陕西省石泉县高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法（二）教学实录 北师大版选修2-2

陕西省石泉县高中数学第一章推理与证明1.3反证法（二）教学实录北师大版选修2-2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）陕西省石泉县高中数学第一章推理与证明1.3反证法（二）教学实录北师大版选修2-2设计意图本节课以“反证法（二）”为主题，旨在引导学生深入理解反证法的应用，通过实际问题分析和小组合作探究，培养学生逻辑推理能力和证明技巧。教学内容与北师大版选修2-2教材紧密关联，注重实际应用，提高学生的数学素养。核心素养目标1.培养学生逻辑推理能力，使学生能够运用反证法进行数学证明。

2.提升学生的数学抽象和数学建模能力，通过实际问题解决反证法的应用。

3.强化学生的数学运算能力，确保在证明过程中准确运用数学符号和公式。

4.增进学生的数学思维品质，提高分析问题和解决问题的能力。学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：学生在进入本节课之前，已具备基本的逻辑推理基础，能够进行简单的数学证明。他们熟悉命题、定理、证明的基本概念，并对反证法的基本原理有所了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学普遍持有一定的兴趣，尤其是对解决问题和证明过程有较高的热情。他们的数学能力参差不齐，部分学生可能在逻辑思维和抽象推理方面较为突出，而另一些学生可能在运算技巧和符号运用上存在困难。学习风格上，有的学生偏好独立思考，有的则更倾向于合作学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在应用反证法时可能遇到的困难包括对反证法原理的深入理解、如何构造反证法的假设、如何在证明过程中保持逻辑的严密性等。此外，学生在面对复杂问题时，可能会因为缺乏有效的解题策略而感到困惑。这些挑战需要教师通过恰当的教学方法和案例引导帮助学生克服。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-2《推理与证明》教材，以便于跟随课堂内容进行学习。

2.辅助材料：准备与反证法相关的图片、图表和视频等多媒体资源，以帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备白板或投影仪，以便展示教学步骤和关键证明过程。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行小组合作学习；确保教室环境安静，有利于学生集中注意力。教学过程设计**时间安排：**总计45分钟

**一、导入环节（5分钟）**

1.**情境创设**：展示陕西省石泉县的风景图片，引导学生思考数学与生活的联系。

2.**提出问题**：提出一个与反证法相关的生活实例，如“证明某个地方不能种植某种作物”，激发学生思考。

3.**师生互动**：提问学生如何证明，引入反证法的概念。

4.**用时**：5分钟

**二、讲授新课（20分钟）**

1.**反证法原理**：讲解反证法的基本原理，包括假设、推导矛盾、得出结论等步骤。

2.**案例分析**：分析课本中的典型例题，讲解如何构造反证法的假设，如何推导矛盾。

3.**互动提问**：针对案例提出问题，如“为什么这个假设会导致矛盾？”引导学生思考。

4.**小组讨论**：分组讨论如何将反证法应用于实际问题，如“证明一个几何图形的性质”。

5.**用时**：20分钟

**三、巩固练习（15分钟）**

1.**练习题展示**：展示几道与反证法相关的练习题，包括基础题和应用题。

2.**学生独立完成**：学生独立完成练习题，教师巡视指导。

3.**小组讨论**：学生分组讨论练习题，互相解答疑问。

4.**全班讲解**：每组选派代表讲解解题思路，其他学生补充或提问。

5.**用时**：15分钟

**四、课堂提问（5分钟）**

1.**回顾概念**：提问学生反证法的定义和步骤。

2.**难点解析**：提问学生反证法中可能遇到的难点，如如何构造假设。

3.**应用拓展**：提问学生如何将反证法应用于其他学科领域。

4.**用时**：5分钟

**五、师生互动环节（5分钟）**

1.**开放式问题**：提出一个开放式问题，如“反证法在数学证明中的优势是什么？”

2.**学生讨论**：学生分组讨论，分享各自的观点。

3.**教师总结**：教师总结学生的讨论结果，强调反证法的重要性。

4.**用时**：5分钟

**六、总结与反思（5分钟**）

1.**回顾重点**：引导学生回顾本节课的重点内容，包括反证法的原理和应用。

2.**反思提升**：鼓励学生反思自己在学习过程中的收获和不足。

3.**布置作业**：布置与反证法相关的课后作业，巩固所学知识。

4.**用时**：5分钟

**总计用时：45分钟**知识点梳理1.反证法的基本概念：

-反证法是一种通过否定命题的结论，推导出矛盾，从而证明原命题成立的证明方法。

-反证法适用于证明那些直接证明较困难的命题。

2.反证法的基本步骤：

-假设原命题的否定为真。

-在这个假设下，通过逻辑推理，导出至少一个明显矛盾。

-由于矛盾的存在，原假设不成立，因此原命题成立。

3.反证法在数学证明中的应用：

-构造反证法的假设：根据命题的内容，合理地构造出一个与命题结论相反的假设。

-推导矛盾：在假设的前提下，通过一系列逻辑推理，导出一个与已知事实或公理相矛盾的结论。

-得出结论：由于矛盾的存在，原假设不成立，从而证明原命题成立。

4.反证法的优点：

-可以避免直接证明中可能遇到的困难。

-在证明过程中，有助于发现问题的本质，提高逻辑思维能力。

5.反证法的局限性：

-不适用于所有类型的命题，特别是那些结论可以轻易被直接证明的命题。

-在构造假设和推导矛盾的过程中，可能需要较高的逻辑推理能力。

6.反证法的注意事项：

-在构造反证法的假设时，要确保假设与原命题结论相反，且逻辑上成立。

-在推导矛盾的过程中，要严谨、细心，避免出现错误。

-反证法的证明过程要清晰、简洁，便于理解和接受。

7.反证法的实际应用案例：

-证明一个几何图形的性质，如证明三角形的内角和为180度。

-证明一个数学定理，如费马大定理。

8.反证法与其他证明方法的关系：

-反证法是证明方法的一种，与其他证明方法如直接证明、归纳证明等相辅相成。

-在实际应用中，可以根据具体问题选择合适的证明方法。

9.反证法的学习与提高：

-通过大量的练习，熟悉反证法的应用场景和步骤。

-培养逻辑思维能力，提高对数学问题的分析和解决能力。

-学习借鉴他人的证明方法，丰富自己的证明技巧。教学反思与改进这节课下来，我觉得收获颇丰，但也发现了一些需要改进的地方。

首先，我觉得导入环节的设计还可以更加生动有趣。虽然我尝试通过展示石泉县的风景图片来激发学生的兴趣，但感觉效果并不理想。可能是因为图片与数学知识的关联性不够强，导致学生的注意力没有完全集中。接下来，我打算尝试结合一些学生熟悉的日常生活实例，比如使用反证法来解决一些实际问题，这样可能更容易引起他们的兴趣。

其次，在讲授新课的过程中，我发现有些学生对反证法的原理理解不够透彻。在讲解过程中，我可能过于注重逻辑推理的严谨性，而忽略了学生的接受程度。因此，我计划在未来的教学中，更多地采用启发式教学，通过提问和讨论，引导学生逐步理解反证法的核心思想。

在巩固练习环节，我发现学生的参与度不高，有些学生甚至出现了抄袭现象。这让我意识到，练习的设计需要更加多样化，既要保证练习的难度适中，又要能够激发学生的兴趣。我打算在未来的教学中，设计一些小组合作练习，让学生在合作中学习，提高他们的团队协作能力和解决问题的能力。

课堂提问环节，我发现有些问题过于简单，学生回答得都很顺利，没有达到预期的效果。同时，有些问题又过于复杂，学生无法回答，导致课堂气氛略显尴尬。我意识到，课堂提问的设计需要更加精心，既要考虑学生的实际水平，又要能够引导学生深入思考。

在师生互动环节，我发现有些学生不太敢于表达自己的观点。这可能是因为他们对数学知识的掌握不够自信，或者害怕犯错。我计划在未来的教学中，营造一个更加轻松、包容的课堂氛围，鼓励学生积极参与讨论，勇于表达自己的观点。

最后，我认为教学反思是非常重要的环节。通过反思，我能够及时发现教学中存在的问题，并制定相应的改进措施。在未来的教学中，我将继续关注学生的学习情况，不断调整教学策略，以提高教学效果。内容逻辑关系①反证法的基本概念：

-反证法的定义

-反证法的步骤

-反证法的应用场景

②反证法的基本步骤：

-假设原命题的否定为真

-在假设下推导矛盾

-由于矛盾得出原假设不成立，原命题成立

③反证法在数学证明中的应用：

-构造反证法的假设

-推导矛盾的过程

-反证法证明的结论

④反证法的优点：

-避免直接证明的困难

-提高逻辑思维能力

-发现问题的本质

⑤反证法的局限性：

-不适用于所有类型的命题

-需要较高的逻辑推理能力

⑥反证法的注意事项：

-构造假设的合理性

-推导矛盾的严谨性

-证明过程的清晰性

⑦反证法与其他证明方法的关系：

-反证法与其他证明方法的互补性

-选择合适的证明方法

⑧反证法的学习与提高：

-大量练习

-培养逻辑思维能力

-学习借鉴他人的证明方法作业布置与反馈**作业布置：**

1.**基础知识巩固**：完成课本中“反证法（二）”部分的相关练习题，包括单选题、填空题和简答题，共计5题。

-单选题：判断下列命题是否可以用反证法证明，并说明理由。

-填空题：给出一个可以用反证法证明的命题，并写出其反证法的步骤。

-简答题：简述反证法的基本原理和步骤。

2.**能力提升练习**：选择课本中的两个例题，分别尝试用反证法进行证明，并与其他证明方法进行比较。

-例题1：证明一个几何图形的性质。

-例题2：证明一个数学定理。

3.**应用拓展题**：设计一个与实际生活相关的问题，要求学生运用反证法进行解决。

-问题：假设某个城市没有发生过交通事故，请用反证法证明这个假设不成立。

**作业反馈：**

1.**及时批改**：在学生提交作业后的第二天，及时进行批改。

2.**详细反馈**：对每道题目的答案进行详细批改，指出学生的正确答案和错误答案。

3.**问题指出**：针对学生在作业中出现的错误，指出具体的问题所在，如概念理解错误、逻辑推理错误等。

4.**改进建议**：针对每个学生的作业，给出具体的改进建议，如如何修改错误、如何提高解题技巧等。

5.**个别辅导**：对于作业中表现不佳的学生，进行个别辅导，帮助他们理解和掌握反证法。

6.**总结反馈**：在下一节课开始时，对上一节课的作业进行总结反馈，让学生了解自己的学习情况，并鼓励他们在接下来的学习中继续努力。课后作业1.**证明题目**：证明三角形的三边之和大于任意一边。

**解题步骤**：

-假设存在一个三角形ABC，使得AB+BC≤AC。

-根据三角形的性质，三边之和必须大于第三边，即AB+BC>AC。

-这与假设AB+BC≤AC矛盾。

-因此，假设不成立，原命题成立，即三角形的三边之和大于任意一边。

2.**证明题目**：证明在直角三角形中，斜边长是两条直角边长的平方和的平方根。

**解题步骤**：

-设直角三角形ABC中，∠C为直角，AB为斜边，AC和BC为直角边。

-根据勾股定理，AB²=AC²+BC²。

-对AB²两边同时开平方根，得到AB=√(AC²+BC²)。

-因此，斜边AB是两条直角边AC和BC的平方和的平方根。

3.**证明题目**：证明一个等腰三角形的底边上的高同时也是它的高和中线。

**解题步骤**：

-设等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，同时也是中线。

-因为AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90°。

-因为AD是中线，所以BD=DC。

-在直角三角形ADB和ADC中，由于AB=AC，AD=AD（公共边），∠ADB=∠ADC（都是直角），根据HL定理（斜边-直角边定理），三角形ADB和ADC全等。

-因此，BD=DC，AD是BC的中线，同时也是高。

4.**证明题目**：证明任意四边形对角线相交的点将四边形分成面积相等的两部分。

**解题步骤**：

-设四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O。

-考虑三角形AOB、BOC、COD和DOA。

-由于AC和BD是对角线，所以OA=OC，OB=OD。

-三角形AOB和三角形COD有相同的底边OB和OC，且高相同（从O点到AB和CD的距离）。

-同理，三角形BOC和三角形DOA也有相同的底边OC和OD，且高相同。

-因此，三角形AOB、BOC、COD和DOA的面积都相等，所以四边形ABCD被对角线AC和BD分成的两个部分面积相等。

5.**证明题目