矩阵的合同变换

矩阵的合同变换摘要：本文详细介绍了矩阵的合同变换，包括合同变换的定义、性质、判定方法以及在二次型化简等方面的应用。通过对合同变换相关知识的系统阐述，帮助读者深入理解这一重要的矩阵变换概念及其在数学领域中的作用。

一、引言矩阵的合同变换在数学中具有重要地位，它与二次型的化简、线性空间的分类等诸多问题密切相关。在实际应用中，如物理学中的力学问题、工程学中的优化设计等领域，也经常会用到矩阵的合同变换。深入研究矩阵的合同变换，有助于我们更好地理解和解决相关的数学问题以及实际应用中的相关模型。

二、合同变换的定义设\(A\)，\(B\)是\(n\)阶方阵，如果存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，则称矩阵\(A\)与\(B\)合同，记作\(A\simeqB\)，而变换\(A\toC^TAC\)称为合同变换。

例如，已知\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)，\(C=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，则\(C^T=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\)。

计算\(C^TAC\)：\[\begin{align*}C^TAC&=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&2\\3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1&3\\3&6\end{pmatrix}\end{align*}\]所以\(A\)与\(\begin{pmatrix}1&3\\3&6\end{pmatrix}\)合同。

三、合同变换的性质1.反身性：对于任意\(n\)阶方阵\(A\)，有\(A\simeqA\)。证明：取\(C=I\)（单位矩阵），则\(I^TAI=A\)，所以\(A\)与自身合同。2.对称性：若\(A\simeqB\)，则\(B\simeqA\)。证明：因为\(A\simeqB\)，所以存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)。两边同时左乘\((C^T)^{1}\)，右乘\(C^{1}\)，可得\(((C^T)^{1})^TB(C^T)^{1}=A\)。而\(((C^T)^{1})^T=(C^{1})^T\)，令\(D=C^{1}\)，则\(D^TBD=A\)，所以\(B\simeqA\)。3.传递性：若\(A\simeqB\)，\(B\simeqC\)，则\(A\simeqC\)。证明：因为\(A\simeqB\)，存在可逆矩阵\(P\)，使得\(P^TAP=B\)；又因为\(B\simeqC\)，存在可逆矩阵\(Q\)，使得\(Q^TBQ=C\)。将\(P^TAP=B\)代入\(Q^TBQ=C\)中，得到\(Q^T(P^TAP)Q=C\)，即\((PQ)^TA(PQ)=C\)。因为\(P\)，\(Q\)可逆，所以\(PQ\)可逆，所以\(A\simeqC\)。

四、合同变换与二次型二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=X^TAX\)（其中\(A\)为对称矩阵，\(X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\)）经过可逆线性变换\(X=CY\)（\(C\)可逆）后，变为\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(CY)^TA(CY)=Y^T(C^TAC)Y\)。

例如，二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\)，其矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)。

取可逆线性变换\(X=CY\)，其中\(C=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，则变换后的二次型矩阵为\(C^TAC=\begin{pmatrix}1&3\\3&6\end{pmatrix}\)，新的二次型为\(g(y_1,y_2)=y_1^2+6y_1y_2+6y_2^2\)。

通过合同变换，可以将二次型化为标准形。标准形是只含平方项的二次型，其形式简单，便于研究二次型的性质，如正定性、负定性等。

五、合同变换与矩阵的秩合同变换不改变矩阵的秩。设\(A\simeqB\)，即存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)。因为\(C\)可逆，所以\(r(C)=n\)（\(n\)为矩阵的阶数）。根据矩阵秩的性质\(r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\)，\(r(C^TAC)\leqr(A)\)。又因为\(C^T\)，\(C\)可逆，所以\(r(B)=r(C^TAC)\geqr(A)\)。综上可得\(r(A)=r(B)\)。

例如，已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)，通过初等变换可化为\(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)，其秩为\(1\)。

若存在可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，则\(r(B)=r(A)=1\)。

六、合同变换的判定方法1.基于定义：直接根据合同变换的定义，找到可逆矩阵\(C\)，使得\(C^TAC=B\)，来判断\(A\)与\(B\)是否合同。例如，对于矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)和\(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)。设\(C=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，则\(C^T=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)。计算\(C^TAC\)：\[\begin{align*}C^TAC&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}=B\end{align*}\]所以\(A\)与\(B\)合同。2.利用二次型：将矩阵\(A\)，\(B\)看作二次型的矩阵，通过将二次型化为标准形来判断。对于二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_2^2\)，其矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)。另一个二次型\(g(x_1,x_2)=2x_1^2+x_2^2\)，其矩阵\(B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)。分别对两个二次型进行合同变换化为标准形，发现它们的正、负惯性指数相同（\(A\)的正惯性指数为\(2\)，负惯性指数为\(0\)；\(B\)的正惯性指数为\(2\)，负惯性指数为\(0\)），所以\(A\)与\(B\)合同。3.借助矩阵的秩和正惯性指数：两个\(n\)阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等且正惯性指数相等。例如，矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，\(r(A)=3\)，正惯性指数\(p=2\)。矩阵\(B=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)，计算其行列式\(\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}=3\neq0\)，所以\(r(B)=3\)。再求\(B\)的特征值，\(\vert\lambdaIB\vert=\begin{vmatrix}\lambda2&1&0\\1&\lambda2&0\\0&0&\lambda+1\end{vmatrix}=(\lambda+1)(\lambda^24\lambda+3)=(\lambda+1)(\lambda1)(\lambda3)\)，正特征值为\(\lambda_1=3\)，\(\lambda_2=1\)，所以正惯性指数\(p=2\)。因为\(r(A)=r(B)=3\)且正惯性指数相同，所以\(A\)与\(B\)合同。

七、合同变换在二次型化简中的应用1.配方法对于二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3\)。首先对\(x_1\)进行配方：\[\begin{align*}f(x_1,x_2,x_3)&=(x_1+x_2+2x_3)^2x_2^24x_3^22x_2x_3\\&=(x_1+x_2+2x_3)^2(x_2^2+2x_2x_3+4x_3^2)+4x_3^24x_3^2\\&=(x_1+x_2+2x_3)^2(x_2+x_3)^2\end{align*}\]令\(\begin{cases}y_1=x_1+x_2+2x_3\\y_2=x_2+x_3\\y_3=x_3\end{cases}\)，即\(\begin{cases}x_1=y_1y_2y_3\\x_2=y_2y_3\\x_3=y_3\end{cases}\)，则二次型化为标准形\(f=y_1^2y_2^2\)。从合同变换角度看，原二次型矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&1\\2&1&5\end{pmatrix}\)，通过可逆线性变换矩阵\(C=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)，使得\(C^TAC=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)。2.正交变换法对于二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_24x_1x_38x_2x_3\)。其矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&2&2\\2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}\)。求\(A\)的特征值：\(\vert\lambdaIA\vert=\begin{vmatrix}\lambda2&2&2\\2&\lambda5&4\\2&4&\lambda5\end{vmatrix}=(\lambda1)^2(\lambda10)\)，特征值为\(\lambda_1=10\)，\(\lambda_2=\lambda_3=1\)。求对应的特征向量：当\(\lambda=10\)时，\((10IA)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}8&2&2\\2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0\)，解得特征向量\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\)，单位化得\(\eta_1=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\)。当\(\lambda=1\)时，\((IA)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}1&2&2\\2&4&4\\2&4&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0\)，解得基础解系\(\xi_2=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\xi_3=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}\)，正交化得\(\beta_2=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\beta_3=\begin{pmatrix}\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}\\1\end{pmatrix}\)，再单位化得\(\eta_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\eta_3=\frac{1}{3\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}\)。令正交矩阵\(Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}\\\frac{2}{3}&0&\frac{5}{3\sqrt{5}}\end{pmatrix}\)，则二次型通过正交变换\(X=QY\)化为标