截长补短教案

截长补短教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能够理解截长补短法的概念和原理。熟练掌握运用截长补短法证明线段的和差关系。培养学生观察、分析、逻辑推理以及数学语言表达能力。2.过程与方法目标通过实例分析，引导学生自主探究截长补短法，经历观察、猜想、验证、推理等数学思维过程。让学生在解决问题的过程中，体会截长补短法在几何证明中的应用技巧，提高学生的解题能力。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。通过小组合作交流，培养学生的团队协作意识和沟通能力。

二、教学重难点1.教学重点理解截长补短法的本质，掌握其具体操作方法。能够根据题目条件，准确选择截长补短的方式进行证明。2.教学难点如何引导学生在复杂的几何图形中找到合适的截长补短的思路。灵活运用截长补短法解决各种类型的几何证明问题，培养学生的创新思维。

三、教学方法1.讲授法：系统讲解截长补短法的概念、原理及证明步骤，使学生对新知识有初步的认识。2.直观演示法：通过图形的直观展示，帮助学生更好地理解截长补短法的具体操作过程，增强学生的感性认识。3.讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生积极交流、分享自己的想法和见解，培养学生的合作探究能力和思维碰撞。4.练习法：安排适量的针对性练习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高运用截长补短法解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示一道简单的几何证明题：已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线。求证：AB+BD=AC。2.引导学生观察题目条件和结论，思考如何证明线段之间的和差关系。让学生尝试自己动手做一下，看看有没有思路。3.请几位学生分享自己的想法和尝试过程，教师对学生的思路进行点评和引导，引出本节课的主题--截长补短法。

（二）知识讲解（15分钟）1.截长补短法的概念截长法：在较长线段上截取一段等于较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一条较短线段。补短法：延长较短线段中的一条，使延长出来的部分等于另一条较短线段，然后证明新得到的线段与较长线段相等。2.截长补短法的原理利用全等三角形的性质，通过构造全等三角形，将线段的和差关系转化为线段的相等关系，从而达到证明的目的。3.结合导入的题目讲解截长补短法的应用截长法在AC上截取AE=AB，连接DE。因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠EAD。又因为AB=AE，AD=AD，根据SAS（边角边）可证△ABD≌△AED。所以BD=DE，∠B=∠AED。因为∠B=2∠C，∠AED=∠C+∠EDC，所以∠C=∠EDC。所以DE=EC，即BD=EC。那么AC=AE+EC=AB+BD，得证。补短法延长AB到E，使BE=BD，连接DE。所以∠E=∠BDE。因为∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E，且∠ABC=2∠C，所以∠E=∠C。又因为∠BAD=∠CAD，AD=AD，根据AAS（角角边）可证△AED≌△ACD。所以AE=AC，即AB+BE=AC，所以AB+BD=AC，得证。

（三）例题讲解（20分钟）例1：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。求证：AB=AF+CF。1.引导学生分析题目条件和图形特点，思考截长补短的方法。2.让学生尝试自己在练习本上画出辅助线，并写出证明过程。3.请一位学生上台展示自己的证明过程，其他学生认真倾听并思考是否有不同的方法。4.教师对学生的证明过程进行详细点评和讲解，强调解题思路和关键步骤。截长法在AB上截取AG=AF，连接EG。因为∠BAE=∠EAF，AE=AE，AG=AF，根据SAS可证△AEG≌△AEF。所以∠AGE=∠F，EG=EF。因为AB∥DC，所以∠B=∠ECF，∠AGE=∠F=∠GEC。又因为E是BC中点，所以BE=EC。根据AAS可证△BEG≌△CEF。所以BG=CF。那么AB=AG+BG=AF+CF，得证。补短法延长AE、DF相交于点H。因为AB∥DC，所以∠BAE=∠H。又因为∠BAE=∠EAF，所以∠EAF=∠H。所以AF=FH。因为E是BC中点，所以BE=EC。根据AAS可证△ABE≌△HCE。所以AB=CH。而CH=CF+FH=CF+AF，即AB=AF+CF，得证。

例2：已知：如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。求证：AC=AE+CD。1.让学生先独立思考，尝试运用截长补短法进行证明。2.小组内交流讨论，分享各自的思路和方法，共同完善证明过程。3.每个小组选派一名代表上台展示小组讨论的结果，其他小组进行评价和补充。4.教师总结学生的证明方法，给出以下两种常见的证明思路：截长法在AC上截取AF=AE，连接OF。因为AD平分∠BAC，所以∠EAO=∠FAO。又因为AE=AF，AO=AO，根据SAS可证△AEO≌△AFO。所以∠AOE=∠AOF。因为∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，所以∠BAC+∠ACB=120°，则∠AOC=120°。所以∠AOE=∠AOF=60°，∠COF=60°。又因为CE平分∠ACB，所以∠FCO=∠DCO。根据ASA可证△FOC≌△DOC。所以CF=CD。那么AC=AF+CF=AE+CD，得证。补短法延长CD到G，使DG=AE，连接OG。因为∠BAC+∠ACB=120°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，所以∠OAC+∠OCA=60°，则∠AOC=120°，∠AOE=∠DOC=60°。因为AE=DG，∠OAE=∠ODG，OA=OD，根据SAS可证△AOE≌△DOG。所以∠AOE=∠DOG=60°，OE=OG。所以∠COG=60°。又因为∠OCE=∠OCG，OC=OC，根据SAS可证△OCG≌△OCE。所以CG=CE。而CG=CD+DG=CD+AE，即AC=AE+CD，得证。

（四）课堂练习（15分钟）1.如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点。求证：ABAC>PBPC。2.已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC。求证：AD+BC=AB。3.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是∠BAC的平分线。求证：AB=AC+CD。

学生独立完成练习题，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并给予帮助。完成后，请几位学生上台展示答案，教师进行点评和总结，强化学生对截长补短法的理解和运用。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括截长补短法的概念、原理、应用步骤以及在不同例题中的具体运用。2.请学生分享自己在本节课中的收获和体会，以及遇到的困难和解决方法。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调截长补短法在几何证明中的重要性和实用性，鼓励学生在今后的学习中继续探索和应用。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：完成课后习题中与截长补短法相关的练习题，巩固所学知识。2.拓展作业：思考如何运用截长补短法解决更复杂的几何问题，尝试自己编写一道相关的题目并解答。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对截长补短法有了较为深入的理解和掌握，能够运用该方法解决一些简单的几何证明问题。在教学过程中，通过实例分析、例题讲解和课堂练习，逐步引导学生掌握截长补短法的思路和技巧，培养了学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

然而，在教学过程中也发现了一些问题。部分学生在复杂图形中寻找截长补短的思路时仍存在困难，需要进一步加强引导和训练。在今后的教学中，应增加一些针对性的练习题，让学生进行强化训练，同时鼓励学生多观察、多思考，提高学生的解题能力和创新思维。

此外，小组讨论环节虽然激发了学生的