教学案例.杨辉三角与二项式系数性质

教学案例.杨辉三角与二项式系数性质一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解杨辉三角的概念，掌握杨辉三角的基本性质。熟练掌握二项式系数的性质，包括对称性、增减性与最大值、各二项式系数的和等。能够运用二项式系数的性质解决相关的计算和证明问题。2.过程与方法目标通过观察、分析杨辉三角的规律，培养学生的归纳推理能力。在探究二项式系数性质的过程中，让学生体会从特殊到一般、类比、赋值等数学思想方法，提高学生的逻辑思维能力。3.情感态度与价值观目标通过了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的民族自豪感和学习数学的兴趣。在合作探究中，培养学生的团队协作精神，让学生体验数学的探索乐趣和成功喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点杨辉三角的性质及二项式系数的性质。二项式系数性质的应用，如计算二项式展开式中各项系数的和、求二项式系数的最大值等。2.教学难点二项式系数性质的探究过程，特别是增减性与最大值的理解和证明。如何引导学生运用二项式系数的性质解决实际问题，培养学生的数学应用意识和创新思维。

三、教学方法1.讲授法：讲解杨辉三角的概念、历史背景以及二项式系数的基本性质，使学生对本节课的知识有初步的了解。2.探究法：引导学生通过观察杨辉三角的数字规律，自主探究二项式系数的性质，培养学生的探究能力和创新思维。3.小组合作法：组织学生进行小组讨论，共同解决探究过程中遇到的问题，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队协作精神。4.练习法：通过课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高运用二项式系数性质解决问题的能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）1.展示图片：通过多媒体展示杨辉三角的图片，让学生观察其形状和数字排列规律。2.提问引导：同学们，你们看到这个三角形有什么特点？你们知道它叫什么名字吗？3.引出课题：今天我们就来深入研究杨辉三角与二项式系数的性质。

（二）讲解新课（25分钟）1.杨辉三角的概念介绍杨辉三角：杨辉三角是我国古代数学的伟大成就之一，它是由北宋数学家贾宪在1050年左右首先发现的，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》一书中对此作了详细记载，所以后人把它叫做杨辉三角。展示杨辉三角的前几行：```11112113311464115101051```引导学生观察杨辉三角的规律：每行两端都是1。从第三行起，除两端的1以外，每个数都等于它肩上两个数的和。2.二项式系数的性质对称性引导学生观察杨辉三角中每行数字的对称性，如第二行11，第三行121等。提问：二项式展开式的二项式系数有什么类似的性质呢？让学生写出\((a+b)^n\)展开式的二项式系数，观察并总结规律：\(C_{n}^m=C_{n}^{nm}\)，即二项式系数具有对称性。增减性与最大值以\((a+b)^n\)展开式的二项式系数\(C_{n}^m\)为例，当\(n=6\)时，计算并列出二项式系数：```C(6,0)=1C(6,1)=6C(6,2)=15C(6,3)=20C(6,4)=15C(6,5)=6C(6,6)=1```引导学生观察这些系数的变化规律，分析其增减性：当\(m<\frac{n}{2}\)时，\(C_{n}^m\)随\(m\)的增大而增大。当\(m>\frac{n}{2}\)时，\(C_{n}^m\)随\(m\)的增大而减小。得出结论：当\(n\)是偶数时，中间一项\(C_{n}^{\frac{n}{2}}\)取得最大值；当\(n\)是奇数时，中间两项\(C_{n}^{\frac{n1}{2}}\)与\(C_{n}^{\frac{n+1}{2}}\)相等，且同时取得最大值。各二项式系数的和提问：在\((a+b)^n\)的展开式中，令\(a=b=1\)，会得到什么结果？学生计算：\((1+1)^n=C_{n}^0+C_{n}^1+C_{n}^2+\cdots+C_{n}^n=2^n\)，即二项式展开式中所有二项式系数的和等于\(2^n\)。进一步提问：那么\(C_{n}^0+C_{n}^2+C_{n}^4+\cdots\)与\(C_{n}^1+C_{n}^3+C_{n}^5+\cdots\)有什么关系呢？引导学生再次令\(a=1\)，\(b=1\)，则\((11)^n=C_{n}^0C_{n}^1+C_{n}^2C_{n}^3+\cdots+(1)^nC_{n}^n\)。当\(n\)为偶数时，\(C_{n}^0+C_{n}^2+C_{n}^4+\cdots=C_{n}^1+C_{n}^3+C_{n}^5+\cdots=2^{n1}\)；当\(n\)为奇数时，\(C_{n}^0+C_{n}^2+C_{n}^4+\cdots=C_{n}^1+C_{n}^3+C_{n}^5+\cdots=2^{n1}\)。

（三）例题讲解（15分钟）1.例1：在\((a+b)^n\)的展开式中，已知第5项与第7项的二项式系数相等，求\(n\)的值。分析：根据二项式系数的对称性\(C_{n}^m=C_{n}^{nm}\)，第5项与第7项的二项式系数相等，即\(C_{n}^4=C_{n}^6\)，所以\(n=4+6=10\)。解答过程：由\(C_{n}^4=C_{n}^6\)，根据对称性可得\(n=4+6=10\)。2.例2：已知\((1+2x)^n\)的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。分析：先求出\(n\)的值，再根据\(n\)的奇偶性确定二项式系数最大的项。解答过程：第6项的系数为\(C_{n}^5\times2^5\)，第7项的系数为\(C_{n}^6\times2^6\)。由已知\(C_{n}^5\times2^5=C_{n}^6\times2^6\)，即\(\frac{n!}{5!(n5)!}\times2^5=\frac{n!}{6!(n6)!}\times2^6\)。化简可得\(\frac{1}{n5}=\frac{2}{6}\)，解得\(n=8\)。因为\(n=8\)是偶数，所以二项式系数最大的项是第5项，\(T_5=C_{8}^4\times(2x)^4=70\times16x^4=1120x^4\)。3.例3：求\((12x)^7\)展开式中各项系数的和。分析：令\(x=1\)，即可得到展开式中各项系数的和。解答过程：令\(x=1\)，则\((12\times1)^7=(12)^7=1\)，所以\((12x)^7\)展开式中各项系数的和为\(1\)。

（四）课堂练习（10分钟）1.在\((a+b)^n\)的展开式中，若第3项与第6项的二项式系数相等，则\(n=\)______。2.已知\((1+3x)^n\)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。3.求\((2x)^6\)展开式中各项系数的和。

（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容：杨辉三角的概念和性质，二项式系数的对称性、增减性与最大值、各二项式系数的和等。2.强调本节课所运用的数学思想方法：从特殊到一般、类比、赋值等。3.鼓励学生在课后继续探索杨辉三角与二项式系数性质的其他应用。

（六）布置作业（5分钟）1.书面作业：课本习题中相关的练习题，要求学生认真完成，巩固所学知识。2.拓展作业：查阅资料，了解杨辉三角在其他领域的应用，并撰写一篇简短的报告。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对杨辉三角与二项式系数的性质有了较为深入的理解和掌握。在教学过程中，采用多种教学方法相结合，如讲授法、探究法、小组合作法等，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的探究能力和团队协作精神。

在讲解二项式系数的性质时，通过引导学生观察杨辉三角的规律，让学生自主探究二项式系数的对称性、增减性与最大值等性质，这种教学方式有助于学生理解和记忆。同时，通过例题和课堂练习，及时巩固了所学知识，提高了学生运用二项式系数性质解决问题的能力。

然而，在教学过程中也发现了一些不足之处。例如，在探究二项式系数增减性与最大值的证明过程中，部分学生理解起来有一定困难，需要在今后的教学中更加注重引导和启发。