2024-2025学年江西省金太阳联考高一3月数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省金太阳高一3月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知α是钝角三角形中最大的角，则α2是(

)A.第一象限角 B.第三象限角 C.第四象限角 D.小于60∘2.已知集合A={x∈N|x3<30}，B={x|x(x−1)>0}，则A∩B=A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{2,3} D.{2}3.已知某扇形的弧长为5，圆心角为2rad，则该扇形的面积为(

)A.52 B.252 C.544.“α−β=π2”是“cosα+sinA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)=tan(2x−π4A. B.

C. D.6.已知a=cos(sin1)，b=A.b>0>a B.b>a>0 C.a>0>b D.a>b>07.如图，用A，B，C，D四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件A正常工作，且B，C，D三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作.已知元件A正常工作的概率为12，元件B，C，D正常工作的概率均为13，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为(

)

A.2354 B.1954 C.23278.函数f(x)=3sin(πx−π3A.13 B.1 C.2 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数中，以π为最小正周期，且在区间(0,π2)上单调递增的是A.y=|sinx| B.y=−|cosx| C.10.已知函数f(x)=2sin(2x+π4A.f(x)的图象关于直线x=π8对称

B.为了得到函数g(x)=2cos(2x+π3)+2的图象，可将f(x)的图象向右平移7π24个单位长度

C.f(x)在11.若对任意x∈I，存在M∈(0,+∞)，使得|f(x)|≤M|x|，则称f(x)是I上的“边界函数”.下列结论正确的是(

)A.f(x)=xsinxx2+1是R上的“边界函数”

B.f(x)=sinx是(π4,π2)上的“边界函数”

C.f(x)=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在0∘∼360∘范围内，终边与−3213.已知角α的终边经过点(2,3)，则tan(π2+α)+14.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(2,2)对称，且当x>y>2时，不等式x+ f(4−y)>y+f(4−x)恒成立，其中f(4)=0，则不等式f(x)>4−x的解集为

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πx−2πA0200(1)将表中数据补充完整，并直接写出f(x)的解析式;(2)若f(α)=13，f(β)=2516.(本小题12分)

某校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分(满分：100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共六组.根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图．

(1)从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率;(2)若在[80,90)内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在[90,100]内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在[80,100]内的样本得分的平均数和方差．17.(本小题12分)

已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，直线x=1(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)的单调递减区间;(3)若方程f(x)=1在(0,α)内恰有两个不相等的实数根，求α的取值范围．18.(本小题12分)已知函数f(x)=ln1+ax(1)求a的值．(2)求不等式f(sin(3)已知函数g(x)=x[f(x)−1].设g(x)=m，g(x)+1xg(x)=n，证明：19.(本小题12分)

如图，正五角星ABCDE的外接圆O与地面相切于M，五角星形水车ABCDE绕轴心O按逆时针(箭头方向)匀速旋转，点A离地面的垂直高度f(t)(单位：米)与旋转时间t(单位：秒)满足关系式f(t)=10sin(ωt+π10)+10(ω>0,t≥0).已知当t=0时，AC与地面平行(此时A在C的右侧)(1)求圆O的半径和f(t)的解析式．(2)若存在正实数ti(i=1,2,3,⋯,2025)满足t1<t(3)若在水车ABCDE的每个顶点处加装一个浇水桶，当某浇水桶距离地面的垂直高度为10(1+sinπ5)米时，水车停止旋转60秒便于该浇水桶进行浇水作业，其余时间段均按原始方式匀速旋转，求从0秒到参考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.C

6.D

7.B

8.B

9.ABD

10.AD

11.ABD

12.327∘13.2314.(0,2)∪(4,+∞)

15.解：(1)表中数据补充如下：ωx+φ0ππ3π2πx−π2π7π5πA020−20f(x)=2sin(x+π3).

(2)由(1)可知f(α)=2sin(α+π3)=13，则sin(α+π16.解：(1)由图可知，10×(0.005+0.020+0.025+0.030+2a)=1，解得a=0.010，

则在[40,50)内的样本容量为40×10×0.005=2，将这2个样本分别记为A1，A2，在[50,60)内的样本容量为40×10×0.010=4，将这4个样本分别记为B1，B2，B3，B4．

从中随机地选取2个，可知样本空间Ω={A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,17.解：(1)由题可知，f(x)的最小正周期T=4×(43−13)=4，则ω=2πT=π2，

则13×π2+φ=2k1π，k1∈Z，即φ=−π6+2k1π，k1∈Z.

因为|φ|<π2，所以φ=−π6．

又f(0)=3，所以Acos(−π6)=32A=3，得A=2．

故f(x)=2cos(πx2−π18.(1)解：由题可得f(12)=ln(a+2)+1，f(2)=ln(a+12)+1，

则f(12)−f(2)=ln(a+2)−ln(a+12)=lna+2a+12=ln2，

所以a+2a+12=2，解得a=1．

(2)解：由(1)可知，f(x)=ln1+xx+1，x∈(−∞,−1)∪(0,+∞).

易知函数y=1+xx=1x+1在(0,+∞)上单调递减，

故根据复合函数的单调性可知，f(x)=ln1+xx+1在(0,+∞)上单调递减．

因为sinx∈[−1,1]，所以由19.(1)解：如图1，设A在O的水平方向的射影为H，连接OA，OM．

由五角星的性质易知∠AOH=18∘=π10．

设圆O的半径为r米，则AH=OAsin∠AOH=rsinπ10，且OM=r，

则f(0)=AH+OM=rsinπ10+r=10(1+sinπ10)，解得r=10．

因为点A首次到达至高点需用时12秒，且∠AOB=72∘=2π5，

所以OA每旋转一周需要60秒，则ω=2π60=π30，

从而f(t)的解析式为f(t)=10sin(π30t+π10)+10(t≥0)．

(2)证明：因为π30×12+π10=π2，所以f(t)在(0,12)上单调递增．

由三角函数的图象可知，在一个最小正周期内，最多有两个不同的实数a，b，使得f(a)=f(b)成立

由f(t)的最小正周期为60，可得当t1≠12+30k，k∈Z时，t2025=20242×60+t1=60720+t1>60720;

当t1=12+30k，k∈Z时，t2025=2024×60+t1>60720．

故t2025>60720．

(3)解：由题可知，当水车完成一周旋转时，每个浇水桶都要进行两次浇水，