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例9判断f(x)=2x²+x²-2x₁x₂+x₁+1是否为凸函数严格凸函数.记p,△=AC-B².(1)当△>0而A<0时，函数f(x,y)在点P(x₀,yo)有极大值；(3)当△<0时，此时函数无极值.的、不定的.极值.(1)矩阵H是正定矩阵时，函数f(P)=f(x₁,x₂,…x,)在点P。(x°,x2,…x°)取极小例8求多元函数f(x,y,z)=x²+2y²+2z²+2x+4y-4z的极值.由|H|≠0,且对角线元素皆为正，所以矩阵H是正定的，则f(-1,-1,1)=-5.且得出其特征值大于零.然后由正交变换后的到的行列式再进行等价变化后得到一个Jacobi行列式.最后根据积分的公式，将之前所求对应的行列式代入例9证明：椭球体Ω:的体积等正定矩阵.是为是为A的特征作等价变换定理8n阶实对称矩阵A是正定矩阵是由于其对应的实二次型XTAX,其中X=(x₁,x₂,…x,),而二次型正定是指对任意X。,恒有XAX₀>0,因此可以利用此性质来证明不等式是否成立.例10证明不等式x²+4x²+2x²>2x₁x₂-2x₁x₃(其中x,x₂,…,x,是不全为零证令f(x,x₂,x₃)=x²+4x²+2x²-2x₁x₂+2x₁x₃,其系数矩阵为成立.例11证明不等式则个n阶实可逆矩阵P使PTAP与PBP则C"(U'BU)C=CIEC=CC=E,取P=UC,则P为所求.例13若A是实对称的正定矩阵，则存在a>0,b>0,c>0,使aE+A,E+bA,cE-A均是正定矩阵.以存在a使aE+A得特征值大于零，其余同理可证.证A与2E都是n阶实对称正定矩阵，所以存在-n阶实可逆矩阵P使也是大于零的，1.6正定矩阵在柯西不等式中的运用x,y₁+x₂y₂+…+xy|≤√x²x²+…+x定矩阵来表示柯西不等式.设A=(a)是一个n阶正定矩阵，存在对任意向量从而可以证明由(2)定义的一定是n维向量间的内积，反之，对于n维向量间的任意一种内积，一定存在一个n阶正定矩阵A=(a),使得对任意向量α、β与(a,β)均可由(2)来定义，因此给定一个n阶正定矩阵，在n维向量间就可以由该矩阵定义一个内积，从而得到相应的柯西不等式：例15证明不等式2(x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃)-x₁y₂-x₂y₃-x₃y₁-x₃y₂|≤√x²+对于所有实数x₁,x

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