2024-2025学年北京市东城区第五十中学高二下学期3月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市东城区第五十中学高二下学期3月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∣1≤x≤3,B={x∣2<x<4}，则A∩B=(

)A.2,3 B.1,4 C.−∞,4 D.1,+∞2.已知复数z满足z=−1−ii，则在复平面内z对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.与向量a=(1,3,−2)平行的一个向量的坐标是(

)A.(13,1,−1) B.(−12,−4.若函数f(x)=lnx−x，则f(x)的单调递增区间为(

)A.(−∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(−1,1)5.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，E,F,G分别为AB,CD1A.0 B.1010 C.26.曲线f(x)=xex−e在x=1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为A.e B.e2 C.2e−12 7.设a=e0.01,b=1.01,c=ln1.01，其中A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b8.如图所示，已知直线y=kx与曲线y=fx相切于两点，函数gx=kx+mm>0，则对函数A.有极小值点，没有极大值点 B.有极大值点，没有极小值点

C.至少有两个极小值点和一个极大值点 D.至少有一个极小值点和两个极大值点9.函数f(x)=x2–xsinA. B.

C. D.10.已知函数fx=x+1ex.若过点P−1,m可以作曲线A.0,4e B.0,8e C.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.如图，直线l是曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线，则limΔx→0f(0+△x)−f(0)△x=

．12.函数f(x)=sin2x，则f′(x)=

．13.已知fx=13x3+mx2+m+214.已知定义在区间(−π,π)上的函数f(x)=xsinx+cosx，则f(x)的单调递增区间为15.我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为00型，比如：当x→0时，sinxx的极限即为00型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：limx→0sinx16.已知函数f(x)=ex−e−x，下列命题正确的有①f(x)是奇函数；②f(x)在R上是单调递增函数；③方程f(x)=x2+2x④如果对任意x∈(0,+∞)，都有f(x)>kx，那么k的最大值为2．三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)已知函数f(x)=x(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的极值．18.(本小题12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD,EF//AB，其中AD=2,AB=AF=2EF=1,P是棱DF的中点．(1)求证：BF//平面APC；(2)求直线DF与平面APC夹角的正弦值；(3)求点E到平面APC的距离；19.(本小题12分)已知函数f(x)=klnx−1x，其中(1)当k=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数在(2,+∞)上单调递减，请直接写出一个满足条件的k值．20.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0过点1,63(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：y=kx−12与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP=2∠EFP恒成立？若存在，求出点P21.(本小题12分)定义：Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3x1<x2<x3是曲线y=f(1)若函数fx是二次函数，证明：f(2)判断函数fx(3)判断函数fx=xln参考答案1.A

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.A

8.C

9.A

10.A

11.1

12.2cos2x

13.(−∞,−1)∪(2,+∞)．

14.−π,−π15.2

16.①②④

17.解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为R.f′(x)=3x2−12，

令f′(x)=0，解得x=±2，

则f′(x)，f(x)x(−∞,−2)−2(−2,2)2(2,+∞)f′(x)+0−0+f(x)↗ ↘ ↗故函数f(x)的单调增区间为(−∞,−2)和(2,+∞)，单调减区间为(−2,2)．

(Ⅱ)当x=−2时，函数f(x)取得极大值为f(−2)=16；

当x=2时，函数f(x)取得极小值为f(2)=−16．

18.(1)连接BD交AC于点O，连接OP，因为P,O分别为DF,DB的中点，所以BF//PO，又PO⊂平面APC，BF⊄平面APC，则BF//平面APC；(2)直线AF⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD，所以AF⊥AB，且AF⊥AD,AB⊥AD，则以A为原点，AB,AD,AF所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系；B1,0,0,D0,2,0,E所以AP=设平面APC的法向量为n=由n⋅AP令x=2，得n=2,−1,2，且所以cosDF直线DF与平面APC夹角的正弦值为4(3)因为EA=且平面APC的法向量为n=则点E到平面APC的距离d=EA

19.解：(Ⅰ)当k=1时，函数f(x)=lnx−1x，

令x=1，得f(1)=−1，即切点坐标为(1,−1)，

f′(x)=1x+1x2，则f′(1)=2，即切线斜率k=2，

故切线方程为y+1=2(x−1)，即y=2x−3．

(Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=kx+1x2=kx+1x2，

①当k≥0时，f′(x)>0恒成立，故函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)．

②当k<0时，令f′(x)=0，解得x=−1k，

当x∈(0,−1k)，f′(x)>0,f(x)单调递增，

当x∈(−1k,+∞)，f′(x)<0,f(x)单调递减，

所以函数f(x)的单调增区间为(0,−1k)，单调减区间为(−1k,+∞)．

综上所述，当k≥020.解：(1)由题知，椭圆C过点(1,63)和(c,33)，

所以1a2+23b2=1c2a2+13b2=1a2=b2+c2，解得a2=3，b2=1，

所以椭圆C的方程为x23+y2=1；

(2)假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP=2∠EFP恒成立，

设P(0,y0)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，

由y=kx−1221.解：(1)证明：因为函数f(x)是二次函数，

所以设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)(x1<x2<x3)是曲线y=f(x)上三个不同的点，

则直线AC的斜率：kAC=y3−y1x3−x1=a(x32−x12)+b(x3−x1)x3−x1=a(x3+x1)+b，

又f′(x)=2ax+b，所以kB=f′(x2)=2ax2+b，

根据题意可得kAC=kB，

所以2ax2+