2024-2025学年湖南省部分学校高三（下）质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省部分学校高三（下）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数(a+i)2A.0 B.1 C.2 D.32.“x−2<1”是“x∈(2,3)”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.若点(3,0)到双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线的距离为A.24 B.22 C.4.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b=3c，csinC=2，则2b−csinB−sinCA.5 B.4 C.3 D.15.废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复.若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为(

)A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.16.已知某圆台轴截面的周长为10，面积为33，圆台的高为3，则该圆台的表面积为A.6π B.10π C.11π D.12π7.已知AC为圆M的直径且AC=2，B为圆M上的动点且与A，C均不重合，等边三角形BCD与△ABC共面且点A，D位于BC的异侧，则DA⋅DC的最大值为(

)A.12 B.1 C.2 D.8.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=7S1，若存在正整数m，kA.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，设函数y=sinx在区间[a,2a]上的最大值为m，在区间[2a,3a]上的最大值为n，当a变化时，下列结论可能成立的是(

)A.m>0，n>0 B.m>0，n<0 C.m=0，n>0 D.m<0，n<010.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD//BC，AD=AB=CD=PA=PD=1，BC=2，F为PC的中点，则(

)A.BC/​/平面PAD

B.PC⊥平面BDF

C.三棱锥P−ABC的体积为14

D.PA与CD所成角的余弦值为11.已知曲线C1：(x−2)2+(y−1)2=r2(r>0,x≥2)ⅡC2：(x−2)2+(y+1)2=r2(x≥2)相切，且曲线C1，C2和抛物线C3：y2=2x(x≤2)围成封闭曲线C，过A.r=1 B.|FB|的最大值为52

C.|OA|2不大于点A到y轴的距离的4倍 D.若l的斜率为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某蔬菜种植基地最近五年的年投资成本x(万元)和年利润y(万元)的统计表如下：x1011121314y1112ab19若y关于x的线性回归方程为y=2x−9.6，则y的平均数y−13.已知函数f(x)=x3+mx2+nx的图象与直线y=1相切，且与直线y=114.记max{a,b,c}表示a，b，c三个数中的最大数.若函数f(x)=ln(2ax2−bx+c)(a≥b≥c>0)的值域为R四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知数列{1an}的前n项和Sn=n2+2n．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(16.(本小题12分)

如图，在直五棱柱ABCDE−A1B1C1D1E1中，AB⊥BC，AB⊥AE，AE⊥ED，AA1=AB=AE=2ED=BC=1，M是EE1的中点．

(Ⅰ)证明：17.(本小题12分)

已知函数f(x)=(x−a)ex+a．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a≤1，证明：当x>0时18.(本小题12分)

已知曲线C：x2+4y2=λ(λ>0)上任意两点间的最大距离为4，M，N为C与y轴的交点，且点M在N的上方．

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)若过M的直线与C交于另一点G(异于点N)，作NH⊥MG，H为垂足，直线NH，NG的斜率分别为k1，k2，证明：k1=4k2；

(Ⅲ)若点P，Q19.(本小题12分)

甲、乙两个不透明的袋中各有n(n≥2)个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为1，2，…，n，乙袋中的小球分别编号为n+1，n+2，…，2n.从甲袋中任取两个小球，编号记为a，b(a<b)，从乙袋中任取两个小球，编号记为c，d(c<d)

(Ⅰ)若n=5，设X=b−a，求X的分布列和数学期望．

(Ⅱ)设Y=c−a，Z=d−b，事件“Y=Z”发生的概率记为Pn．

(i)用含n的组合数表示Pn．

(ii)证明：当n≥3时，43n<Pn≤5参考答案1.B

2.C

3.B

4.A

5.D

6.C

7.D

8.B

9.ABC

10.AC

11.ACD

12.14.4

13.6

14.8915.解：(Ⅰ)数列{1an}的前n项和Sn=n2+2n，

可得n=1时，1a1=S1=3，即a1=13，

当n≥2时，1an=Sn−Sn−116.解：(Ⅰ)证明；如图，分别取AB，AA1的中点P，Q，

连接PD，PQ，QM，则PQ//A1B.

因为ED=AP=1，ED//AP，所以四边形APDE为平行四边形，

所以PD=AE=2，PD//AE，

同理QM=AE=2，QM//AE，

所以PD//QM，PD=QM，所以四边形PQMD为平行四边形，

故PQ//DM，又A1B//PQ，

所以A1B/​/DM，又A1B⊄平面DB1M，MD⊂平面DB1M，

所以A1B/​/平面DB1M.

(Ⅱ)如图，以A为原点，直线AB，AE，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

可得D(1,2,0)，B1(2,0,2)，M(0,2,1)，C1(2,1,2)，E1(0,2,2)，

则DB1=(1,−2,2)，DM=(−1,0,1)，C1E1=(−2,1,0)．

设平面D17.解：(Ⅰ)因为f(x)=(x−a)ex+a，

所以f′(x)=(x−a+1)ex．

当x<a−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>a−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以f(x)的单调递减区间为(−∞,a−1)，单调递增区间为(a−1,+∞)．

(Ⅱ)证明：要证明f(x)+ex≥x+lnx+2，

即证明xex+ex−x−lnx−2≥a(ex−1)，

因为a≤1，且x>0，所以a(ex−1)≤ex−1，

先证明xex+ex−x−lnx−2≥ex−1，即xex−x−lnx−1≥0．

设g(x)=xex−x−lnx−1，则g′(x)=(x+1)ex−1−118.解：(Ⅰ)易知x2λ+y2λ4=1，

该方程表示焦点在x轴上的椭圆，任意两点间的最大距离为长轴长，

所以2λ=4，

解得λ=4，

则C的方程为x24+y2=1；

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知N(0,−1)，M(0,1)，

设G(x0,y0)(x0≠0)，

此时k2=y0+1x0．

因为kMG=y0−1x0，

所以k1=−1kMG=−x0y0−1，

所以k1k2=−x0y0−1⋅x0y0+1=x021−y02．

因为点G在椭圆上，

所以x024+y02=1，

此时k1k2=x021−y02=4(1−y02)1−y02=4，

即k1=4k2；

(Ⅲ)证明：易知直线MP，MQ，PQ的斜率存在，

设直线PQ的方程为y=kx+m(m≠1)19.解：(Ⅰ)甲、乙两个不透明的袋中各有5个材质、大小相同的小球，

甲袋中的小球分别编号为1，2，…，5，乙袋中的小球分别编号为6，7，…，10．

从甲袋中任取两个小球，编号记为a，b(a<b)，从乙袋中任取两个小球，编号记为c，d(c<d)

设X=b−a，∵a<b，∴X的所有可能取值为1，2，3，4，

P(X=1)=4C52=25，P(X=2)=3CX1234P2311E(X)=1×4+2×3+3×2+4×110=2．

(Ⅱ)(ⅰ)当n=2时，必有Y=Z=2，此时P2=1．

当n≥3时，Y与Z的所有可能取值为2，3，…，n−1，n，n+1，…，2n−2．

若Y=Z=n，则任取a，b∈{1,2,…,n}，令c=a+n，d=b+n即可满足条件，故共有Cn2种取法；

若Y=Z=n+1，因为d=b+n+1≤2n，所以b≤n−1，所以a，b∈{1,