字相乘法教案

字相乘法教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解十字相乘法的概念，掌握二次三项式\(ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）因式分解的十字相乘法。能熟练运用十字相乘法对二次三项式进行因式分解。2.过程与方法目标通过对二次三项式因式分解的探究过程，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力。体会从特殊到一般的数学思想方法，提高学生的逻辑思维能力。3.情感态度与价值观目标让学生在探究活动中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1.教学重点理解十字相乘法的原理，并能正确运用十字相乘法对二次三项式进行因式分解。2.教学难点如何引导学生发现二次三项式中系数之间的关系，准确地进行十字相乘。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾提问学生因式分解的概念以及我们学过的因式分解的方法有哪些？请学生对\(x^2+5x+6\)进行因式分解，并说明是用什么方法。2.引出课题展示二次三项式\(2x^2+7x+3\)，让学生思考如何对其进行因式分解。当学生发现用之前学过的方法不太容易分解时，引出本节课的主题--十字相乘法。

（二）探究新知（20分钟）1.以\(x^2+5x+6\)为例进行分析引导学生思考：二次三项式\(x^2+5x+6\)中的二次项系数\(1\)可以分解为\(1\times1\)，常数项\(6\)可以分解为\(1\times6\)，\(2\times3\)。尝试将这些因数组合，看是否能得到一次项系数\(5\)。经过尝试发现\(1\times2+1\times3=5\)，所以\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\)。2.总结十字相乘法的概念对于二次三项式\(ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），如果二次项系数\(a\)可以分解成两个因数\(a_1\)、\(a_2\)的积，即\(a=a_1\timesa_2\)；常数项\(c\)可以分解成两个因数\(c_1\)、\(c_2\)的积，即\(c=c_1\timesc_2\)，并且\(a_1c_2+a_2c_1=b\)，那么二次三项式就可以分解为\(ax^2+bx+c=(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)\)。这种借助十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。3.举例说明十字相乘法的应用例1：分解因式\(x^27x+12\)分析：二次项系数\(1=1\times1\)，常数项\(12=(3)\times(4)\)，而\(1\times(4)+1\times(3)=7\)，满足十字相乘法的条件。解：\(x^27x+12=(x3)(x4)\)例2：分解因式\(2x^2+7x+3\)分析：二次项系数\(2=1\times2\)，常数项\(3=1\times3\)，\(1\times1+2\times3=7\)。解：\(2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1)\)4.小组讨论让学生分组讨论十字相乘法分解因式的步骤和关键是什么。每个小组派代表发言，教师进行总结和补充。步骤：把二次项系数和常数项分别分解因数。尝试不同的因数组合，使得十字相乘的结果等于一次项系数。写出因式分解的结果。关键：准确地将二次项系数和常数项分解因数，并找到合适的因数组合。

（三）例题讲解（15分钟）1.例3：分解因式\(3x^211x+10\)分析：二次项系数\(3=1\times3\)，常数项\(10=(2)\times(5)\)，\(1\times(5)+3\times(2)=11\)。解：\(3x^211x+10=(x2)(3x5)\)2.例4：分解因式\(2x^2+x+15\)分析：先将二次项系数化为正数，即\(2x^2+x+15=(2x^2x15)\)。对于\(2x^2x15\)，二次项系数\(2=1\times2\)，常数项\(15=(3)\times5\)，\(1\times5+2\times(3)=1\)。解：\(2x^2+x+15=(2x^2x15)=(x3)(2x+5)\)3.例5：分解因式\(6x^27xy5y^2\)分析：把\(x\)看作二次项系数，\(y\)看作常数项。二次项系数\(6=1\times6=2\times3\)，常数项\(5=(1)\times5=1\times(5)\)。通过尝试发现\(2\times(5)+3\times1=7\)。解：\(6x^27xy5y^2=(2x5y)(3x+y)\)

（四）课堂练习（15分钟）1.分解因式\(x^2+3x10\)\(4x^212x+9\)\(3x^2+8x+4\)\(x^2+6x8\)\(2x^25xy3y^2\)2.学生在练习本上完成，教师巡视指导，及时纠正学生出现的错误。3.请几位学生上台展示自己的解题过程，其他学生进行评价，教师进行总结和点评。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容十字相乘法的概念。用十字相乘法分解因式的步骤和关键。2.让学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，以及存在的疑问。3.教师对学生的表现进行总结评价，强调十字相乘法在因式分解中的重要性和实用性，鼓励学生在课后继续练习，熟练掌握这一方法。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业分解因式：\(x^25x14\)\(2x^2+13x+15\)\(5x^217x+6\)\(3x^2+16x5\)\(4x^24xy3y^2\)思考：当二次项系数或常数项为负数时，如何运用十字相乘法进行因式分解？2.拓展作业已知\(x^2+bx+c\)可分解为\((x+2)(x3)\)，求\(b\)和\(c\)的值。若\(x^2+mx12\)能分解成两个一次因式的积，且\(m\)为整数，那么\(m\)的值可能是多少？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对十字相乘法有了初步的理解和掌握。在教学过程中，通过复习旧知识引入新课，让学生能够更好地理解十字相乘法与之前学过的因式分解方法之间的联系。在探究新知环节，通过具体的例子引导学生分析、总结十字相乘法的原理和步骤，让学生经历了从特殊到一般的探究过程，培养了学生的观察、分析和归纳能力。例题讲解和课堂练习环节，让学生及时巩固所学知识，提高了学生运用十字相乘法进行因式分解的能力。

然而，在教学过程中也发现了一些问题。部分学生在将二次项系数和常数项分解因数时不够准确，导致无法正确运用十字相乘法；还有些学生在尝试因数组合时缺乏耐心和方法，