2023八年级数学上册 第二章 实数1 认识无理数教学实录 （新版）北师大版

2023八年级数学上册第二章实数1认识无理数教学实录（新版）北师大版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路本节课以“认识无理数”为主题，通过复习有理数和实数的概念，引导学生理解无理数的定义和性质。课程设计注重理论与实践相结合，通过实例分析和课堂互动，帮助学生掌握无理数的表示方法，并能够进行简单的无理数运算。教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标分析培养学生数学抽象能力，通过无理数的概念引入，让学生理解数系的连续性和完备性。发展逻辑推理能力，通过无理数与有理数的比较，引导学生运用演绎推理来探究无理数的性质。提升数学建模能力，通过实际问题中的无理数应用，使学生学会将实际问题转化为数学模型。增强数学运算能力，通过无理数的运算练习，提高学生的计算技巧和准确性。教学难点与重点1.教学重点，

①理解无理数的概念，能够区分无理数和有理数；

②掌握无理数的表示方法，包括开方开不尽的数和无限不循环小数；

③熟悉无理数的性质，如无理数的平方根、立方根等。

2.教学难点，

①理解无理数的产生背景和意义，帮助学生建立数系观念；

②无理数与有理数的运算，特别是无理数乘除法的计算技巧；

③无理数在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为无理数问题进行解决。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、计算机）、实物教具（如圆、直尺、三角板等）

-课程平台：学校内部教学网络平台

-信息化资源：无理数相关的教学课件、视频讲解、在线练习题库

-教学手段：课堂板书、小组讨论、实际问题解决案例分享教学过程一、导入新课

（1）同学们，我们已经学习了有理数和实数的相关知识，今天我们来认识一个新的概念——无理数。

（2）首先，请大家回顾一下有理数和实数的概念，思考一下它们之间的关系。

二、新课讲授

（1）引入无理数的概念

-同学们，我们知道实数包括有理数和无理数。那么，什么是无理数呢？请同学们结合自己的理解，用简单的语言描述一下。

-学生回答后，教师总结：无理数是不能表示为两个整数比的数，也就是无限不循环小数。

-示例：根号2（√2）是无理数，因为它是无限不循环小数。

（2）无理数的表示方法

-我们可以通过开方来表示无理数。例如，√2是一个无理数，它是根号下的2的开方。

-同学们，请尝试用开方的方法表示出以下无理数：√3、√5、√7。

-学生尝试后，教师讲解：根号下的数越大，无理数的位数就越多，计算时要注意精度。

（3）无理数的性质

-无理数有哪些性质呢？请同学们分组讨论，并尝试总结出无理数的性质。

-学生分组讨论后，教师总结：无理数不能表示为有限小数或循环小数；无理数的平方和立方根也是无理数；无理数与有理数相乘或相除的结果可能是无理数或有理数。

-示例：√2×√2=2（有理数），√2÷√2=1（有理数），√2+√2=2√2（无理数）。

（4）无理数在实际问题中的应用

-同学们，我们刚才学习了无理数的性质，那么无理数在实际问题中有什么应用呢？请举例说明。

-学生举例后，教师讲解：无理数在几何学、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。例如，圆的周长和直径的比例π就是一个无理数，它揭示了圆的性质。

三、课堂练习

（1）请同学们完成以下练习题，并尝试用无理数的概念和性质来解答。

-练习题1：计算√18+√2的值。

-练习题2：判断以下数是否为无理数：1/3、√8、π/2。

-练习题3：求下列无理数的平方：√5、√7。

四、课堂总结

（1）同学们，今天我们学习了无理数的概念、表示方法和性质，以及无理数在实际问题中的应用。

（2）请同学们总结一下，今天我们学到了哪些重点内容？

-学生总结后，教师补充：重点内容包括无理数的概念、表示方法、性质和应用。

五、课后作业

（1）请同学们完成以下课后作业，巩固今天所学知识。

-课后作业1：阅读课本第二章“实数1”的相关内容，加深对无理数的理解。

-课后作业2：收集生活中与无理数相关的实例，并进行分析。

-课后作业3：完成课本第二章“实数1”的习题，巩固所学知识。

六、教学反思

（1）本节课通过实例讲解、课堂练习和课后作业，使学生掌握了无理数的概念、表示方法和性质。

（2）在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力，提高学生的计算技巧和准确性。

（3）针对学生的学习情况，教师适时进行讲解和辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。

（4）课后，教师将收集学生的作业，针对存在的问题进行个别辅导，提高学生的学习效果。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《数学之美》：这本书以通俗易懂的语言介绍了数学的基本概念和原理，包括无理数的起源和发展，适合对数学有兴趣的学生阅读。

-《几何原本》：欧几里得的《几何原本》是历史上最早系统的几何学著作，其中包含了对无理数的初步探讨，对于希望深入了解数学史的学生来说是一本好书。

-《π的故事》：这本书讲述了π的历史、性质和应用，特别是π作为无理数的特性，对于激发学生对无理数兴趣的学生来说非常合适。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试自己证明一些无理数的性质，比如证明√2+√3是无理数。

-探究无理数在数学各个领域的应用，例如在几何学中的圆周率π，在物理学中的自然常数e，以及在天文学中的应用。

-通过数学软件（如Geogebra、MATLAB等）绘制无理数的图形，比如绘制√2的近似图形，观察其无限不循环的特性。

-研究无理数在金融数学中的应用，例如在计算复利时的连续复利公式e^(rt)中，e是一个无理数。

-分析无理数在日常生活问题中的应用，比如如何估算无理数在现实生活中的实际长度或面积。

-学生可以组成小组，选择一个与无理数相关的课题，进行深入的研究和讨论，最后以报告或演示的形式展示研究成果。内容逻辑关系①无理数的概念

①无理数的定义：不能表示为两个整数比的数，即无限不循环小数。

②无理数的表示方法：通过开方、无限不循环小数等表示。

③无理数的性质：不能表示为有限小数或循环小数；无理数的平方和立方根也是无理数；无理数与有理数相乘或相除的结果可能是无理数或有理数。

②无理数的运算

①无理数乘法：无理数乘以有理数或无理数的结果可能是无理数或有理数。

②无理数除法：无理数除以有理数或无理数的结果可能是无理数或有理数。

③无理数加减法：无理数加减无理数的结果是无理数。

③无理数在实际问题中的应用

①圆周率π的应用：在几何学中，圆的周长和直径的比例π是一个无理数。

②自然常数e的应用：在物理学和经济学中，自然常数e是一个重要的无理数。

③无理数在日常生活问题中的应用：如估算无理数的实际长度或面积。课堂1.课堂评价：

（1）提问评价：

-通过提问的方式，了解学生对无理数概念的理解程度。例如，提出问题：“什么是无理数？请举例说明。”通过学生的回答，判断其对无理数定义的掌握情况。

-在讲解无理数的性质时，提出问题：“无理数与有理数相乘或相除的结果可能是什么？”通过学生的回答，了解其对无理数性质的理解程度。

（2）观察评价：

-观察学生在课堂上的参与度，如是否积极举手发言、是否能准确回答问题等，了解学生的课堂表现。

-观察学生在课堂练习中的表现，如是否能够熟练运用无理数的性质进行计算，了解学生的实际操作能力。

（3）测试评价：

-设计针对性的测试题，如选择题、填空题、计算题等，对学生的知识掌握情况进行评估。

-在课后进行小测验，检验学生对无理数概念、性质和运算的掌握程度。

2.作业评价：

（1）作业批改：

-对学生的作业进行认真批改，确保作业的正确性和完整性。

-对于作业中的错误，及时指出并给予纠正，帮助学生掌握正确的解题方法。

（2）作业点评：

-对学生的作业进行点评，肯定其优点，指出不足之处，并提出改进建议。

-鼓励学生在作业中发挥创意，提出不同的解题思路。

（3）作业反馈：

-及时反馈学生的学习效果，让学生了解自己的进步和不足。

-对于学习有困难的学生，给予个别辅导，帮助他们克服学习障碍。

（4）作业展示：

-定期展示学生的优秀作业，激发学生的学习兴趣和竞争意识。

-邀请学生分享自己的解题思路和方法，促进学生的共同进步。课后作业1.作业题目：请计算以下无理数的平方根。

-√18

-√27

-√50

-答案：√18=3√2，√27=3√3，√50=5√2

2.作业题目：判断以下数是否为无理数。

-1/3

-√8

-2.424242...

-答案：1/3是有理数，√8是无理数，2.424242...是有理数（因为它是一个循环小数）

3.作业题目：请将以下无理数表示为分数形式。

-√3/2

-√5/3

-答案：√3/2不能表示为分数形式，因为它是一个无理数；√5/3也不能表示为分数形式，同样是一个无理数

4.作业题目：计算以下无理数乘法。

-√2×√3

-√5×√10

-答案：√2×√3=√6，√5×√10=√50=5√2

5.作业题目：计算以下无理数除法。

-√3÷√2

-√6÷√3

-答案：√3÷√2=√6/2，√6÷√3=√2

6.作业题目：请将以下无理数加减法的结果化简。

-√2+√3

-√5-√10

-答案：√2+√3不能化简，因为它是无理数；√5-√10不能化简，因为它也是无理数

7.作业题目：请将以下无理数表示为小数，并说明它们是无限不循环小数还是无限循环小数。

-√2

-√10

-答案：√2是无限不循环小数，因为它不能表示为有限小数或循环小数；√10也是无限不循环小数，同样不能表示为有限小数或循环小数

8.作业题目：请证明以下无理数加法的结果是无理数。

-√2+√3

-答案：假设√2+√3是有理数，那么可以表示为a/