贵州省黔西南州兴仁市凤凰中学2024-2025学年第二学期高三数学试题期末试卷含解析

贵州省黔西南州兴仁市凤凰中学2024-2025学年第二学期高三数学试题期末试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设是虚数单位，复数（）A． B． C． D．2．设非零向量，，，满足，，且与的夹角为，则“”是“”的（）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B．C． D．4．设全集，集合，则＝()A． B． C． D．5．若实数满足不等式组，则的最大值为（）A． B． C．3 D．26．函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()A． B．C． D．7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如，．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（）A． B． C． D．以上都不对8．函数（，，）的部分图象如图所示，则的值分别为（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，9．已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，PA，PB，AB＝4，CA＝CB，面PAB⊥面ABC，则球O的表面积为（）A． B． C． D．10．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A． B．C． D．11．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（）附：若，则，.A．0.6826 B．0.8413 C．0.8185 D．0.954412．若等差数列的前项和为，且，，则的值为（）．A．21 B．63 C．13 D．84二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数__________．14．在正方体中，为棱的中点，是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为__________．15．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，，（且），则__________.16．若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的模是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，.（1）求抛物线的方程；（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.18．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2），，求实数的取值范围.19．（12分）已知，，（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．20．（12分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.21．（12分）新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）频数515101055了解4126521（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；（2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.22．（10分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若方程有两个实根，且，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数，故选D．本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．C【解析】

利用数量积的定义可得，即可判断出结论．【详解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要条件．故选：C．本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．A【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选A．考点：函数的定义域．4．A【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集.【详解】由解得，故，所以，故选A.本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.5．C【解析】

作出可行域，直线目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图由射线，线段，射线围成的阴影部分（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值1．故选：C．本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形．6．B【解析】

根据定义域排除，求出的值，可以排除，考虑排除.【详解】根据函数图象得定义域为，所以不合题意；选项，计算，不符合函数图象；对于选项，与函数图象不一致；选项符合函数图象特征.故选：B此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.7．A【解析】

首先确定不超过的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过的素数有，，，，，，，，共个，从这个素数中任选个，有种可能；其中选取的两个数，其和等于的有，，共种情况，故随机选出两个不同的数，其和等于的概率．故选：.本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.8．D【解析】

由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案【详解】由函数图象可知：，函数的图象过点，，则故选本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果9．D【解析】

由题意画出图形，找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O，通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径，则答案可求.【详解】如图；设AB的中点为D；∵PA，PB，AB＝4，∴△PAB为直角三角形，且斜边为AB，故其外接圆半径为：rAB＝AD＝2；设外接球球心为O；∵CA＝CB，面PAB⊥面ABC，∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB；且DC.∴O在CD上；故有：AO2＝OD2+AD2⇒R2＝（R）2+r2⇒R；∴球O的表面积为：4πR2＝4π.故选：D.本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查思维能力与计算能力，属于中档题.10．D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.11．C【解析】

根据服从的正态分布可得，，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，，，则，，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.12．B【解析】

由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求，，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】解：因为，，所以，解可得，，，则．故选：B．本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

先令可得其展开式各项系数的和，又由题意得，解得，进而可得其展开式的通项，即可得答案.【详解】令，则有，解得，则二项式的展开式的通项为，令，则其展开式中的第4项的系数为，故答案为：此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题.14．【解析】

根据题意画出几何题，建立空间直角坐标系，写个各个点的坐标，并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】根据题意画出几何图形，以为原点建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，则所以所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故答案为：.本题考查了异面直线夹角的求法，利用空间向量求异面直线夹角，属于中档题.15．【解析】

利用等比数列的性质求得，进而求得，再利用对数运算求得的值.【详解】由于，，所以，则，∴，，.故答案为：本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.16．【解析】

先求得复数，再由复数模的计算公式即得.【详解】，，则.故答案为：本题考查复数的四则运算和求复数的模，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）或【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想.第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋2＝1．y1＋y2＝4m，y1y2＝2．…6分设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，．所以，直线l的方程为，或．…12分考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.18．（1）；（2）.【解析】

（1）将代入函数的解析式，将函数的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；（2）由参变量分离法得出在区间内有解，分和讨论，求得函数的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，.当时，；当时，.函数的值域为；（2）不等式等价于，即在区间内有解当时，，此时，，则；当时，，函数在区间上单调递增，当时，，则.综上，实数的取值范围是.本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19．（1）的最小正周期为：；函数单调递增区间为：；（2）.【解析】

（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可；（2）由（1）结合，求出的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可.【详解】（1）的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为：；（2）因为，所以设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.20．（1）；（2）见解析.【解析】

（1）令，，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.【详解】（1）令，，当时，；当时，，则，故；（2），.本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.21．（1）；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，.【解析】

（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；（2）根据数据列出列联表，求出的观测值，对照表格，即可得出结论；（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值为0，1，