教案：平面向量数量积的坐标表示模夹角

教案：平面向量数量积的坐标表示模夹角一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量数量积的坐标表示，掌握向量数量积的坐标运算公式。能够运用公式计算向量的模、夹角，并解决相关的实际问题。通过向量数量积坐标表示的推导，培养学生的逻辑推理能力和知识迁移能力。2.过程与方法目标经历向量数量积坐标表示的探究过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。通过例题和练习，让学生感受向量数量积坐标运算在解决问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标培养学生积极参与、勇于探索的精神，激发学生学习数学的兴趣。通过向量数量积坐标表示的应用，让学生体会数学的实用性，增强学生的数学应用意识。

二、教学重难点1.教学重点平面向量数量积的坐标表示及运算公式。向量模和夹角的坐标计算公式。2.教学难点理解向量数量积坐标表示的推导过程及公式的应用。运用向量数量积坐标运算解决夹角、垂直等综合问题。

三、教学方法1.讲授法：讲解向量数量积坐标表示的概念、公式及推导过程，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论向量数量积坐标运算在实际问题中的应用，培养学生的思维能力和合作交流能力。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用公式解题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.回顾向量数量积的定义及运算性质已知向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)（其中\(\theta\)为\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角）。运算性质：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)；\((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})\)；\((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)。2.提问：在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示，那么向量的数量积能否用坐标来表示呢？从而引出课题。

（二）讲解新课（25分钟）1.向量数量积的坐标表示已知\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。推导过程：设\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)分别是\(x\)轴、\(y\)轴方向上的单位向量，则\(\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}\)，\(\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}\)。所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=(x_1\vec{i}+y_1\vec{j})\cdot(x_2\vec{i}+y_2\vec{j})=x_1x_2\vec{i}^2+x_1y_2\vec{i}\cdot\vec{j}+x_2y_1\vec{j}\cdot\vec{i}+y_1y_2\vec{j}^2\)。因为\(\vec{i}^2=1\)，\(\vec{j}^2=1\)，\(\vec{i}\cdot\vec{j}=0\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。2.向量模的坐标计算公式若\(\vec{a}=(x,y)\)，则\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。推导：\(\vert\vec{a}\vert^2=\vec{a}\cdot\vec{a}=(x,y)\cdot(x,y)=x^2+y^2\)，所以\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。3.向量夹角的坐标计算公式已知\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\)。强调：这里的\(\theta\)是\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角，范围是\([0,\pi]\)。

（三）例题讲解（20分钟）1.例1：已知\(\vec{a}=(3,1)\)，\(\vec{b}=(1,2)\)，求：（1）\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)；（2）\(\vert\vec{a}\vert\)，\(\vert\vec{b}\vert\)；（3）\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\theta\)。解：（1）\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times1+(1)\times(2)=3+2=5\)。（2）\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^2+(1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)，\(\vert\vec{b}\vert=\sqrt{1^2+(2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)。（3）\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=\frac{5}{\sqrt{10}\times\sqrt{5}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。因为\(\theta\in[0,\pi]\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{4}\)。总结：通过本题，让学生熟悉向量数量积坐标表示、模和夹角的计算公式，明确计算步骤。2.例2：已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，当\(k\)为何值时，\(k\vec{a}+\vec{b}\)与\(\vec{a}3\vec{b}\)垂直？解：首先计算\(k\vec{a}+\vec{b}\)与\(\vec{a}3\vec{b}\)的坐标。\(k\vec{a}+\vec{b}=k(1,2)+(2,3)=(k+2,2k+3)\)，\(\vec{a}3\vec{b}=(1,2)3(2,3)=(16,29)=(5,7)\)。因为\(k\vec{a}+\vec{b}\)与\(\vec{a}3\vec{b}\)垂直，所以\((k\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}3\vec{b})=0\)。即\((k+2)\times(5)+(2k+3)\times(7)=0\)。展开得\(5k1014k21=0\)。合并同类项得\(19k31=0\)。解得\(k=\frac{31}{19}\)。总结：本题考查向量垂直的坐标表示，通过设未知数，利用向量垂直的条件列出方程求解，培养学生运用向量数量积坐标运算解决垂直问题的能力。3.例3：已知\(A(1,2)\)，\(B(2,3)\)，\(C(2,5)\)，试判断\(\triangleABC\)的形状。解：计算\(\overrightarrow{AB}=(21,32)=(1,1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(21,52)=(3,3)\)。计算\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times(3)+1\times3=0\)。因为\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)，所以\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)，即\(\angleBAC=90^{\circ}\)。所以\(\triangleABC\)是直角三角形。总结：通过计算向量的数量积判断三角形的形状，让学生体会向量数量积在几何中的应用。

（四）课堂练习（15分钟）1.已知\(\vec{a}=(2,4)\)，\(\vec{b}=(5,2)\)，求：（1）\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)；（2）\(\vert\vec{a}\vert\)，\(\vert\vec{b}\vert\)；（3）\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\theta\)的余弦值。2.已知\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(2,x)\)，若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)，求\(x\)的值。3.已知\(A(3,1)\)，\(B(6,1)\)，\(C(4,3)\)，\(D\)为线段\(BC\)的中点，求向量\(\overrightarrow{AC}\)与\(\overrightarrow{DA}\)的夹角。

（五）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾本节课所学内容，包括向量数量积的坐标表示、模、夹角的计算公式。2.教师总结强调：向量数量积坐标表示\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)是本节课的核心公式，要熟练掌握其应用。在计算向量模和夹角时，要准确代入坐标进行运算，注意夹角范围。运用向量数量积坐标运算可以解决向量的垂直、平行以及几何图形形状判断等问题，要学会灵活运用。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：课本P108练习第3、4、5题，习题2.4A组第7、8、9题。2.拓展作业：已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(1,2)\)，若\(m\vec{a}+\vec{b}\)与\(\vec{a}2\vec{b}\)平行，求\(m\)的值，并求此时它们夹角的余弦值。

五、教学反思通