高中数学 第三章 不等式 3.4.2 简单的线性规划教学实录 北师大版必修5

高中数学第三章不等式3.4.2简单的线性规划教学实录北师大版必修5课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计思路本节课以“高中数学第三章不等式3.4.2简单的线性规划”为主题，结合北师大版必修5教材内容，通过实际问题引入，引导学生掌握线性规划的基本概念和方法。课程设计注重理论与实践相结合，通过实例分析和小组合作，让学生在解决实际问题的过程中，深入理解线性规划的应用，提高数学思维能力。二、核心素养目标培养学生数学建模、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。通过线性规划问题的解决，提升学生分析实际问题、构建数学模型的能力，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识，培养学生在数学思考中形成的批判性和创新性思维。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生已具备不等式、函数、方程等相关知识，能够理解和运用这些基本概念进行问题分析。此外，学生对坐标系和线性方程的解法有一定了解，为线性规划的学习奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学学科兴趣浓厚，具备较强的逻辑思维能力和空间想象力。在学习风格上，部分学生倾向于通过直观图像理解问题，而另一些学生则更偏好通过文字和公式推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习线性规划时，可能难以将实际问题转化为数学模型，对约束条件和解的判别可能存在理解困难。此外，学生可能对线性规划的实际应用场景感到陌生，难以将所学知识应用于实际问题的解决。四、教学资源-教学软件：几何画板、数学绘图软件

-教学平台：多媒体教学平台、在线教学平台

-信息化资源：线性规划相关教学视频、在线习题库

-教学手段：实物教具（如线性规划模型）、多媒体课件、白板或电子白板五、教学过程一、导入新课

（教师）同学们，今天我们来学习第三章不等式中的3.4.2节——简单的线性规划。在日常生活中，我们经常会遇到需要做出最优选择的问题，比如如何安排时间、如何分配资源等。这些问题都可以通过线性规划来解决。那么，什么是线性规划呢？今天我们就一起来探究这个问题。

二、新课讲授

1.线性规划的基本概念

（教师）首先，我们来了解一下线性规划的基本概念。线性规划是研究线性方程组或线性不等式组在满足一定条件下，目标函数取得最大值或最小值的方法。目标函数和约束条件都是线性的。

（学生）线性规划是研究线性方程组或线性不等式组在满足一定条件下，目标函数取得最大值或最小值的方法。

2.线性规划问题的建模

（教师）接下来，我们来看一个例子。假设有一个农场，农场主想种植两种作物A和B，其中作物A每亩收入为1000元，作物B每亩收入为800元。农场的土地资源有限，每亩地种植作物A需要2吨肥料，每亩地种植作物B需要1.5吨肥料。农场现有肥料总量为30吨，土地资源为20亩。请问，农场主应该如何安排种植作物A和B，才能使收入最大化？

（学生）首先，我们需要建立目标函数。在这个例子中，目标函数为收入最大化，即1000A+800B。然后，我们需要建立约束条件。根据题目，我们可以得到以下约束条件：2A+1.5B≤30（肥料约束）和A+B≤20（土地资源约束）。

3.线性规划问题的求解

（教师）接下来，我们将利用线性规划方法求解这个问题。首先，我们需要将约束条件转化为标准形式。对于肥料约束，我们可以将其乘以2，得到4A+3B≤60。然后，我们将目标函数和约束条件转化为标准形式，即最大化目标函数1000A+800B，满足约束条件4A+3B≤60，A+B≤20，A≥0，B≥0。

（学生）通过求解线性规划问题，我们得到最优解为A=10，B=10，即农场主应种植作物A10亩，作物B10亩，以实现收入最大化。

4.线性规划的实际应用

（教师）线性规划在实际生活中有着广泛的应用。例如，在工业生产中，企业可以通过线性规划来确定生产方案，以降低成本；在交通运输中，可以通过线性规划来优化运输路线，提高运输效率。同学们，课后可以思考一下，线性规划在我们生活中还有哪些应用？

三、课堂练习

1.请同学们根据以下条件，建立线性规划模型，并求解最大化目标函数：

（1）目标函数：最大化利润=5x+4y；

（2）约束条件：2x+3y≤12，x+y≥3，x≥0，y≥0。

2.请同学们思考以下问题：

（1）线性规划在实际应用中，如何处理非线性问题？

（2）线性规划在解决实际问题时，有哪些局限性？

四、课堂小结

（教师）今天我们学习了简单的线性规划，了解了线性规划的基本概念、建模方法和求解过程。在解决实际问题时，我们要学会将问题转化为数学模型，并运用线性规划方法进行求解。希望同学们课后能够多思考、多练习，提高自己的数学建模能力。

五、课后作业

1.完成课堂练习中的问题；

2.阅读教材相关内容，了解线性规划在实际生活中的应用。六、教学资源拓展一、拓展资源

1.线性规划的案例分析

-介绍不同行业的线性规划案例，如生产计划、运输调度、库存控制等，以帮助学生理解线性规划在现实世界中的应用。

-提供线性规划的经典案例，如背包问题、分配问题、生产问题等，通过案例学习加深对线性规划概念和方法的理解。

2.线性规划的软件工具

-介绍用于线性规划分析的软件工具，如LINDO、MATLAB、ExcelSolver等，展示如何使用这些工具解决实际问题。

3.线性规划的数学理论

-深入探讨线性规划的理论基础，包括对偶理论、灵敏度分析、参数线性规划等，以帮助学生建立更全面的知识体系。

4.线性规划的扩展内容

-讨论非线性规划的基本概念，介绍如何将线性规划的问题转化为非线性规划问题，以及解决非线性规划问题的方法。

二、拓展建议

1.学生可以通过在线课程或开放课程网站学习线性规划的高级内容，如在线开放课程中的线性规划专题讲座。

2.鼓励学生参与数学建模竞赛，通过实际案例的解决来提升线性规划的应用能力。

3.学生可以阅读相关书籍，如《线性规划与矩阵论》、《现代优化方法》等，以获得更深入的数学理论知识和应用技巧。

4.在课后，学生可以尝试解决一些非线性规划问题，如通过编程实现非线性规划的迭代算法，如梯度下降法、牛顿法等。

5.学生可以组织小组讨论，分享各自在学习线性规划过程中的心得体会，以及在实际问题解决中遇到的问题和解决方案。

6.教师可以推荐一些实际应用的案例研究报告，让学生通过阅读了解线性规划在各个领域的具体应用。

7.学生可以通过模拟软件或在线实验平台进行线性规划的模拟实验，直观地感受线性规划模型的变化对结果的影响。七、课后作业1.作业题目：

一个工厂生产两种产品A和B，生产产品A需要2小时机器时间和3小时人工时间，生产产品B需要1小时机器时间和2小时人工时间。工厂每天有8小时机器时间和10小时人工时间。如果产品A每件利润为100元，产品B每件利润为200元，求每天生产产品A和产品B的最优数量，以实现最大利润。

作业答案：

设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y，则目标函数为最大化利润=100x+200y。

约束条件为：

2x+y≤8（机器时间约束）

3x+2y≤10（人工时间约束）

x≥0，y≥0

解得：x=2，y=2，最大利润为600元。

2.作业题目：

一个农民有20亩土地，种植小麦每亩收入为1000元，种植玉米每亩收入为1500元。种植小麦每亩需要1吨肥料，种植玉米每亩需要0.8吨肥料。农民有15吨肥料。求农民种植小麦和玉米的最优面积，以实现最大收入。

作业答案：

设种植小麦的面积为x亩，种植玉米的面积为y亩，则目标函数为最大化收入=1000x+1500y。

约束条件为：

x+0.8y≤15（肥料约束）

x+y≤20（土地资源约束）

x≥0，y≥0

解得：x=10，y=10，最大收入为25000元。

3.作业题目：

一家工厂生产两种产品，生产产品A需要3小时机器时间和2小时人工时间，生产产品B需要2小时机器时间和3小时人工时间。工厂每天有12小时机器时间和15小时人工时间。如果产品A每件成本为50元，产品B每件成本为70元，求每天生产产品A和产品B的最优数量，以实现最小成本。

作业答案：

设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y，则目标函数为最小化成本=50x+70y。

约束条件为：

3x+2y≤12（机器时间约束）

2x+3y≤15（人工时间约束）

x≥0，y≥0

解得：x=2，y=3，最小成本为680元。

4.作业题目：

一个运输公司负责从两个仓库向三个商店运送货物。仓库A有100吨货物，仓库B有150吨货物。商店C需要50吨货物，商店D需要70吨货物，商店E需要80吨货物。运输成本为：从仓库A到商店C每吨100元，从仓库A到商店D每吨120元，从仓库A到商店E每吨90元，从仓库B到商店C每吨110元，从仓库B到商店D每吨130元，从仓库B到商店E每吨140元。求运输方案，以实现最低成本。

作业答案：

设从仓库A到商店C的货物量为x吨，从仓库A到商店D的货物量为y吨，从仓库A到商店E的货物量为z吨，从仓库B到商店C的货物量为m吨，从仓库B到商店D的货物量为n吨，从仓库B到商店E的货物量为p吨，则目标函数为最小化成本=100x+120y+90z+110m+130n+140p。

约束条件为：

x+y+z+m+n+p=280（总货物量约束）

x≤100，y≤100，z≤100，m≤150，n≤150，p≤150

解得：x=50，y=70，z=80，m=50，n=70，p=80，最低成本为8600元。

5.作业题目：

一家服装店销售两种款式A和B的服装，每件款式A的成本为100元，每件款式B的成本为150元。款式A的利润为每件50元，款式B的利润为每件70元。服装店有1000元的预算用于购买服装，并且需要保证至少销售50件服装。求购买款式A和款式B的最优数量，以实现最大利润。

作业答案：

设购买款式A的数量为x件，购买款式B的数量为y件，则目标函数为最大化利润=50x+70y。

约束条件为：

100x+150y≤1000（预算约束）

x+y≥50（销售数量约束）

x≥0，y≥0

解得：x=10，y=40，最大利润为3500元。八、课堂1.课堂评价：

在课堂教学中，我将采用多种评价方法来监测学生的学习进度和理解程度。

-提问：通过随机提问和小组讨论，我可以了解学生对线性规划概念的理解程度，以及他们是否能够将理论知识应用于实际问题。

-观察：通过观察学生的课堂参与度和互动情况，我可以评估他们的学习兴趣和学习态度。

-测试：在课程结束时，我将进行小测验或课堂练习，以评估学生对线性规划基本概念、建模和解题方法的掌握情况。

为了及时发现问题并进行解决，我会在课后对学生的回答进行反思，并针对学生在课堂上的困惑进行个别辅导。

2.作业评价：

对于学生的课后作业，我将采取以下评价策略：

-认真批改：我会仔细检查每个学生的作业，确保对每个问题的解答都进行了正确的评分。

-点评反馈：在批改作业的同时，我会给出详细的点评，指出学生的优点和需要改进的地方。

-及时反馈：我会在作业完成后尽快将评分和点评反馈给学生，以便他们能够及时了解自己的学习情况。

-鼓励进步：在评价中，我会强调学生的进步和努力，鼓励他们继续努力，并对他们的成就给予肯定。

通过这些评价方法，我希望能够帮助学生识别自己的学习强项和弱点，激发他们的学习动力，并促进他们在数学学习上的持续进步。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学：在讲解线性规划时，我尝试引入实际案例，让学生通过分析案例来理解线性规划的应用，这种教学方法能够激发学生的学习兴趣，并帮助他们更好地将理论知识与实际相结合。

2.小组合作：我鼓励学生进行小组合作，通过讨论和协作解决问题，这种互动式学习不仅提高了学生的团队协作能力，也促进了他们对线性规划概念的理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异：我发现学生在数学基础和理解能力上存在较大差异，这导致他们在学习线性规划时遇到的问题不同，个别学生可能难以跟上课程进度。

2.教学方法单一：在教学方法上，我主要依赖讲解和演示，这可能限制了学生的主动性和创造性，需要寻找更多样化的教学方法。

3.评价方式局限：目前的评价方式主要集中在作业和测试上，缺乏对学生实际应用能力的评估，需要改进评价方式，以更全面地评估学生的学习成果。

反思改进措施（三）

1.个性化教学：针对学生基础差异，我将尝试实施个性化教学，为不同水平的学生提供相应的学习资源和辅导，确保每个学生都