湘教 九年级 下册 数学 第二学期 期中 学情评估

第二学期期中学情评估时间:120分钟满分:120分一、单选题(每题3分，共30分)1．抛物线y＝(a－2)x2的开口向上，则a的取值范围是()A．a≠2 B．a＞2 C．a＞0 D．a≠02．下列函数的表达式中，一定为二次函数的是()A．y＝(x＋1)2－x2 B．S＝－3t2＋t＋2C．y＝eq\r(x2－1) D．y＝ax2＋bx＋c3．如图，AB是⊙O的弦，若⊙O的半径OA＝10，圆心O到弦AB的距离OC＝6，则弦AB的长为()A．8 B．12 C．16 D．204．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，∠ABC＝60°，则∠BDC的度数为()A．30° B．15° C．45° D．28°5．已知二次函数的表达式为y＝2(x－3)2＋1，下列选项中，正确的是()A．函数的最小值为1B．函数图象的对称轴为直线x＝－3C．函数图象的开口向下D．当x<3时，y随x的增大而增大6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OC，OD，若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为()A．65° B．60° C．55° D．50°7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数图象上的两点，下列结论正确的是()A．a＋b＋c<0 B．b＋2a＝0C．若x1>x2，则y1>y2 D．若y1＝y2，则x1＋x2＝18．如图，矩形ABCD的外接圆⊙O与水平地面相切于点A，已知⊙O的半径为4，且eq\o(BC,\s\up8(︵))＝2eq\o(AB,\s\up8(︵)).若在没有滑动的情况下，将⊙O向右滚动，使得点O向右移动了50π，则此时与地面相切的弧为()A．eq\o(AB,\s\up8(︵)) B．eq\o(BC,\s\up8(︵)) C．eq\o(CD,\s\up8(︵)) D．eq\o(DA,\s\up8(︵))9．如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A，B，C，D，E，F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图象是()10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c是常数)开口向上，过A(m－1，0)，B(3－m，0)两点(其中m≠2)，下列四个结论：①b<0；②若c＝－3a，则m＝4；③对于任意实数t，总有at2－a≥b－bt；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝n(n>0)必有两个不相等的实数根．其中正确的是()A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝______°.12．若抛物线y＝x2－ax(a为常数)与x轴有且只有一个公共点，则a的值为____________．13．若直角三角形的两边长为6和8，则此三角形的外接圆半径为________．14．将抛物线y＝x2－2x－3沿y轴向上平移__________个单位后经过点(－1，2)．15．若二次函数y＝2x2－5的图象上有两个点A(2，a)，B(3，b)，则a________b(填“＜”“＝”或“＞”)．16．已知点M(－1，2)和点N都在抛物线y＝x2－2x＋c上，如果MN∥x轴，则线段MN的长度为________．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O与边AC相切于点A，若BC＝9，则弦AB的长为________．18．如图，已知eq\o(AB,\s\up8(︵))与eq\o(CD,\s\up8(︵))是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，A，C，O在同一直线上，公路宽AC＝20m，则弯道外边线比内边线多________m(结果保留π)．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，抛物线y＝ax2－2x＋c的顶点为D(1，－4)，与x轴交于A，B两点，其对称轴与x轴交于点E，请回答下列问题．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在y轴上，且OP＝AB，求线段PD的长．20．(8分)如图，⊙O的直径AB＝20，弦AC＝12，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长．21．(8分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC是⊙O的直径，∠ACB＝30°，AB＝2，点D为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点．(1)求⊙O的半径；(2)求∠DAC的度数．22．(9分)如图，正五边形ABCDE的边长为6，以点B为圆心，线段AB的长为半径画圆，连接AC.(1)求∠ACB的度数；(2)求eq\o(AC,\s\up8(︵))的长度．23．(8分)某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数表达式．(2)当这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不得高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？24．(8分)如图，AC是⊙O的直径，P为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，连接AP并延长至点B，使PB＝AP，连接CP，CB，OP.(1)求证：BC为⊙O的切线；(2)若AC＝4，求图中阴影部分的面积．25．(9分)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(0，－5)和点B(3，－2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，⊙P在运动过程中，是否存在与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上，当⊙Q与两坐标轴都相切时，求半径r.26．(10分)【给出问题】已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上(不与A，B重合)，试求∠APB的度数．【分析问题】善于思考的小明在分析上述题目后，有了以圆为工具来解决问题的思路．用圆来画出准确的示意图就能顺利解题了，在此基础上进一步探索就有了新发现．请善于思考的你帮助解答以下问题：(1)①尺规作图，画出⊙O，并在⊙O中作出内接正方形ABCD(保留作图痕迹，不写作法)；②原题中∠APB＝________________．【深入思考】(2)【问题】如图①，若四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧DC上一动点，连接PA，PB，PC，PD，请探究PD，PB，PC三者之间和PD，PA，PC三者之间分别有何数量关系，并给予证明．(3)【拓展】如图②，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，连接PA，PB，PC，请写出PA，PB，PC三者之间的数量关系(不写证明过程)．(4)【应用】如图③，若四边形ABCD是矩形，点P为边DC上一点，∠APB＝45°，PD＝2，PC＝4，试求矩形ABCD的面积．

答案一、1．B2．B3．C4．A5．A6．A7．B8．B9．A10．D点拨：由题意得抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(m－1＋3－m,2)＝1，∴b＝－2a.∵抛物线开口向上，∴a>0，∴b＝－2a<0，故①正确；若c＝－3a，则y＝ax2＋bx＋c＝ax2－2ax－3a＝a(x－3)(x＋1)，令a(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴抛物线与x轴交于(3，0)，(－1，0)两点，当m－1＝3，即m＝4时，3－m＝－1，符合题意；当m－1＝－1，即m＝0时，3－m＝3，符合题意．∴m＝4或0，故②错误；∵b＝－2a，∴at2－a－(b－bt)＝at2－a－b＋bt＝at2－a＋2a－2at＝a(t2－2t＋1)＝a(t－1)2，∵a>0，(t－1)2≥0，∴a(t－1)2≥0，∴at2－a－(b－bt)≥0，即at2－a≥b－bt，故③正确；∵抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝n(n>0)有两个交点，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝n(n>0)必有两个不相等的实数根，故④正确．故选D.二、11．7512．013．4或514．215．＜16．417．3eq\r(3)点拨：如图，连接OA.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.易知OA＝OB，∴∠OAB＝∠B.∴∠B＝∠C＝∠OAB，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，即∠OAC＝90°，∴∠B＋∠C＋∠OAB＝90°，∴∠C＝30°，∴OC＝2OA＝2OB.∵BC＝9，∴OB＋OC＝OB＋2OB＝9，∴OB＝OA＝3，∴OC＝6，∴AB＝AC＝eq\r(OC2－OA2)＝3eq\r(3).18．8π三、19．解：(1)∵抛物线y＝ax2－2x＋c的顶点为D(1，－4)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(－2,2a)＝1，,a－2＋c＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,c＝－3，))∴抛物线的表达式为y＝x2－2x－3.(2)令y＝0，则x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∴AB＝4.∵OP＝AB，∴OP＝4.∴点P的坐标为(0，4)或(0，－4)．当点P的坐标为(0，4)时，PD＝eq\r((1－0)2＋[(－4)－4]2)＝eq\r(65)；当点P的坐标为(0，－4)时，PD＝1.综上，线段PD的长为1或eq\r(65).20．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∴在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝16.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝45°.∵∠DBA＝∠ACD，∠DAB＝∠DCB，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，∴AD＝BD.在Rt△ABD中，sin∠DBA＝sin45°＝eq\f(AD,AB)，∴AD＝eq\f(\r(2),2)×AB＝10eq\r(2)，∴BD＝AD＝10eq\r(2).21．解：(1)∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴BC＝2AB＝4，∴⊙O的半径为2.(2)∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠D＝180°.∵∠B＝90°－30°＝60°，∴∠D＝120°.∵点D为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝eq\f(180°－∠D,2)＝30°.22．解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠E＝∠BAE.∵正五边形ABCDE的内角和为180°×(5－2)＝540°，∴∠B＝eq\f(540°,5)＝108°.∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB.∴∠ACB＝(180°－108°)÷2＝36°.(2)∵正五边形ABCDE的边长为6，∴⊙B的半径为6.又∵∠B＝108°，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))的长度为eq\f(108π×6,180)＝eq\f(18π,5).23．解：(1)由题意得w＝(x－30)·y＝(x－30)(－x＋60)＝－x2＋60x＋30x－1800＝－x2＋90x－1800，即w与x之间的函数表达式为w＝－x2＋90x－1800.(2)由(1)知w＝－x2＋90x－1800＝－(x－45)2＋225.∵－1＜0，∴当x＝45时，w取得最大值，最大值是225.答：当这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w＝200时，－x2＋90x－1800＝200，解得x1＝40，x2＝50(不符合题意，舍去)．答：销售单价应定为40元．24．(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠APC＝90°，∴∠BPC＝90°.∵P为eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∴eq\o(AP,\s\up8(︵))＝eq\o(CP,\s\up8(︵))，∴AP＝CP，∴∠PAC＝∠PCA＝45°.∵PB＝AP，∴PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC＝45°，∴∠ACB＝∠PCA＋∠PCB＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC是⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线．(2)解：∵∠PAC＝∠PBC＝45°，AC＝4，∴BC＝AC＝4，OA＝OP＝2.∵PC＝AP，OA＝OC，∴OP⊥AC.∴S阴影＝S△ABC－S△AOP－S扇形OPC＝eq\f(1,2)×4×4－eq\f(1,2)×2×2－eq\f(90π×22,360)＝6－π.25．解：(1)由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－5，,－9＋3b＋c＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－5，,b＝4.))∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－5.(2)存在．设P(x，y)，①由⊙P与x轴相切得y＝±1.当y＝1时，－x2＋4x－5＝1，方程无实数解；当y＝－1时，－x2＋4x－5＝－1，解得x1＝x2＝2.∴当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为(2，－1)．②由⊙P与y轴相切得x＝±1.当x＝1时，y＝－1＋4－5＝－2，即圆心P的坐标为(1，－2)；当x＝－1时，y＝－1－4－5＝－10，即圆心P的坐标为(－1，－10)．∴当⊙P与y轴相切时，圆心P的坐标为(1，－2)或(－1，－10)．综上，圆心P的坐标为(2，－1)或(1，－2)或(－1，－10)．(3)设圆心Q(m,－m2＋4m－5)，由⊙Q与两坐轴都相切，得－m2＋4m－5＝m①或－m2＋4m－5＝－m②.①无解，解②得m1＝eq\f(5＋\r(5),2)，m2＝eq\f(5－\r(5),2)，∴r＝|m|＝eq\f(5＋\r(5),2)或eq\f(5－\r(5),2)，∴当⊙Q与两坐标轴都相切时，半径r为eq\f(5＋\r(5),2)或eq\f(5－\r(5),2).26．解：(1)①如图①所示．②45°或135°(2)PB＝eq\r(2)PC＋PD，PA＝eq\r(2)PD＋PC.证明如下：如图②，过点C作CM⊥PC，交PB于M，过点D作DN