小学数学北师版五年级下册九连环校本教材

PAGE42PAGE小学数学北师版五年级下册第一课九连环(一)一、起源与发展九连环流传千年而不衰，征服了无数中外爱好者，是中华民族传统文化中的一颗璀璨明珠。与七巧板、华容道、鲁班锁并称为我国古代四大智力玩具。九连环在英语里的名称是TheChineseRings，或TheChineseRingsPuzzle。其最早可追溯到先秦时代，在《战国策·齐策》中有这样一则故事：秦王曾派使者送给齐国王后一个玉连环，并且问：“齐国有不少聪明人，能否解开这玉连环？”这当然是在故意刁难齐国君臣，以显示秦国的强大。王后遍示群臣，竟没有人能解开。最后齐国的王后只好“引椎椎破之”，当然，这种以毁坏性的方式只能算是无奈之举，本质上不能算作解开。因关系到两国外交上的体面，齐国王后虽然不知道解法，也不肯在秦使面前认输，所以才想出了这么一招。在明清时期，上至士大夫，下至贩夫走卒，大家都很喜欢它。很多著名文学作品都提到过九连环，《红楼梦》中就有林黛玉巧解九连环的记载。图1在国外，数学家卡尔达诺在公元1550年已经提到了九连环。后来，数学家华利斯对九连环做了精辟的分析。格罗斯也深入研究了九连环，用二进制数给了它一个十分完美的答案。19世纪的格罗斯经过运算，证明解开九连环共需要三百四十一步，到目前为止还没有其它更为便捷的答案。解九连环不但难度大，而且操作相当复杂，即使是熟手，也需6-8分钟(目前最快纪录可在3分钟左右)。十连环的话，需要682步，20到40分钟才能解开。假如做成三十三连环，即使你夜以继日，不吃不喝，一步不错，一世也解不开它，因为要走57亿步，约需180年才能解开。二、结构与特点九连环主要是由一个框架和九个圆环组成：每个圆环上连有一个直杆，而这个直杆则在后面一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用一块木板或圆环相对固定，以解开为胜。图2古代贵族阶层玩的豪华九连环图3九连环三、功能与特点九连环可以从小就培养青少年对数学的兴趣，寓教其中，让学生理解数学多么奥妙，多么有趣。（一）解九连环还有三大功能：1.培养学生打破思维定势，从多角度多渠道去看事物，容易找出新的解决办法。2.培养学生注意力、耐心、和信心。3.培养学生的好奇、好问、好动、好玩的好习惯。(二)连环类玩具有三大特点：1.挑战性。任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的难度极高，甚至令人觉得根本不可能解开。因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。2.规律性。智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。3.趣味性。伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，儿童更是如此。挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。（三）九连环的妙用1.当作门锁法国人早就把九连环用来代替锁，以防盗贼;英国人则最早于18世纪，用于农舍防盗。2.应用于魔术表演魔术表演中，经常能看到环环相扣、美轮美奂的表演。图4魔术表演3.留客古时候商人们都称“九连环”为“留客计”。因为九连环游戏过程的长时间性，所以被古人经常用作留住客人的手段。第二课九连环(二)九连环的具体组成与结构九连环由两部分组成，一部分称作“钗”（杆、柄都可），

另一部分主要是由九个环构成的，如下图。这九个环，按照从左到右依次称为第一个到第九个环，或1号环到9号环。最靠近钗把的那个环叫9号环。每个环上都又套着一个带环杆的小环，1号环的环杆穿过2号环，2号环的环杆穿过3号环，……环杆的另一端通过底板，实际上被连接在一起，从而使9个圆环形成叠错扣连的关系。九连环的奥妙就是由它的这种结构引起的。钗1环2环3环4环5环6环7环8环9环环底板图5环与环杆环杆与底板图6图7二、九连环的基本结构认识按照和钗的关系，每个环都有两个状态：在钗上或在钗下，简称在上和在下。图8中的九个环都在钗上，而图9中的九个环都在钗下。我们用九个数字表示九个环的状态，0表示在钗下，1表示在钗上。如001100010表示从左到右第3，4，8三个环状钗上，其余的环在钗下。图8九个环都在钗上，表示为111111111图9九个环都在钗下，表示为000000000

所谓玩九连环，或者说解九连环，就是把原来不在钗上的环套在钗上，我们称为某环“上去”或者“上”某环；或者相反，使原来在钗上的环不再在钗上，我们称为某环“下来”，或者“下”某环。一般玩九连环，就是当九个环都不在钗上时，把九个环都上上去；或者当九个环都在钗上时，把它们都下下来，也就是从在状态000000000到状态111111111，或者相反。当然，也可以有其他过程，即从某一个状态到另一个状态。

玩九连环，习惯左手拿环的部分，右手拿钗，如图10。

图10玩九连环，右手在反复往返动作，而左手手指在不停的做着把环套上或卸下的动作，正是活动左手的运动。大家都知道，活动左手可以开发右脑，这也是的九连环的一个作用。三、九连环的四个规则

试着玩几下，就可以发现九连环有三个基本动作，其中只改变一个环的状态的（每次只能把一个环上或者下）有以下两个动作：基本动作①．任何时候可以改变1号环的状态，即：当1号环在上的时候，可以下1号环；当1号环在下的时候，可以上1号环。注意这两个动作只能进行其一。

下面几图表示了这个动作。

开始状况0000000001号环上升把1号环从钗中间向上穿过钗稍后移，1号环向下倾斜使钗从1号环中穿过至此，1号环上去了，状态变为100000000。如果是反过来进行，就是下1号环。我们把上或下1号环都称作动作P。基本动作②．可以改变”第一个在上的环”的下一个环（指右边的一个环，如果右边没有环，当然不能做此动作）的状态。注意这里“第一个在上的环”并不是“1号环”。例如，当仅有1号环在上时即状态100000000，这1号环就是第一个在上的环，可以改变它右面即2号环的状态：原来在上可以下，原来在下可以上。又如当仅有5号环和8号环在上时即状态000010010，第一个在上的环就是5号环，此时可以改变6号环的状态：原来在上可以下，原来在下可以上。操作方法如下图。

状态000010010，即仅有5号和8号环在上6号环升高，从拆中穿过6号环降低,钗前移穿过5，6号环

至此，6号环上去了，状态变为000011010。当然，如果是反过来进行，就是下这第二个在上的环。我们把上或下第二个在上的环都称作动作Q。

注意，所有环都在下的状态000000000，或者仅有最后一个环（第九个环）在上的状态000000001，是不能做动作Q的，因为前者没有第一个在上的环，后者第一个在上的环右面没有环了。其他状态都可以做这个动作。

同时改变两个环的状态，仅有一个动作：

3.简化动作

1号2号环状态相同时可以同时改变状态，即当1号2号环都在上时可以一次操作同时下来；当1号2号环都在下时可以一次操作同时上去。操作与仅1号环上或下相似，见下面图示。

状态000000000第1，2号环上升由钗中穿过钗后移第1,2号环向下倾斜，钗从中穿过，成为状态110000000同时上或下1号2号环称作动作R。当然，如果1，2号环有一个在上而另一个在下，不能进行动作R。

这样，任何状态都可以进行动作P；除了状态000000000和000000001外，都可进行动作Q；状态00*******或11*******可以进行动作R。九连环只有这三个基本动作可以一次进行，其他动作都是相继进行这三个动作。

有一个重要的限制。每种动作如果连续进行两次，例如PP，那就是刚上了1号环，又下1号环；或者刚下了1号环，又上1号环。又如QQ，那就是刚上了第二个在上的环，紧跟着又下这个环；或者是刚下了第二个在上的环，紧跟着又上这个环。再如RR，是刚下了第1，2号环，又上这两个环；或者刚上了第1，2号环，又下这两个环。这都是刚刚向目标前进了一步，又原路后退一步，白费了功夫，而九连环的状态没有改变。反之，只要不连续做同一个动作，就不会原路退回。因此，在实际玩九连环时，应该规定：

4.不重复规则

动作P、Q、R都不可连续重复做两次。

以上四点，就是九连环的玩法的全部依据，可以称为四个规则。第三课九连环(三)九连环的解法掌握了九连环的基本原则以后，我们可以学习九连环的解法了。为此，我们先看一个各环上、下的可能性。对于1号环，由于没有别的环的环杆约束它，所以可以自由上下，这是没有疑问的。对于2号环，由于1号环的环杆从其中穿过，受到约束，所以它可以同1号环“随动”，即随同1号环一起上下。如果2号环要单独下，则1号环必须留在钗上，否则的话，由于1号环的杆是穿过2号环的，而1号环已经从钗上脱下，它的环杆已在钗外，这将阻止2号环在左移过柄钗后返回，重新从两根横杆中间落下，也就是说无法下环。因此2号环单独下的必要条件是1号环留在柄钗上。至于上2号环时，1号环在钗上还是钗下均可，1号环在钗下时由于1号环的环杆是穿过2号环的，在2号环上时，将连带着把1号环也带到内侧横杠上方“浮”着，只要把它推过钗端即可。对于3号环的下，我们看到，若1，2号环同时在钗上，则1号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗，而若1，2号环均在钗下，则2号环的环杆将阻止3号环左移过柄钗从两个横杠中落下，都是无法实现的，因此，只有当1号环在钗下，而2号环在钗上是，3号环才能下。反之亦然。往下，

对4号环、5号环……的上下，就都同3号环类似了，也就是，只有当它前面紧邻的一个环在钗上，再前面的所有环都在柄下时，这个环才有可能上下。用数学方法表达的话，其规则是：如果只有n号环在钗上，则n+1号环就可以从钗上取下或装上。因此，如果想要取下9号环，则8号环必须在钗上，而1-7号环又都必须在钗下；如果取下7号环，则6号环必须在钗上，而小于6号的环都应先取下；如果取下5号环，则4号环必须在钗上而先要将1-3号环取下……这样，在玩九连环时要把9个环都从钗上取下，第一步应取下1号环，而不可将1、2号环同时取下。总结：九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由上下。要想下/上第n个环，就必须满足两个条件（第一个环除外）：第n-1个环在架上；n-1个环前面的环全部不在架上。一句话概括：后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻的那个环。解法的本质：解n连环，就是先解一个n-2连环，再解最后一个环，再上n-2连环，再解n-1连环；每一个环的上法：从杆的中间上穿并从手柄的顶端套入；每一个环的下法：从杆的顶端解套并从手柄的中间下放。下面，给出取下九连环的全过程。其中12上、12下指的是1号环和2号环同时上下，这算一步。基本练习（一）第1环：自由上下（1上1下）1～2环：同上同下（12上12下）基本练习（二）1～3环下法：1下3下1上12下基本练习（三）1～3环上法：12上1下3上12上问题与思考：12环在上，3能否拿下？12环在下，3能否上去？3在什么情况下可以自由上下？回答：3的前面有且只有2时，才能自由上下。结论：后一个环要上或下，则前面要有且只有与它相邻的那个环。基本练习（四）1～4环下法：12下4下12上1下3下1上12下基本练习（五）1～4环上法：12上1下3上1上12下4上12上归纳与总结：1～4环下环全部过程：12环下，4环下。12环上，1～3环下。1～4环上环全部过程：1～3环上，12环下。4环上，12环上。结论：4的前面有且只有3时，才能自由上下。基本练习（六）1～5环下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下基本练习（七）1～5环上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上归纳与总结：1～5环下环全部过程：1～3环下，5环下。1～3环上，1～4环下。1～5环上环全部过程：1～4环上，1～3环下，5环上。1～3环上。结论：5的前面有且只有4时，才能自由上下五、比一比赛一赛看谁先完成1～5环的下环过程看谁先完成1～5环的上环过程六、挑战看谁最快能达到以下状态：1、3、5在下，2、4在上。1、3、5在上，2、4在下。1、2、4在上，3、5在下。1、2、4在下，3、5在上。第四课九连环(四)一、复习与巩固复习与巩固（一）1～5环下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下复习与巩固（二）1～5环上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上复习与巩固（三）1～5环下环全部过程：1～3环下，5环下。1～3环上，1～4环下。1～5环上环全部过程：1～4环上，1～3环下，5环上。1～3环上。结论：5的前面有且只有4时，才能自由上下。二、基本练习基本练习（一）下1-7环过程：1～5环下，7环下。1～5环上，1～6环下基本练习（二）上1-7环过程：1～6环上，1～5环下，7环上。1～5环上。归纳与总结1～7环下环全部过程：1～5环下，7环下。1～5环上，1～6环下。1～7环上环全部过程：1～6环上，1～5环下，7环上。1～5环上。结论：7的前面有且只有6时，才能自由上下。三、比一比赛一赛看谁先完成1～7环的下环过程看谁先完成1～7环的上环过程四、问题与思考思考：当环的总数是奇数时，要全部上下应如何操作？结论：奇数个环时，应依次取下最前面的奇数环。例：要下7连环应先下1、3、5环。思考：当环的总数是偶数时，要全部上下应如何操作？结论：偶数个环时，应依次取下最前面的偶数环。例：要下6连环应先下2、4环。五、比一比赛一赛看谁先完成1～6环的下环过程看谁先完成1～6环的上环过程六、挑战看谁最快能达到以下状态：（一）1、3、5、7在下，2、4、6在上。（二）3、5、7在上，2、4、6在下。（三）1、4、7在下，2、3、5、6在上。（四）1、4、7在上，2、3、5、6在下。第五课九连环(五)一、复习与巩固复习与巩固（一）1～5环下法：1下3下1上2下1下5下12上1下3上1上12下4下12上1下3下1上12下复习与巩固（二）1～5环上法：12上1下3上1上12下4上12上1下3下1上12下5上12上1下3上12上复习与巩固（三）——归纳与总结：1～5环下环全部过程：1～3环下，5环下。1～3环上，1～4环下。1～5环上环全部过程：1～4环上，1～3环下，5环上。1～3环上。结论：5的前面有且只有4时，才能自由上下。复习与巩固（四）下1-7环过程：1～5环下，7环下。1～5环上，1～6环下。复习与巩固（五）上1-7环过程：1～6环上，1～5环下，7环上。1～5环上。复习与巩固（六）——归纳与总结：1～7环下环全部过程：1～5环下，7环下。1～5环上，1～6环下。1～7环上环全部过程：1～6环上，1～5环下，7环上。1～5环上。结论：7的前面有且只有6时，才能自由上下。二、基本练习基本练习（一）下1-9环过程：1～7环下，9环下。1～7环上，1～8环下。基本练习（二）上1-9环过程：1～8环上，1～7环下，9环上。1～7环上。归纳与总结1～9环下环全部过程：1～7环下，9环下。1～7环上，1～8环下1～9环上环全部过程：1～8环上，1～7环下，9环上。1～7环上。结论：9的前面有且只有8时，才能自由上下。三、比一比赛一赛看谁先完成1～9环的下环过程看谁先完成1～9环的上环过程问题与思考：当环的总数是奇数时，要全部上下应如何操作？结论：奇数个环时，应依次取下最前面的奇数环。例：要下7连环应先下1、3、5、7环。问题与思考：当环的总数是偶数时，要全部上下应如何操作？结论：偶数个环时，应依次取下最前面的偶数环。例：要下6连环应先下2、4、6环。四、比一比赛一赛看谁先完成1～9环的下环过程看谁先完成1～9环的上环过程问题与思考：要全解开或全套上，下一步分别是什么？要全解开或全套上，下一步分别是什么？五、挑战看谁最快能达到以下状态：（一）2、4、6、8在下，1、3、5、7、9在上。（二）2、4、6、8在上，1、3、5、7、9在下。（三）1、2、3、4、5在上，6、7、8、9在下。（四）2、4、5、7、8在下，1、3、6、9在下。（五）2、4、7在下，1、3、5、6、8、9在上。第六课九连环(六)给出取下九连环的全过程。其中12上、12下指的是1号环和2号环同时上下，这算一步。下1，(1号环下）下3，上1下12（2，3号环下）下5，上12下1上3上1下12下4上12下1下3上1下12（4，5环下）下7，上12下1上3上1下12上4上12下1下3上1下12上5上12下1上3上1下12下4上12下1下3上1下12下6上12下1上3上1下12上4上12下1下3上1下12下5上12下1上3上1下12下4上12下1下3上1下12（6，7号环下）下9，上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上6上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12下5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上7、上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12下6、上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12下5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12（至此钗上剩7，8号环）下8上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12上6上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12下5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12(至此钗上剩6，7号环）下7，上12下1上3、上1下12上4、上12下1下3、上1下12上5、上12下1上3、上1下12下4、上12下1下3、上1下12(至此钗上剩5，6号环）下6上12下1上3上1下12上4上12下1下3、上1下12(至此钗上剩4，5号环）下5上12下1上3上1下12(至此钗上剩3，4号环）下4，上12下1(至此钗上剩2，3号环）下3，上1(至此钗上剩1，2号环）下21。(结束，9个环全部解下）把9个环都装上去的过程上12下1上3，上1下12上4，上12下1下3、上1下12上5，

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上12下1上3，上1。分组练习下九连环与上九连环，练习速度。第七课九连环(七)九连环中的数学解一连环需要1步，解二连环需要2步，由此可知，解三连环需要5步，解四连环需要10步，解五连环需要21步，解六连环需要42步，解七连环需要85步，解八连环需要170步，解九连环需要341步，解十连环需要682步……以此类推。九连环中的数学——九连环与N次方进一步的研究可以发现，传