导学案数学第七章71712复数的几何意义

7.1.2复数的几何意义【学习目标】1.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.3.掌握用向量的模求复数的模的方法.【素养达成】数学抽象直观想象数学运算一、复平面1.复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.2.实轴:坐标系中的x轴叫做实轴,在它上面的点都表示实数.3.虚轴:坐标系中的y轴叫做虚轴,除了原点外,在它上面的点都表示纯虚数.【教材挖掘】(P70)虚轴上的原点对应的复数是什么?提示:虚轴上的原点对应的复数是实数0.二、复数的几何意义1.复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)一一对应.2.复数z=a+bi(a,b∈R)与平面向量OZ一一对应(O为原点).三、复数的模1.定义:向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模或绝对值.2.记法:复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作|z|或|a+bi|.3.公式:|z|=|a+bi|=a2四、共轭复数1.定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.2.表示:复数z的共轭复数用z表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么z=abi(a,b∈R).【版本交融】(人BP29尝试与发现)互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点有什么位置关系?提示:关于实轴对称.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,bi)表示.(×)提示:因为复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)表示,故错误.(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.(×)提示:因为原点(0,0)在虚轴上,但它所对应的复数不是纯虚数,故错误.(3)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.(√)(4)若|z1|=|z2|,则z1=z2或z1=z2.(×)提示:如z1=1+i,z2=1i满足|z1|=|z2|,但z1≠z2且z1≠z2,故错误.类型一复数与复平面内点的关系(直观想象)【典例1】(2024·东莞高一检测)已知复数z=(m22m3)+(m24m+3)i(m∈R)在复平面上对应的点为Z,(1)求点Z在实轴上时,实数m的值;(2)求点Z在虚轴上时,实数m的值;(3)求点Z在第一象限时,实数m的取值范围.【解析】(1)因为点Z在实轴上,所以虚部m24m+3=0,解得m=1或m=3.(2)点Z在虚轴上时,复数的实部为0,所以m22m3=0,解得m=3或m=1.(3)点Z在第一象限,复数的实部与虚部都大于0,即m2-2m-3>0所以m的取值范围是(∞,1)∪(3,+∞).【总结升华】复数与复平面内点的关系(1)关键:复数z=a+bi(a,b∈R)对应复平面内的点Z(a,b).(2)方法:根据复数的实部与虚部应满足的条件,列方程(组)或不等式(组)求解.【即学即练】(2024·巴中高一检测)已知复数z=i2i,则z对应的点Z在复平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为z=i2i=1i,所以z对应的点Z(1,1)在复平面的第三象限.【补偿训练】已知复数z=(m+3)+(m1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(3,1) B.(1,3)C.(1,+∞) D.(∞,3)【解析】选A.由复数z=(m+3)+(m1)i在复平面内对应的点在第四象限,可得m+3>0,m-1<0类型二复数与复平面内向量的关系(直观想象)【典例2】在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C对应的复数分别是2+3i,3+2i,23i,则点D对应的复数为__________.

答案:32i【解析】记O为复平面的原点,由题意得=(2,3),=(3,2),=(2,3).设=(x,y),则=(x2,y3),=(5,5).由题意知,=,所以x-2=故点D对应的复数为32i.【总结升华】复数与复平面内向量的关系(1)关键:复数z=a+bi(a,b∈R)对应复平面内的=(a,b);(2)方法:解决复数与平面向量的一一对应问题时,以复数与复平面内的点一一对应为依据,从而实现复数、复平面内的点、向量之间的相互转化.【即学即练】若O为复平面的原点,向量对应的复数是54i,向量对应的复数是5+4i,则+对应的复数是()A.10+8i B.108iC.0 D.10+8i【解析】选C.由复数的几何意义,可得=(5,4),=(5,4),所以+=(5,4)+(5,4)=(0,0),所以+对应的复数为0.类型三复数的模与共轭复数(数学运算)【典例3】(1)已知复数z在复平面内对应的点位于第一象限,且满足|z|=5,z+z=6,则z的虚部为________.

答案:4【解析】设z=a+bi(a,b∈R),a>0,b>0,则z+解得a=3b=4所以z=3+4i,虚部为4.(2)(教材提升·例3)已知复数z1=3+i,z2=12+32①求|z1|及|z2|并比较大小;②设z∈C,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形?【解析】①因为z1=3+i,z2=12+3所以|z1|=(3|z2|=(-所以|z1|>|z2|;②由|z2|≤|z|≤|z1|,得1≤|z|≤2,根据复数几何意义可知,|z|表示复数z对应的点到原点的距离,所以|z|≥1表示|z|=1所表示的圆外部及圆上所有点组成的集合,|z|≤2表示|z|=2所表示的圆内部及圆上所有点组成的集合,所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心,以1和2为半径的圆之间的部分(包括两边界).【总结升华】当复数的模确定时,复数对应的点到原点的距离是确定的,但对应的点是不确定的,这些点通常形成以原点为圆心的圆、圆面、圆环面等.【补偿训练】1.(多选)已知i为虚数单位,复数z对应的向量=(1,1)(O为坐标原点),z是复数z的共轭复数,则下列关于复数z的说法正确的是()A.z=1iB.若复数z在复平面内对应的点在直线x+ay=2上,则a=3C.|z|=2D.|z|=|z|【解析】选ABD.由题可得z=1i,z=1+i,则|z|=|z|=2,把点(1,1)代入x+ay=2,得a=3.2.设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?(1)|z|=5;(2)2