2024-2025学年高中数学 第3章 三角恒等变形 3 第1课时 倍角公式（教师用书）教学实录 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第3章三角恒等变形3第1课时倍角公式（教师用书）教学实录北师大版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计意图本节课以倍角公式为主线，通过复习三角函数的定义和性质，引导学生探究倍角公式，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。通过实例分析，使学生理解倍角公式的应用，提高学生的解题技巧。核心素养目标分析培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养。通过探究倍角公式，提升学生运用数学语言表达和解决问题的能力，增强学生对数学知识的理解和应用。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生在本节课之前已经学习了三角函数的基本概念、三角函数的性质以及特殊角的三角函数值。他们对三角函数的周期性、奇偶性等基本性质有一定的了解，并能够进行基本的三角函数运算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

学生对数学学科普遍持有较高的兴趣，尤其是在解决实际问题中展现出的数学思维。学生的能力方面，部分学生能够较好地理解和运用三角函数的相关知识，而部分学生可能对抽象的数学概念和公式理解困难。学习风格上，学生中有偏好直观学习的学生，也有偏好逻辑推理的学生。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

学生在学习倍角公式时可能遇到的困难包括：对公式推导过程的理解困难，难以将公式应用于解决实际问题，以及缺乏对公式的记忆和应用技巧。此外，学生在学习过程中可能对公式的推导过程感到抽象，难以将理论知识与实际情境相结合。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：结合实例讲解倍角公式的推导过程，帮助学生理解公式背后的逻辑。

2.讨论法：引导学生分组讨论倍角公式的应用，激发学生的主动思考和团队合作。

3.练习法：通过针对性的习题练习，巩固学生对倍角公式的掌握。

教学手段：

1.多媒体课件：展示公式推导过程和典型例题，提高课堂的直观性和趣味性。

2.实际应用案例：利用多媒体展示实际应用场景，增强学生对公式的理解和应用能力。

3.互动软件：利用数学教学软件进行互动练习，提高学生的参与度和学习效果。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过提问“在日常生活中，我们如何利用三角函数解决实际问题？”来激发学生的兴趣，引导学生思考数学与生活的联系。

-回顾旧知：简要回顾三角函数的定义、性质以及特殊角的三角函数值，帮助学生复习相关知识点，为学习倍角公式做好铺垫。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：详细讲解倍角公式的推导过程，包括正弦、余弦和正切的倍角公式。通过板书和多媒体课件展示公式的推导步骤，确保学生能够理解公式的来源。

-举例说明：通过具体例子，如计算sin(2θ)和cos(2θ)的值，帮助学生理解倍角公式的应用。

-互动探究：组织学生进行小组讨论，探讨如何将倍角公式应用于解决实际问题，如求解三角形的边长或角度。

3.巩固练习（约30分钟）

-学生活动：布置一系列练习题，包括填空题、选择题和解答题，让学生独立完成，以加深对倍角公式的理解和应用。

-教师指导：在学生练习过程中，教师巡视课堂，观察学生的解题过程，及时给予个别学生指导和帮助。

4.拓展延伸（约10分钟）

-提出问题：引导学生思考如何将倍角公式与其他三角恒等式结合使用，解决更复杂的数学问题。

-分组讨论：将学生分成小组，让他们讨论如何将倍角公式应用于实际问题，如工程计算或物理问题。

5.总结反思（约5分钟）

-学生总结：让学生分享他们在学习倍角公式过程中的收获和体会，以及在学习过程中遇到的困难和解决方案。

-教师总结：对本次课程进行总结，强调倍角公式的重要性，并鼓励学生在今后的学习中继续探索和应用三角函数知识。

6.课后作业（约15分钟）

-布置作业：布置一些难度适中的课后作业，包括计算题和应用题，让学生巩固所学知识，并提高解题能力。

-提供资源：向学生推荐一些相关的学习资源，如在线教程、习题集等，以便学生自主学习和复习。教学资源拓展1.拓展资源：

-三角函数的图像与性质：介绍三角函数图像的绘制方法，包括正弦、余弦和正切函数的图像特点，以及它们在不同象限的图像变化。

-三角恒等式的应用：探讨三角恒等式在解决实际问题中的应用，如计算三角形的边长、角度和面积。

-三角函数的极限与连续性：介绍三角函数的极限概念，以及三角函数在连续性方面的性质。

-复合函数的三角变换：探讨复合函数的三角变换方法，如将复合函数分解为基本三角函数的乘积或商。

-三角函数在物理中的应用：介绍三角函数在物理领域中的应用，如振动、波动和电磁场等。

2.拓展建议：

-学生可以通过阅读《数学分析中的三角函数》一书，深入了解三角函数的理论基础和分析方法。

-鼓励学生参与数学竞赛或研究项目，如美国数学竞赛（AMC）或国际数学奥林匹克（IMO），以提升自己的数学能力。

-建议学生利用在线学习平台，如Coursera或edX，选修相关的三角函数课程，以拓宽知识面。

-推荐学生阅读《三角函数在工程中的应用》一书，了解三角函数在工程领域的实际应用。

-建议学生参加数学俱乐部或学习小组，与同学一起讨论和解决数学问题，提高解题技巧。

-鼓励学生进行自主探索，尝试推导三角恒等式，并思考其在不同领域中的应用。

-建议学生观看数学教育视频，如YouTube上的数学频道，以获取更多学习资源和灵感。

-推荐学生参加数学讲座或研讨会，与专家和同行交流，了解数学领域的最新研究动态。

-建议学生利用数学软件，如MATLAB或Mathematica，进行三角函数的数值计算和图像绘制，加深对公式和性质的理解。课堂1.课堂评价

-提问反馈：在讲解倍角公式时，通过提问学生来检查他们对公式理解和应用的能力。例如，可以提问学生如何推导sin(2θ)的公式，或者如何使用倍角公式解决一个具体的问题。通过学生的回答，教师可以即时了解学生对知识的掌握程度。

-观察学习态度：通过观察学生在课堂上的参与度和学习态度，评估他们对倍角公式学习的兴趣和积极性。例如，注意学生是否积极举手回答问题，是否能够主动参与讨论，以及是否认真记录笔记。

-小组讨论评估：在小组讨论环节，观察学生之间的互动和合作情况，评估他们是否能够有效地交流思想和解决数学问题。

-实时测试：在课堂结束时，进行简短的小测验，以评估学生对倍角公式的即时记忆和理解。测试可以包括填空题、选择题或简答题，旨在检查学生对公式及其应用的掌握情况。

-反馈与调整：根据课堂评价的结果，教师可以及时调整教学策略，如提供额外的解释、修改练习题或调整教学节奏，以确保所有学生都能跟上教学进度。

2.作业评价

-详细批改：对学生的作业进行逐题批改，确保每个问题都被仔细检查。在批改过程中，注意学生的解题步骤是否正确，逻辑是否清晰，以及是否有创新性的思考。

-及时反馈：在作业批改后，及时将反馈信息传达给学生。对于错误，不仅要指出，还要解释错误的原因，并提供正确的解题方法。

-鼓励进步：在评价中强调学生的进步和努力，而不是仅仅关注错误。对于表现出色的学生，给予肯定和鼓励，以增强他们的学习动力。

-个性化指导：对于表现不佳的学生，提供个性化的指导和建议，帮助他们理解和掌握倍角公式。

-定期回顾：在新的教学单元开始之前，回顾学生的作业，检查他们对之前内容的理解和应用能力，确保知识的连续性和深度。板书设计①倍角公式推导

-公式：sin(2θ)=2sinθcosθ

-公式：cos(2θ)=cos²θ-sin²θ

-公式：tan(2θ)=2tanθ/(1-tan²θ)

②公式性质

-周期性：sin(2θ)和cos(2θ)的周期为π

-奇偶性：sin(2θ)为奇函数，cos(2θ)为偶函数

-和差化积：sin(2θ)=sinθcosθ+cosθsinθ

-积化和差：cos(2θ)=cos²θ-sin²θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)

③应用举例

-解三角形：利用倍角公式求解三角形的未知边长或角度

-解方程：通过倍角公式化简方程，求解三角函数的值

-应用题：将倍角公式应用于实际问题，如振动、波动等物理现象的分析重点题型整理1.**倍角公式应用题**

-题型：已知θ是锐角，求sin(2θ)的值。

-解题步骤：

1.确定θ的正弦值，例如sinθ=3/5。

2.根据sin(2θ)=2sinθcosθ，计算cosθ的值。由于θ是锐角，cosθ为正，可以使用勾股定理计算cosθ=√(1-sin²θ)。

3.将sinθ和cosθ的值代入倍角公式，得到sin(2θ)=2*(3/5)*√(1-(3/5)²)。

4.计算最终结果。

-答案：sin(2θ)=4√6/25。

2.**三角恒等式转换题**

-题型：将cos(2θ)=1-2sin²θ转换为sin(θ)的表达式。

-解题步骤：

1.从cos(2θ)=1-2sin²θ开始。

2.由于sin²θ+cos²θ=1，将cos²θ替换为1-sin²θ。

3.得到cos(2θ)=1-2(1-cos²θ)。

4.简化得到cos(2θ)=2cos²θ-1。

5.将cos(2θ)替换为sin(θ)的表达式，即sin(θ)=√((1+cos(2θ))/2)。

-答案：sin(θ)=√((1+cos(2θ))/2)。

3.**复合三角函数化简题**

-题型：化简表达式sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ)。

-解题步骤：

1.识别出sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ)是sin(2θ)的倍角公式形式。

2.使用sin(2θ)=2sinθcosθ。

3.将原表达式替换为2sinθcosθ。

-答案：sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ)=sin(2θ)。

4.**三角函数方程求解题**

-题型：解方程sin(2θ)=1/2。

-解题步骤：

1.确定sin(2θ)=1/2的解。

2.由于2θ的取值范围是[0,2π)，解得2θ=π/6或