2025年中考数学总复习《一次函数中等腰三角形存在性问题》专项检测卷附答案

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页2025年中考数学总复习《一次函数中等腰三角形存在性问题》专项检测卷附答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且．(1)求的值；(2)点是直线上的一个动点，当的面积是时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，且点在第一象限，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点．(1)求直线的表达式；(2)若，直接写出x的取值范围．(3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数与交于点．(1)求的值及的解析式；(2)若点在轴上，使得的值，请求出点的坐标；(3)若点在轴上，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．4．如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求：(1)求、两点坐标；(2)求坐标；(3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．(1)求m，n的值；(2)请直接写出在x轴上的点P坐标，使得为等腰三角形；(3)在线段上取一点M，线段上取一点N，连接，使得轴，在y轴上是否存在点Q，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接．(1)求证：．(2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标．(3)若点是的三等分点，求点的坐标．7．如图，一次函数的图象分别于x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第一象限内作等腰直角，．(1)求过B、C两点的直线的函数解析式；(2)在x轴上取一点M，使是等腰三角形，直接写出符合条件的所有M的坐标．8．如图，直线与直线交于点，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C．(1)求m和b的值；(2)已知点D在x轴上，且的面积为4，求直线的解析式；(3)在x轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．(1)求m和b的值；(2)若直线与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．①若点P在线段上，且的面积为10，求t的值；②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，直线：经过点，且交轴于点，直线与直线交于点．(1)求直线的解析式；(2)求的面积；(3)过点，作直线，并将直线向上平移个单位后交于点，连接，若点是轴上一动点，连结，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．11．如图，已知直线与两坐标轴分别交于点A、B，点在线段AB上，将一块三角板绕点P旋转，两直角边分别与x轴、y轴相交于D、E两点．(1)________，在图1中，当轴时，的值是________；(2)当三角板旋转至图2或图3的位置时，请猜想线段和之间的数量关系，并任选一个图形加以证明；(3)在三角板绕点P旋转过程中，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出点D坐标所有的可能情况；若不能，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点，直线与交于点C．(1)求出直线的解析式；(2)求的面积；(3)在轴上是否存在一点，使得为等腰三角形?若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．13．如图①，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点坐标为，点在第一象限，，．为射线上一点，过作直线轴交于，交射线于．(1)求B点坐标；(2)当为线段中点时，在直线上找点，当为等腰三角形，请直接写出点坐标；(3)如图②，为中点，当时，求点坐标．14．已知：如图，直线与轴交于点，与轴交于点，平面内有一点，直线与轴交于点．直线的解析式记作，直线解析式记作，直线与直线相交于点．(1)求的面积；(2)当______时，；(3)在轴上有一动点，使得为等腰三角形，请直接写出的坐标．15．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2，点为轴上的一个动点．(1)求点的坐标和的值；(2)连接，当与的面积相等时，求点的坐标；(3)连接，是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．(1)(2)点的坐标为或(3)，，，．【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质．（1）确定出点的坐标，代入函数解析式中即可求出；（2）利用三角形的面积求出求出点坐标；（3）设出点，表示出，，计算出，分三种情况讨论计算即可得出点坐标．【详解】（1）解：，，点在直线上，，；（2）由（1）知，，直线解析式为，点是第一象限内的直线上的一个动点，，，解得或，故点的坐标为或；（3）轴上存在一点，使等腰三角形；理由如下：在①的条件下，且点在第一象限，点的坐标为，设点，∴，，①当时，∴，∴，∴，②当时，∴，∴舍去)或，∴，③当时，∴，∴，∴综上所述，满足条件的所有点的坐标为，，，．2．(1)(2)(3)或或或【分析】（1）将点代入，确定定B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可；（2）根据交点坐标的意义，结合不等式解答即可；（3）分为：及三种情形讨论得出结果．本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．【详解】（1）解：将点代入，得，故设直线的解析式为，根据题意，得，解得，∴．（2）解：根据题意，得图象交点为，∵，∴．（3）解：根据题意，得，故，，同理可得，；故；当时，得到,此时，当时，∴，∴，当时，∴，∴，当时，设，则，，根据勾股定理，得，解得，∴，综上所述：或或或．3．(1)．的解析式为；(2)点坐标为或；(3)点的坐标为或或或．【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及巧妙运动分类讨论的思想是解题的关键．（1）将点坐标代入的函数解析式可求出，再将点坐标代入即可；（2）根据和的面积关系，可求出的长，进而解决问题；（3）分类讨论即可解决问题．【详解】（1）解：将点坐标代入一次函数解析式得，，解得．则点坐标为．令的解析式为，将点坐标代入得，，解得，所以的解析式为；（2）解：将代入得，，所以点坐标为．又，故．又，所以．又，则，所以，又点坐标为，所以点坐标为或；（3）解：过点作轴的垂线，垂足为，在中，．当点为等腰三角形的顶点时，，所以点的坐标为或．当点为等腰三角形的顶点时，，又，所以，故点坐标为．当为等腰三角形的顶点时，，则点在的垂直平分线上，连接，在中，，即，解得，所以点坐标为．综上所述，点的坐标为或或或．4．(1)，(2)(3)或或或【分析】本题考查一次函数、勾股定理于折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键．（1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标；（2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标；（3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可．【详解】（1）解：，令，则；，则；，；（2）解：，，，，，由折叠的性质可知，，，设，则，在中，由勾股定理可得，解得，；（3）解：由（2）知，，；以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时，；；以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时，或，或；如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，，设，则，在中，由勾股定理可得，解得，；综合上述，点P的坐标为或或或．5．(1)，(2)点P坐标为或或或(3)存在，点Q坐标为或或【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等知识．（1）将点的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出的值．将点的坐标代入一次函数的解析式中即可求出的值；（2）先求出点、点的坐标，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解．【详解】（1）解：正比例函数的图象过点，，，又一次函数的图象过点，，；（2）解：一次函数的图象与轴交于点，令，则，，点坐标为，，令，则，点坐标为，，，当时，点坐标为，∴点坐标为或，当时，，，，当时，∵，则此时点与点重合，即点，综上所述：点坐标为或或或；（3）解：存在，设点坐标为，则点，如图1，当，时，则，，，点；如图2，当，时，则，，，点；当如图3，当，时，则，，，点的纵坐标为，点；综上所述：点坐标为或或．6．(1)见解析(2)或或或(3)或【分析】（1）求出两点坐标，进而得到，证明，即可得证；（2）根据，得到，进而得到为的中点，求出点坐标，设，分三种情况进行求解即可；（3）过点作轴，过点作轴，根据点是的三等分点，分两种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵，∴当时，，当时，，∴，，∴，∵等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，过点作轴，则：为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，设点，则：，当是等腰三角形时，分三种情况：①，则：或；②，则：，∴，∴；③，则：，解得：，∴；综上：或或或；（3）过点作轴，过点作轴，∵，为的三等分点，①当，∵，，∴，∴，∵等腰直角三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．②当时，则：，∴，同理可得：；综上：或．【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．7．(1)(2)或或或【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出，由全等三角形的性质可知，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线的解析式；（2）利用勾股定理求出，设，分三种情况讨论即可．【详解】（1）解：一次函数中，令，则；令，则，解得，的坐标是，A的坐标是，如图1，作轴于点E，，，又，在与中，，，，，，的坐标是，设直线的解析式是，根据题意得：，解得：，直线的解析式是（2）解：，，，设M的坐标为，当，即时，如图2，即M的坐标为或；当时，如图3，，解得：或，即M的坐标为；当时，如图4，，解得：，即M的坐标为；综上，点M的坐标为或或或．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形．8．(1)m的值为4，b的值为5(2)或(3)存在，P的坐标为或或或【分析】（1）把代入，求得，代入求得；（2）根据的面积为4，求得，根据，求得，得到或，设直线解析式为，当时，求得直线的解析式为；当时，求得直线的解析式为；（3）设，求出，①当时，根据，得到轴，根据，得到；当时，根据勾股定理得到，，解得或，得到，；当时，根据点与C关于对称，求出，得到．【详解】（1）解：把代入得：，∴，把代入得：，解得;∴m的值为4，b的值为5；（2）解：∵的面积为4，，即，∴，在中，令，则，解得，，∴，∴或设直线解析式为，，当时，，解得，，∴直线的解析式为：；当时，，解得，，∴直线的解析式为：；故直线的解析式为：或；（3）解：存在点P，使为等腰三角形，理由如下：设，在中，令，则，解得，，∴，①当时，∵，∴，∴，∴轴，∵，∴；②当时，∵，，∴，解得，，或，∴，；③当时，点与C关于对称，∴，∴，∴；故P的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，等腰三角形判断和性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键．9．(1)；(2)①；②存在，t的值为8或或或12．【分析】（1）将点代入直线解得；即可将代入直线求得b即可；（2）①根据的面积公式列等式可得t的值；②存在，分三种情况：当时，如图1，当时，如图2，当时，如图3，分别求t的值即可．【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线相交于点．将点代入得：，将点代入直线得：∴，解得：；（2）解：由（1）知：，当时，，，，，，；①设，则，过C作于E，如图1所示：，，的面积为10，∴，解得：；②存在t的值，使为等腰三角形；理由如下：过C作于E，如图1所示：，，，∴，∴；a．当时，，，；b．当时，如图2所示：则，，，或；c．当时，如图3所示：设，则，，，解得：，∴P与E重合，，，；综上所述，存在t的值，使为等腰三角形，t的值为8或或或12．【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，并注意运用分类讨论的思想解决问题．10．(1)(2)(3)或或或【分析】（1）设直线的解析式为，将点，代入解析式得到关于、的二元一次方程组，求解即可；（2）确定直线的解析式，得，，求出，通过联立，解方程组后确定，再根据三角形的面积公式即可得解；（3）确定直线的解析式，继而确定平移后直线的解析式为，通过联立，解方程组确定，则，设，得到，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时；分别建立方程求解即可．【详解】（1）解：设直线的解析式为，过点，，∴，解得：，∴直线的解析式为；（2）∵直线：经过点，∴，解得：，∴直线的解析式为，当时，得：，∴，∴，∵，∴，∴，联立，解得：，∴，设为点的横坐标，∴，∴的面积为；（3）设直线的解析式为，过点，，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵直线向上平移个单位后交于点，设直线向上平移个单位后交轴于，∴直线的解析式为，联立，解得：，∴，∴，设，∴，，∵为等腰三角形，①当时，则，∴，∴或，此时点的坐标为或；②当时，则，∴，解得：，此时点的坐标为；③当时，则，∴，解得：或（不符合题意，舍去），此时点的坐标为；综上所述，当为等腰三角形时，点的坐标为或或或．【点睛】本题是两个一次函数的交点问题，考查了待定系数法确定函数解析式，一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积，根据平移的性质确定函数解析式，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键是用方程的思想解决几何问题．11．(1)1，1(2)，理由见解析(3)能，或或或【分析】（1）把代入即可求出m；证明四边形是矩形，可求出，，即可求解；（2）过P作轴于G，轴于H，利用证明，即可得出结论；（3）分，，三种情况讨论即可．【详解】（1）解∶把代入，得，∴∵轴，，，∴四边形是矩形，∴，，∴，故答案为∶1，1；（2）解：理由：如图2，过P作轴于G，轴于H，则四边形是矩形，∴，又，∴，由（1）知，又，∴，∴；如图3，过P作轴于G，轴于H，则四边形是矩形，∴，又，∴，由（1）知，又，∴，∴；（3）解：当时，，解得，∴，又，∴，当时，D的坐标为或；当，如图，过P作轴于H，∴，∵，，∴，，∴，∴D与O重合，∴D的坐标为；当时，如图，∴，当时，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴D的坐标为，综上，D的坐标为或或或．【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的应用，等腰三角形的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键．12．(1)的解析式为(2)(3)存在，，，，【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．（1）根据待定系数法求解即可；（2）联立式两个函数确定点C的坐标为，根据三角形的面积公式即可求解．（3）分三种情况，分别利用等腰三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：将点代入得：，解得：，∴的解析式为；（2）解：联立方程组得：，解得：，点C的坐标为．的面积为：（3）解：存在．∵点，则，∴，，设，当时，如图，∵，∴，∴，∴，∴点；当时，如图，∵，∴，∴，∴点，∴，∴点；当时，如图，点或，综上所述：点M坐标为，，，．13．(1)；(2)满足条件的点坐标为或或或；(3)点坐标为或．【分析】此题是一次函数和三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，分类讨论的思想，解本题的关键是用方程的思想解决问题．（1）先求出，进而求出，即可得出结论；（2）先设出点坐标，进而表示出，，，再分三种情况讨论建立方程求解即可得出结论；（3）先求出，直线，的解析式，进而设出点的坐标，表示出，，最后用面积关系建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）解：如图①，过点作于，，，，，，，；（2）解：，∴，点是中点，，，，设，，，，，为等腰三角形，①，，或，或；②，，，；③，，（舍或，，即：满足条件的点或或或；（3）解：如图由（1）知，，直线的解析式为，，直线的解析式为，点是中点，，设点，，，，，，或，点坐标为或．14．(1)的面积为；(2)(3)点H的坐标为或或或．【分析】（1）根据待定系数法即可求出直线的解析式，再求得直线与x轴的交点坐标，结合三角形的面积公式即可得出结论；（2）当直线在直线上方时，有．结合图象即可得出结论；（3）设点H的坐标为，用两点间的距离公式找出的长度，结合为等腰三角形的三种情况，即可求出n的值．【详解】（