高考数学精准复习专项大招3矩形大法含答案或解析

大招3矩形大法大招总结矩形大法:已知为矩形所在平面内任意一点(即使在矩形外也成立,甚至在空间中),则有,我们可以用三种方法来证明:方法一:勾股定理如图,是矩形里的一点,连接,过做两条直线分别平行于.由勾股定理可知,,易知方法二:建立直角坐标系以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系,设,则:所以所以方法三:向量法如图:在矩形中,所以又因为典型例题例1.(2020春-启东市校级月考)已知圆,圆,定点,动点分别在圆和圆上,满足,则线段的取值范围________.解:方法1:设、,则设中点为,则,∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆,∴的取值范围是,故,故的范围为,故答案为:.方法2:构造矩形,根据矩形所满足的性质可得,所以,即,所以点在以原点为圆心,半径为的圆上运动,故,即,所以点在以原点为圆心,半径为的圆上运动,故 又因为,所以 例2.(2018-青浦区一模)在平面直角坐标系中,已知两圆和,又点A坐标为是.上的动点,为上的动点,则四边形能构成矩形的个数为()A.0个B.2个C.4个D.无数个解：解方法1:如图所示,任取圆上一点,以为直径画圆,交圆与、两点,若,即可得出四边形是矩形,由的任意性知,四边形能构成无数个矩形方法2:取中点,联结,既∵点的轨迹方程为,设点,∵为中点,∴,带入点的轨迹方程,得,∴上的每个点都符合题意方法三:当四边形构成矩形时,有,因为、是上的动点,为上的动点,则点坐标为,故,该等式成立,所以满足该条件的矩形有无数个.故选D.例3.(2012-江西)在直角三角形中,点是斜边的中点,点为线段的中点,则()A.2B.4C.5D.10解：解方法以为原点,所在直线为轴,建立如图坐标系,∵是Rt的斜边,∴以为直径的圆必定经过点设,则∵点为线段的中点,∴可得又∵点为线段的中点,所以:，故选D.方法2:构造矩形,根据矩形的性质,有,又因为可得若平面向量满足,且,则的最小值是（）A.1B.C.D.解：解方法1:由得,等式两边平方得:令,上式可化为:即∴,即∴,方法2:设,由,得,可以构造矩形,则有,可得,则,即故选B.运用"矩形大法“解向量模取值范围问题例5.(2021-漳州模拟)已知,则的取值范围是（）A.B.C.D.解:如图1,作,则 以为两邻边构造矩形,由矩形性质得,因为,代入上式得,,而即故的取值范围是,于是选.自我检测1.(2013-重庆)在平面上,.若,则的取值范围是（）A.B.C.D.答案：方法1:根据条件知构成一个矩形,以所在直线为坐标轴建立直角坐标系,设,点的坐标为,则点的坐标为,由,得,则∵∴(1)∵,同理,∴∴由(1)(2)知,∵,故选D.方法构成一个矩形,根据矩形所满足的性质,即,因为的取值范围为,可知的取值范围为2.(2012秋-霍邱县校级月考)已知向量满足,则的取值范围为_____.答案：方法1:∵向量满足,∴,∴,展开为,∴.∵.故的取值范围为.故答案为.方法2:设,由,则;过点作平行于的直线,过点作平行于的直线,两直线相交于点,则四边形为矩形,根据矩形的性质,有,所以,,又因为,所以:(2015秋-温州校级期中)已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点,使,则矩形的顶点的轨迹方程为_____________.答案：方法1:设,又,则.由,得,即.整理得:,即(D)又∵点、在圆上,∴(2)再由,得,整理得:把(1)(2)代人(3)得:.∴矩形的顶点的轨迹方程为:.故答案为:.方法2:因为,那么当为矩形时,有,因为,所以的轨迹是以原点为中心,以为半径的圆,则的轨迹方程为:(2017-南通一模)在平面直角坐标系中,已知为圆上两点,点,且,则线段的长的取值范围为_________.答案：方法1:在平面直角坐标系中,已知为圆上两点,点,且,如图所示当时,取得最小值或最大值.由,可得或,由,可得或,解得, 故答案为:.方法2:因为,则可以构造一个矩形,由矩形的性质可知,又因为,则,又因为点在圆内,所以:5.(2014-广东考)已知椭圆的右焦点为,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程.答案：(1)依题意知,求得,∴椭圆的方程为.(2)方法1:(1)当两条切线中有一条斜率不存在时,即、两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,的坐标为,土2),(2)当两条切线斜率均存在时,设过点的切线为,,整理得,∴,整理得, 把点代人亦成立,∴点的轨迹方程为:.方法2:过点、分别作两条切线、的对称点,分别交、于点,再连接、、、、,因为点是的中点且点是的中点,所以,同理可得,因为四边形是矩形,所以,又因为,所以13,所以点是以原点为圆心,半径为的圆,故点的轨迹方程为.6.(2021-龙岩期中)已知向量、、满足:若的最大值和最小值分别为,则等于（）A.B.C.D.答案：如图2,作,则,由,得,故.以为两邻边构造矩形,由矩形性质得,因为,代人上式得.由得,则.由三角形中线长公式得,则,解得,雨,即,所以,故选D.已知向量:,则的取值范围是__________.答案：解:由题意画出大致图形,可知,可知.在平面直角坐标系中,若动点到直线的距离分别为,且满足,则的最大值为_____________.答案：由题意,(转化为线性规划问题).所以.过圆:外一点作两条互相垂直的直线和,分别交圆于、和、两点,则四边形面积的最大值为____________.答案：由题意,过作圆的切线且切线长为1,根据圆的相交线定理,,理由矩形