程（1）$x^2+5x=0$（2）$4x^29=0$（3）$x(x2)+x2=0$（4）$(x+1)^225=0$2.已知方程$x^2+bx+c=0$的一个根为1，另一个根为2，求b和c的值。3.若三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是方程$x^26x+8=0$的根，求这个三角形的周长。

学生在练习本上独立完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，对有困难的学生进行个别辅导。完成后，选取部分学生上台展示解题过程，师生共同进行点评，强调解题要点和注意事项。

（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，提问：什么是因式分解法？因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？在因式分解时常用的方法有哪些？2.学生回答后，教师进行总结归纳：因式分解法是当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，通过令这两个因式分别为0来求解方程的方法。一般步骤为移项、因式分解、令因式为0得两个一元一次方程、解这两个一元一次方程。常用的因式分解方法有提公因式法、公式法、十字相乘法等。强调因式分解法解一元二次方程的关键在于正确地对多项式进行因式分解，实现"降次"求解，同时要注意解题步骤的规范性。

（六）布置作业1.必做题用因式分解法解下列方程：（1）$x^27x+10=0$（2）$9x^24=0$（3）$x(x3)=2x6$（4）$(2x1)^23(2x1)+2=0$已知方程$x^2+mx+n=0$的两个根分别为2和3，求m和n的值。2.选做题已知关于x的方程$(xa)(xb)=1$的两个根为$x_1$，$x_2$，试比较$x_1$，$x_2$与a，b的大小关系。若方程$x^2+px+q=0$的两个根为$x_1$，$x_2$，且$x_1+x_2=5$，$x_1^2+x_2^2=13$，求p和q的值。

通过布置作业，巩固本节课所学知识，让不同层次的学生都能得到锻炼和提高。必做题面向全体学生，要求学生熟练掌握因式分解法解一元二次方程的基本方法和步骤；选做题则具有一定的挑战性，供学有余力的学生拓展思维，培养他们的综合运用能力和探究能力。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对因式分解法解一元二次方程有了一定的理解和掌握。在教学过程中，通过复习提问、情境导入等方式激发了学生的学习兴趣，引导学生积极参与探究活动。在讲解因式分解法的概念和一般步骤时，结合具体例题进行详细讲解，让学生能够直观地理解和掌握。课堂练习环节，学生能够积极思考，运用所学知识解决问题，但仍存在一些