冶金传输原理（第2版）传输原理 3 流体运动

第三章描述流体运动的方法

3.1雷诺试验和卡门涡街3.2描述流体运动的两种方法3.3质点导数3.4拉格朗日法和欧拉法的转换3.5流体运动的基本概念3.1雷诺试验和卡门涡街一、雷诺试验1883年，英国的雷诺：自然界的流体流动有两种不同的形态，即层流和紊流(或湍流)。流动形态的实验——著名的雷诺实验在图中(a)和(b)可以看到：明晰的细小的着色流；说明：染色的流体质点的不与周围的水相混，液体质点的运动是有规则有秩序的。称这种流动状态为层流在图中(c)看到：色水线开始震荡，变成波浪形，与周围的流体相混。说明：流体质点的运动是杂乱无章的，互相搀杂的。称这种状态为紊流或湍流。层流状态：水在毛细管;重油在管道中的流动;血液在微血管中的流动。紊流状态：工程实际中；水在管道或渠道中的流动；空气在管道或空间中的流动。在实际计算中，必须首先判别流动形态。3.1雷诺试验和卡门涡街流体运动是受其粘度、密度和流道尺寸的影响而变化。不可能对每一种实际流动都定出临界流速。雷诺根据实验总结出一个无因次量——雷诺数，作为判别流动状态的准则。以Re表示。

－流体的密度；kg/m3；

m－运动速度,m/s;

－粘性系数，Pa·s；

－运动粘性系数，m2/sd－是流体通道的定性尺寸(或特性尺寸)由层流转变成湍流时的Re称为临界Re，一般用Recr来表示。雷诺从实验得出Recr≈2300，工程中通常取2000。由层流至湍流的转变是可逆的。Re有着鲜明的物理意义，它表示流体运动中惯性力与黏性力之比。3.1雷诺试验和卡门涡街3.1雷诺试验和卡门涡街二、卡门涡街如下图所示，在方形水槽中，水沿着水槽水平流动。此时将一圆柱体垂直放入水槽中，在圆柱体的上游徐徐撒上漂浮物，可以在圆柱体的下游观察到水的流动图形。从水平面上方观察发现，在水流流速很慢时，将出现两个黏附在圆柱体后面的对称的漩涡。当水流速度增大到某一数值后，在圆柱体后面形成两列交错排列、旋转相反的周期性漩涡，称为卡门涡街。电线在风中发声，潜艇的通气管在水中抖颤并发出噪声，都是由于卡门涡街的存在而引起的。3.2描述流体流动的两种方法一、拉格朗日法(Lagrange)又称(质点法)拉格朗日法着眼于流体质点，其基本思想是：跟踪每个流体质点的运动全过程，记录它们在运动过程中各物理量及其变化。将初始时刻坐标a,b,c和时间变量t称为拉格朗日变数，则流体质点的位移r、温度T、压力P等物理量是拉格朗日变数的函数：流体质点的速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数，它们分别为：3.2描述流体流动的两种方法因为拉格朗日坐标a,b,c对指定的流体质点是常量，与时间无关，因此上面位移和速度对时间的导数是偏导数而不是全导数。拉格朗日法着眼于流体质点，是离散质点运动描述方法在流体力学中的延续。但多数情况下人们更关心的是流体中固定空间点上的物理量。这时拉格朗日法就不方便了。质点速度：质点加速度：

3.2描述流体流动的两种方法二、

欧拉法(Euler)或称(流场法)Euler法：着眼于空间点，又称空间点法。基本思想：考察空间每一点上流体运动物理量随时间的变化。空间坐标(x,y,z)和时间变量t称为欧拉变数，欧拉法中的物理量是欧拉变数的函数：υ=υ(x,y,z,t)，ρ=ρ(x,y,z,t)，P=P(x,y,z,t)欧拉法是一种场的方法，上式分别表示流场的速度分布、密度分布和压力分布，称为速度场、密度场和压力场。3.2描述流体流动的两种方法流体质点和空间点二者既有区别，又有联系。流体质点是大量分子构成的流体团，而空间点是没有尺度的几何点。所谓空间某一个点上的物理量就是指占据该空间点的流体质点的物理量。所谓空间点上物理量对时间的变化率就是占据该空间点的流体质点的物理量对时间的变化率。欧拉法着眼点是，如果每一处空间位置的流体运动状态都是确定的，则整个流动也就清楚了。拉格朗日法着眼点是，如果知道了每一个质点随时间的变化规律，整个流动状况也就清楚了。3.3质点导数流体质点的物理量对时间的变化率称为该物理量的质点导数。对于拉格朗日法，任一流体质点(a,b,c)所具有的物理量B(a,b,c,t)的质点导数，就等于该物理量对时间的偏导数

当B=υ时，为质点的加速度，即：3.3质点导数对欧拉法而言，一个确定的空间点，在不同时刻被不同的流体质点所占据，故不能简单地将质点导数理解为物理量对时间的偏导数，下面推导欧拉法中质点导数的表示式。在上图中，设时刻t位于空间点M(x,y,z)上流体质点的速度为υ=υxi+υyj+υzk，具有物理量B(x,y,z,t)。经△t时间，该质点运动了υ△t，到达M’(x+υx△t,y+υy△t,z+υz△t)点，物理量变为B(x+υx△t,y+υy△t,z+υz△t,t+△t)。根据质点导数的定义，物理量B的质点导数为：3.3质点导数利用Taylor级数对物理量B展开如下：将上式代入式(1)右端，并略去高阶项可得或其中上式就是用欧拉法表示的物理量B的质点导数(也称为随体导数)。3.3质点导数需要指出，上式中的括号不能省略，括号保证了其中的两个“矢量”率先相乘，然后再作用于矢量B。同时，括号内两项的前后顺序不能颠倒，否则就会变成下式：显然，上式表达了与前面公式不同的含义。称为质点导数算子：由上式可见，欧拉法的质点导数由两部分组成：称为局部导数算子，简称局部导数。表示在一固定空间点，由于时间的变化而引起物理量的变化。若物理量B不随时间而变，则

，而不是，这一点必须牢记。3.3质点导数(2)称为迁移导数算子或对流导数算子，简称迁移导数或对流导数。表示在同一时刻，由于空间位置的变化而引起物理量的变化。若物理量B在空间上均匀分布，则

。在以上推导中，B为任意物理量。当B=υ时，

为欧拉法的质点加速度，即：上式中

为当地加速度或局部加速度，

为迁移加速度或对流加速度。下面对迁移加速度的概念做进一步的说明。展开

并考察其x分量，则它变为3.3质点导数迁移加速度的x轴分量由三部分构成：第一部分中的表示沿x轴单位长度的速度变化，而

表示单位时间内沿x轴运动的距离，所以

就是速度相对于时间的变化。关键在于，对于给定的空间点(x,y,z)，

都是已知的，因为欧拉方法要求从如下的已知函数开始研究：由于

也能随y、z变化，所以

与

也对x方向的加速度产生贡献，故x方向的加速度由三项构成。类似地当B=ρ时，密度ρ的质点导数为：3.4拉格朗日法和欧拉法的转换拉格朗日法和欧拉法从不同的着眼点来表达流体的运动，它们之间可以相互转化。下面以速度为例给出r=r(a,b,c,

t)↔υ=υ(x,y,z,t)的转换。一、拉格朗日法转化到欧拉法拉格朗日法在直角坐标系中的质点位移方程式：作为拉格朗日法的基本出发点，上式中的函数必须是已知的。由于t=t0时，x=a,y=b,z=c，因此上式表示在t0以后任意时刻质点(a,b,c)的位置(x,y,z)，与该质点初始位置(a,b,c)具有一一对应的函数关系，因此公式(1)必存在下面的反函数：(1)3.4拉格朗日法和欧拉法的转换(2)拉格朗日法侧重流体质点，重点考察同一质点(a,b,c)在不同时刻t的空间位置、速度、加速度等；而欧拉法侧重空间位置，重点考察同一空间位置(x,y,z)上的物质处在不同时刻t时，其速度、加速度、温度、压力等物理量。将公式(2)代入前面的速度公式，就得到了用欧拉法表示的速度分布：需要强调的是，作为欧拉法的基本出发点，式(2)必须是已知的。(3)3.4拉格朗日法和欧拉法的转换二、欧拉法转化到拉格朗日法由欧拉变数表示的速度场公式，即式(2)可得：积分得通解：其中积分常数c1,

c2,

c3

由初始条件确定。若t=t0时，x=a，y=b，z=c，则：

可得c1=c1(a,b,c)，c2=c2(a,b,c)，c3=c3(a,b,c)，将它们代入(5)式，即得拉格朗日变数表示的位移方程式(1)，再将其代入(3)式即得拉格朗日变数表示的速度分布。(4)(5)3.4拉格朗日法和欧拉法的转换例题1.已知拉格朗日变数下的速度表达式为υx=(a+1)et-1，υy=(b+1)et-1，t=0时x=a，y=b。试求：(1)t=2时该质点的位置；(2)a=1,b=2时流体质点的运动规律；(3)拉格朗日变数表示的质点加速度；(4)欧拉法表示的速度和加速度。解：(1)由流体质点速度公式得：积分得轨迹方程：将已知的初始条件t=0时x=a，y=b代入(b)式，得到c1=c2=-1，则轨迹方程(b)式成为：(a)(b)(c)3.4拉格朗日法和欧拉法的转换代入t=2得该流体质点的位置：(2)在(c)式中代入a=1,b=2，得质点(1,2)的运动轨迹方程(3)对已知的速度分布求偏导，得速度(4)将轨迹方程(c)的逆函数(e)(f)代入已知的拉格朗日速度表示式，得欧拉变数下的速度分布再将(e)式代入(d)式得，欧拉变数下的加速度欧拉法的加速度也可以利用(f)式直接求解。(g)(d)3.5流场的基本概念流体在运动过程中，若物理量不随时间而变，则称为定常流动，否则称为非定常流动。在定常流动中，物理量B仅是空间坐标的函数：

它的局部导数等于零，即:

流动是否定常与所选取的参考坐标有关。一、定常流动和非定常流动二、均匀流动和非均匀流动流体在运动过程中，若物理量均不随空间而变，则称为均匀流动或均匀场，否则称为非均匀流动或非均匀场。3.5流场的基本概念在均匀流动中，物理量只是时间的函数：它的迁移导数：三、平面流和轴对称流流体一般的流动都属于三维空间流动。平面流和轴对称流是两种特殊的三维流动。如果能在流场中作出相互平行的平面族，使得每个流体质点都只在一个平面内运动，并且所有这些平面上对应点的流动情况相同，这样，只要知道平面族中任意一个平面上的流动情况，就可以知道整个流场情况。这种流动称为平面流动或二维平面流动。3.5流场的基本概念在直圆管内部，过中轴线可以做无数个平面，称为子午面。如果处在某一子午面上的流体质点只能在该面内部流动，即它永远不会流到其他子午面上，且不同午面上对应点的流动情况完全相同。这样的流动称为轴对称流动。四、迹线流体质点的运动轨迹称为迹线。结合拉格朗日法中位移函数，给定拉格朗日变数a,b,c就得到该质点的轨迹：3.5流场的基本概念欧拉法中质点迹线需由速度场积分求出。若给定欧拉速度场υ(x,y,z,t)，流体质点经过dt时间移动了dr距离，则该质点的迹线微分方程为：直角坐标系中：其中(x,y,

z)表示质点坐标，它是时间的函数。上式是由三个一阶微分方程构成的方程组，给定t=t0时质点的坐标(a,b,c)，上式即得该质点的迹线方程。质点、迹线是拉格朗日法才有的概念，因此上面的解题思路是，先求出欧拉法中的空间位置表达式，然后再通过转换，变为拉格朗日法的表达形式。3.5流场的基本概念五、流线流线是速度场的矢量线。在任意时刻t，它上面每一点处曲线的切向量dr=dxi+dyj+dzk

都与该点的速度向量υ(x,y,

z,t)相切。根据流线的定义dr×υ＝0上公式表示了dr与υ平行，因此在直角坐标系中其中时间为参数，积分时做常数处理，表示t时刻的流线。流线具有如下性质：3.5流场的基本概念(1)对于非定常流场，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重合；对于定常流场，任何时刻通过同一空间点的流线都是重合的；(2)同一时刻，过空间一点只有一条流线，这是因为该时刻流场中一点处的速度只有一个。换句话说，流线不能相交；(3)流线直观地描绘了流场的速度分布，流线的走向反映了流速的方向，流线的密集程度放映了流速的大小。迹线和流线的区别：迹线和流线都是用来描述流场几何特性的，它们最基本的差别是：3.5流场的基本概念迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点相对应；而流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与欧拉观点相对应。在定常流动中，流线与迹线重合。流线迹线拉格朗日欧拉位移曲线包络线例题2.已知流场的速度分布为υx=1-y，υy=t，试求：①t=1时过(0,0)点的流线；②t=0时位于(0,0)点的流体质点的迹线。3.5流场的基本概念解：①由表示流线微分方程的公式得：即将时间变量t作为常参数，积分(a)式得：

tx=y-y2/2+c1其中c1是积分常数，c1取不同值表示流场中不同的流线。依题意，将t=1，x=y=0代入上式，可确定常数c1=0，得t=1时过点(0，0)的流线方程：y2－2y＋2x＝0。(b)(a)②轨迹的微分方程：

dx＝(1-y)dt，dy=tdt(c)由dy=tdt得y=t2+c0，将其带入dx=(1-y)dt中，积分得：x=t-t3/6-c2t+c3(d)式中c2和c3为积分常数3.5流场的基本概念由初始条件t=0，(x，y)=(a，b)=(0，0)得c2=c3=0。因此，t=0时位于(0，0)点的质点的迹线参数方程为：x=t(1-t2/6)，y=t2/2(e)

也可消去(