江苏省专转本（高等数学）模拟试卷5

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷5

（共8套）

（共195题）

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第

1套

一、综合题（本题共2题，每题7.0分，共2分。）

1、设曲线y=x2（03x31）,问t为何值时，图中的阴影部分面积S|与S2之和S1-S2

知识点解析：（1）选择y为积分变量（2）

5=国十&刁汐心十1。一不必=4，|：十，|：一自邛=兴一十九3）求极值

3（r）=4•-1-3-1-2jt—1

令S'Q）=o，驻点t—Y

S，3=2.”*）=*＞。

i-4为极小值点，由单峰原理，也是最小值点

,••当＜时S|+S”最小.

_..Ia|=6,|b|=1,，b）=。.（p,o）.

2、已知6,求p=a+b,q=a—b的夹角.

arccos^

标准答案：々

1AI23-1

cos（p.q）p•q

\pV\q]一IplIgl-TTTTgT-Ipl\q\0..

知识点解析：（1）\^)•IpI

73_

2G•17

2.-Ia+bI2=(a+b).(a+b)=IaI2+IbI22(a.b)3+l+*2又|q|2=|a—

、、,流•巡=4-3=1

bI-(a-b).(a—b)=IaI2+IbI2—2(a.b)=3+l—2

A92

Acos(p.g)=----=—.

1•Jl41

A2

故(p,q>=arccos-.

41

二、证明题（本题共7题，每题7.0分，共7分。）

3、设b>a>0,证明：adyJybf(x)e2x+yydx=L%3x—e2x+a)f(x)dx.

标准答案：

积分域D：积分域又可表示成

丫/工0b,1。&y4工，

|d>|/(x)e2r*ydz=jj/(x)e2*+,=|drj=j/(z)et,dzje2,dy

J/(x)elx(ex—€*)dx=J(e“一/1)/(□：)dr.

疝识点解析：暂无解析

三、选择题（本题共6题，每题，。分，共6分。）

[1-/（X）

4、已知f（0）=0,f（0）=l,则i工=（）.

A、1

B、0

C、一1

D、不存在

标准答案：A

Jim回=lim今=*1

知识点解析:该式利用洛必达法则,JT^OXr-*0X1所以选A项.

5、若【八""=*i+/1"）+°则仪*）等于（）.

A、.InCx+yi-R?）

1

B、际"

一.

「（1+”

]

D^

标准答案：C

人力=悬言・则/（幻=（I1凌正

知识点解析：对等式两边求导得：“十

6、当x>0时，万丘一片1为x的（）.

A、高阶无穷小量

B、低阶无穷小量

C、同阶，但不等价无穷小量

D、等价无穷小量

标准答案：D

(，l+z-/I-z)(/l+z+/l-N)

x^Ox(八+N+yi-x)

=i.

知识点解析：根据等价无穷小量的

定义，故选D项.

7、方程x?+y2=4x在空间直角坐标系中表示（）.

A、圆柱面

B、点

C、圆

D、旋转抛物面

标准答案：A

知识点解析：x2+y2=4x->x2—4x+4+y2—4->（x—2）2+y2=22,在平面坐标系中，

这表示一个圆，而在空间坐标系中，这表示母线平行于Z轴的圆柱面.所以选A

项.

广—dr

8、若广义积分人工*收敛，则P应满足（）.

A、0<p<l

B、p>l

C、p<-1

D、p<0

标准答案：B

fJdz收敛;当P&l时,

1方发散.

知识点解析：当p>I时，人”

9、设对一切x有f(-x,y)=-f(x,y),D={(x,y)Ix2+y2<1,y>0}D={(x,y)Ix2+y2<l,x>0,

||]/(xty)dxdy

y>0),则"=().

A、0

4/(N,_y)dzdj

20/(1,y)dxdy

c、>

4口/(z,y)dLrdy

标准答案：A

知识点解析•：如图，根据题中条件画出积分域，积分域关于y轴对称，又f(一x,

y)=-f(x,y),即被积函数是关于x的奇函数，由积分对称性原因

/(x，3z)drd>=0.—

四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

limvcosJ-i

10、i*

标准答案："

\lim(cos-Zz)*

知识点解析：本题是考查塞指函数求极限，先把极限变形为,此题

是形如严型的不定式，可以利用两个重要极限公式的推广公式求解

lim(cos«/z)*=lim[1+(cosTx-1)]*=。匕。*±=e—,

11、函数f(x)=2x2—x+1在区间[-1,3]上满足拉格朗日中值定理的

9__________•

标准答案：匕=1

-』⑶二/LD=3

知识点解析：由已知可得r(x)=4x-1,令3—(一D,解该方

程即为满足拉格朗日定理的q=1.

0drdy

12、,其中D为以点0(0,0)、A(l,0)、B(0,2)为顶点的三角形区域.

标准答案：一1

知识点解析：J(?xr(x)dx=Joixdf(x)=xf(x)Io1-Jo，f(x)dx=f(l)-3=2-3=-1?

n讲八"'"=用"+》'则鼠;二;一

15、取一_____________。

U=JL

标准答案：2、一，

因为支工—=J，所以F"T-

3y-1-X.笈2"+,dy2

知识点解析：2X

Jdrh/Cr,y)dy

14、交换一次积分次序八人

j,dyJy(z，，)dr+j]dyj/(x»y)dx

知识点解析：由原二次积分可知原函数的积分区域D如图a,显然原二次积分是按

X一型看待的，现在我们按照Y一型看待，如图b,则原二次积分可以写成

「dy)/(工，y)dx+jdyj/(x»y)dz.

15、微分方程yy'+xxY力满足yIx=l=0的特解为

标准答案;2T2

2T2

知识点解析:

五、解答题(本题共8题，每题1.。分，共8分。)

16、求极限ixtaar

=lim^^=lim瞑=lim导=j

杨^避:案.Xt&nxx-M)Xrx-M)ZXLO44

知识点解析：暂无解析

———7dx.

17、求(1+/

标准答案：设arctanx=t,x=tant,则:

tanZg，.

-------vdzsec^tdi=tan/cos^•Jdz=』sin/dr

(1+x2)}sec3f

=1sin/d^=efsinZ—卜cos/d/

=Jsinz-cosxde*=?sinz-co必'-dsin/dt=/siru-co必'-I

则I=J/sinz—gdcosi+C,

所以原式7丁常?--■-4-C.

/TT?

知识点解析：暂无解析

18、z=(x+y)exy,求ddz.

因为量=—+(工+y)~.»=(1+个+力产

=(14-ay+")L

2

标准答案,所以&=(14-xy+(H-xy+<r)~d券

知识点解析：暂无解析

「

19、求J~"+3

J二露乙=打二高+一=雪二(孑+［倩)

=停.2傍)|二=以包arm啥一的给

标准答案：一§住一(一切卜家.

知识点解析：暂无解析

20、求y'—(cosx)y=eSEx满足y(o)=l的解.

标准答案：这是一阶线性非齐次微分方程，其中P(x)=-mcosx,Q(x)=esinx.于是方

程的通解为：y=e-P(x)dX[jQ(x)Mx)dXdx+c]=eJ(-c°sx)cX[cSinxJ(-cosx)dXdx+C]

=esinx(esinxe-sinxdx+C)=exinx(x+C).由y(0)=l,得C=L故所求解为:

y=esinx(x+l).

知识点解析：暂无解析

21、设z=xf(x2,xy),其中f(u,v)的二阶偏导数存在，求.力、

3

=2工S'工+〃(，21・2x4-/"a•y)=2x/\4-2x/*na

2i

^7-=21f'2-+-x(/*2i•2X+AZ•y)=2xfi+2xf2\+/“22

标准答案：工

知识点解析：暂无解析

22、求函数y=x—ln(x+l)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间.

标准答案：①函数的定义域为(-1,+00)；②・•・,=1一乔I令y，=o,得驻点

x=0.又"=(N+D>°XE(—1,+oo),于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹

区间为：(―1,+8)；③又-IVxVO时，y，VO,函数递减；OVxV+8时，、'>

0,函数递增，故函数单调递减区间为：(一1,0)；递增区间为：(0,+8)；且函

数在x=0处取得一极小值f(0)=0.

知识点解析：暂无解析

yG—5一

23、求幕级数W布的收敛域.

则原式=ST=

标准答案：令x-5=t,小行收敛半径为：

R=lim=lim——■—=1~

后不当t=i时，级数发散；当t=-i时，级数

⑤(=1):J—S"§尸

■一】n收敛.所以级数一而的收敛域为［一1,1),那么级数in的收

敛域为［4,6).

知识点解析：暂无解析

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第

2套

一、综合题（本题共3题，每题1.0分，共3分。）

1、试求由抛物线（y—2产=x-1和与抛物线相切于纵坐标y（）=3处的切线以及x轴

所围成图形面积.

标准答案：抛物线（y—29=x-1,顶点在（1,2）,开口向右，切点y坐标为3,则

x坐标为2,则切线斜率为"='LJ而'=2GL2）'所以k=｝切线方程y—3=

—,（X—2）O

2,改写成x=2y—4.S=f（）［（y-2）2+1一（2y-4）］dy=9.

知识点解析：暂无解析

2、从半径为R的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为

最大？

标准答案：设余下部分的圆心角为中时所卷成的漏斗容积V最大，漏斗的底半径

则2M=Rp,h=JR，—J,

V==../肥一产.

iJ

v-a俯十+一高，.0,

33

r=专'R此时夕=贫=孥m

即当余下的圆心角为「=擎"时漏斗容积最大

为r,高为h.

知识点解析：暂无解析

I、JeTZT；，0CX<50

y（H）=131x

3、某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是x>5°其中x

A

为正数，每生产一件产品可赢利A元，但生产一件次品要损失§无，问为了获得

最大盈利，每天的生产量为多少？

标准答案：设日生产量为x件，日利润为u元，则日次品数为xy件，日正品数为

（x一xy）件.因为当x>50时次品率为I,为获最大利润故必OWxV

于是日利润为u—A(X—xjr)—♦(0^j?<50)

J

“'=A(1—y_zy')一等

I3

令“'=0,得y+工、'=春.

50.将尸在代人,解得k5】±"I7.即38或x=59.25,舍去

x=59.25.比较u(0)=0.u(42)=166.4,u(43)=189.9的值，故日生产量为43件

时，获得最大盈利.

知识点解析：暂无解析

二、证明题(本题共［题，每题分，共1分。)

4、设f(x)在［0,1］连续，f(x)Vl,又F(x)—(2z—1)—Mf(t)dt,证明F(x)在(0,1)

内有且仅有一个零点.

标准答案：Mx)在［0,1］上连续，・・・F(x)在［0,1］连续.又F(0)=-1V0,

F⑴=1一1/(力山^^1一/(£),£6(0,1)u而mi、、

J。f(x)<l,.,.^£)<1,从而F(l)>

0.由零点定理知F(x)在(0,1)内至少有一个零点.又F<x)=2—f(x)>0,・・・F(x)在

|0,1|上严格单调增加，所以F(x)在(0,1)内最多只有一个零点，从而F(x)在(0,1)

内有且仅有一个零点.

知识点解析：暂无解析

三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)

5、已知连续函数f(x)满足t(x)=x2+xfo't(x)dx,则f(x)=().

A、f(x)=x2+x

B、f(x)=x2—x

9

/(X)=X24--YX

c、

/(x)=x24-rx

D、

标准答案：C

知识点解析：用代入法可得出正确答案为C

/sin-，1#0

/(x)=-x

6、函数0,x=0在x=0处().

A、连续但不可导

B、连续且可导

C、不连续也不可导

D、可导但不连续

标准答案：B

lim/(x)=limj?sin-=0,lim/(x)=limx^sin—=0.

i*71i-x

lim/(x)==/(0)=0,则此分断函数在x=0处连续.

又=lim'‘工‘一怒"=lim---------=limxsin——0.

lim/(x)lim一/⑹=•---=limxsin=0.

I-I-工一01一1I-工

则故分段函数工可导.

知识点解析：Ilim，f(xTlim/Ct),=0

y=-----

7、关于tanr的间断点说法正确的是().

A、x①2为可去间断点

B、x=0为可去间断点

C、x=k兀为第二类无穷间断点

D、以上说法都正确

标准答案：D

,(工)=—^―Hm/(x)=0

知识点解析：taoz的间断点为‘为可去间断

lim产=1,

点.对于x=kx,当k=0,即x=0时，1tx=0为可去间断点.当厚0时，

lim,左=8,z=An

「ztanz为第二类无穷间断点.

f[Jx^+—drdy

8、设D：x2+y%R2,则"=().

|j/?dxd>=xR3

B>jo2nd6foRrdr=7tR2

C、I词:"=4#

D、fo27Id0fokR2dr=27tR

标准答案：C

知识点解析：在极坐标中，0<r<,R,0<e<27r,

jjJ3+，dxdy=J。时:/dr=yitR3

9、抛物面^+12+万在点Mo(l,2,3)处的切平面是().

A^6x+3y—2z—18=0

B、6x+3y+2z—18=0

C、6x+3y+2z+18=0

D、6x-3y+2z-18=0

标准答案：B

知识点解析：

=0.

2（一

10、基级数1的收敛半径是（）.

A、0

B、1

C、2

D、+00

标准答案：B

p=lim皿+]I=limI1I=1

收敛半径R=1=L

知识点解析：P

四、填空题（本题共6题，每题1.0分，共6分。）

11.吧户访-z，则@=

b=________

标准答案：一4；3

I-d+or+b__-1(H-2工+。_9

知识点解析:x2-4-2''2x—3并且x2+ax+b=0,所以a=

-4,b=3.

du

12、u=f（xy,x2+2y2）,其中f为可微函数，则五二

标准答案：yfi+2x「2

知识点解析：令V=x?+y2,则u=f(w,v),

^=//w(w,v)•y-^-fAwfv)・2x

13、已知函数f(x)=alnx+bx2+x在x=l与x=2处有极值，则a=,

b=.

_2__1

标准答案：6

知识点解析：由题意可知：

，(幻=弓+2&r+=0,/(2)=0=>a=一々,b=—[.

14、a,b为两个非零矢量，入为非零常数，若向量a+小垂直于向量b,则入等于

标准答案：1b产

知识点解析：a+Xb垂直于向量b—>(a+?vb).b=O.

15、已知f(cosx尸siiFx,则Jf(x-l)dx二.

-3

—±_-1-C

标准答案：3TT

/(co&z)=sin2x=1-cos2x=>/(x)=1—/

知识点解析」外一m-(工-】)强=++〃+。

16、已知f(x)=e、2,f[(p(x)l=l—x,且(p(x)沙，则(p(x)的定义域为

标准答案：x<0

知识点解析：

兀6工)]="8==所以仅工)=一工)，于是1一工

21,即140.、

五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

17、设y=xtanx,求y，.

y=61mdM•(sec2*•Inz+tanz・《)

标准答案：y=xtanx=elnxunx=etanxlnx…•（黑+詈）・

知识点解析：暂无解析

18、分析“""㈣讦声的间断点，并指明其类型.

-l,x<-1

0,x=-1

-1,-1<X<1

0,上=1

标准答案：【一1，£>1间断点为一1,i.f(一1一o)=—1,f(一i+o)=i,x=一

1，第一类跳跃间断.f(l-o)=l,f(l+o)=-1,x=l,第一类跳跃间断.

知识点解析：暂无解析

19、求

f1>_f2—coax._f2d(tanx)_fd(sinx)

J24-cosxJ4—cos^zJ4tanfx+3J3+sin'#

1/2tanr\.1(2sinx\._

=万,3「(丁)场际丽(7rJ+C

标准答案：

知识点解析：暂无解析

20、设z=f(2x+3y,xy)其中f具有二阶连续偏导数，求好力

标准答案：根据复合函数求偏导数法则，为方便表示令

〃=2x4-3y,v=xy,­=Zf「

+W；

缶-=2(q・3+丘•力+y(乂，•3：•x)+/w.

因为二阶偏导在定义域内连续，所以/:=，一合并得

暮=6/：+(21+3山丘+卬/：+£・

oxoy

知识点解析：暂无解析

21、在一1和2之间求值C,使y=一x,y=2x,y=l+Cx所围图形面积最小.

标准答案：三直线所围区域如图，设其面积为S(C),贝I」：

S(O=f[(14-Cx)—(―x)Jdx

J

++Cr)—2x]dx

=J、Cl+(C+l)N〕dz+j^[l-F(C-2)x]dx

=1I1

-2(C4-1)2(C-D*

令火©=孔。+株能0、=。，得c=G

当一1VCV/时w(c)v(h当十VCV2时S(C)>0,由极值点的唯一性知,

当1=£时，三直线所图图形面积最小.

知识点解析•：暂无解析

[,(半第十丹粒.

2T求JT'1+11+Z，

因为普登为奇函数，僵J为偶函数，所以

原式=2:信=立1+-=ln2.

知识点解析：暂无解析

23、求2yy'+2xy2=xe"2的通解.

(y)z4-2xy2=xe~^，令“=y2,则

2

%+2JCU=JX~^9p=2xtq=xe~^,Jpdr=x,

所以%(工)」神"=JQ："/业=J。,

杆件如”则L(色+少-'，即=(#+)"，其中C为任意常效

怀他合柒：

知识点解析：暂无解析

1(1-/r2+-

24、计算二重积分“其中D是第一象限内圆x?+y2=2x及直线

y=0所围成的区域.

=Jo而Jo(1一

=J：得-"P)I7]必=f<2co?«-fcoss5)dtf

=j：(1+cosWcW—I"J1(1—sin'8)dsiM

=(夕+3sin^)『―4(siM_[sin%)|'=A_AXf-

标准答案：\2"。313/Io23329,

知识点解析：暂无解析

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第

3套

一、综合题（本题共3题，每题L0分，共3分。）

1、求椭球面？+12+听二1在点Mo（l,2,3）处的力平面和法线方程.

设F（x,>,z）=.+.+[—1,则

0JL44<

P=•F=~f~t

・3y6.27

£(1,2,3)=•1,吊(1,2,3)=孑,F.(1,2,3)=卷,

标准答案：所以切平面方程为蛆一】）+如一幻十卷&-3）=°,即

法线方程为，生二4=七逐=七型

6x+3y+22—18=0,丽万程加632

知识点解析：暂无解析

2、设平面图形由曲线y=l—x%X））及两坐标轴围成.⑴求该平面图形绕x轮旋

转所形成的旋转体的体积；（2）求常数口的值，使直线y=a将该平面图形分成面积

相等的两部分.

标准答案：如图，利用定积分几何意义(1)该平面绕X轴旋转所

形成旋转体体积为V=J(?兀(1—x2)2dx=J(?兀(1—2x2+x4)dx=

J2'41_8

Kx—z-or4--Z-JQTT=7=K.

L35」015(2)由题意，直线y=a将平面分成面积相等的两部分

1(I-_y)，dy=[(1—y)$dy,积分得一•!■[(】一、)+]；=——夕)，工,却

Q-—1=—(1一a)*,解得0=1—d

知识点解析：暂无解析

3、有一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，然后将四

边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积

最大？

标准答案：设截下的小正方形的边长为xcm,则正方形容器的底边长48—2x,高

为x,容器为V(x)=(48—2xpx,其中x的变化范隹是0VxV24,V，(x)=(48—

2x)(48—6x),令V'(x)=0得，驻点坐标x=8,x=24(舍去)，V"(x)=24x—384,

V"(8)=-192V0,所以x=8,是唯一的极大值点，也是最大值点，最大值是V(8尸8

192.当截去的小正方形的边长是8cm时，容器的容积达到最大8192cm3.

知识点解析：暂无解析

二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)

«+成立.

4、证明：对x>0,则工

广浒夕,令人力工)=笈一普=6修俎O.

标准答案：xk,解得：x=2,故

即

f(2)=4+8=12,R+8尸+oc,10+0)=+8,fmin(x)=12,工

知识点解析：暂无解析

三、选择题(本题共6题，每题7.。分，共6分。)

5、已知Jf(x)dx=e"+C,贝ijj『(一x)dx=().

A、2e-2x+C

n右产+C

B、2

C>-2e2x+C

标准答案：C

知识点解析：原式两边分别求导得，f(x)=2e2x,再两边求导，得「(x尸4e?x,则「(.

x)=4e-2t.K(一x)dx=f4c-2xdx=-2fc2xd(-2x)=­2e-2x+C.故选C项。

6、在下列极限求解中，正确的是

Avsinx_.

A.11017-7-；-----<=1B.sinCx24-1)=1

D.瞥rrjr

B、

C、

D、

标准答案：D

sinx

ln(l-x)

2

=0,而sind+l)有界，所以lim47sinCr+1)=0,

**-I1一eoX-T1

lim7=lim甲=2.

知识点解析:IN-1—11

7、下列级数中条件收敛的是

看HIT

«sinR萨1尸券

f(一D'D・叁心+十)

MInn

().

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

知识点解析:

nn

sinTii18sin等

4壬4方，而2%收敛，所以宫（一1尸鬲绝对收敛.

n24-2

〃+1

因为XIa„|=X券，limI2I=lim--—=J,

3^^«»|a.In3

F

XI&I收敛.故玄（一1尸r^-T绝对收敛.

o-L

OO

S不青为交错级数,且其通项的绝对值在趋于0,据莱布尼兹准则知，它是收敛

级数.

另外21。・i=X高，由于之〉:，而词和级数2!发散，据第一比较准则知

Ei&I发散,故此级数条件收敛.

8-

W>（1+0）=>S・=|n2+ln£+・・・+ln山=ln（n+l）,

limS.=limS+1）=oo,

ir«o

£、（1+《）发散.

8、曲线y=x，-3x在开区间（0,1）内为（）.

A、单调上升，且上凹

B、单调下降，且下凹

C、单调上升，且下凹

D、单调下降，且上凹

标准答案：D

知识点解析：当OVxVl时，y,=3x2-3<0,y"=6x>0.曲线单调下降，且上

凹，故选D项.

9、若直线I与Ox平行，且与曲线y=x-ex相切，则切点坐标为（）.

A、（1,1）

B、（一1,1）

C、（0,一1）

D、（0,1）

标准答案：C

知识点解析：根据题意得：y'=（l一炉）'=0得x=0,代入得广一I.

10、i

CAD.-4

u2

().

A、

B>

C、

D、

标准答案：C

■mcos2z_8S3Z=__5

知识点解析：使用洛必达法则可知：T尸一5'根据f(x)在x=0处

____5

连续，可知

四、填空题(本题共6题，每题分，共6分。)

11、定积分Jo取一l|dx=.

标准答案：1

知识点解析：J(?|x—l|dx=d(l—x)dx+JJ(x—l)dx=

卜一5I"管—1)|；=4+/八

12、曲线y=4一片T的拐点是-------

标准答案：(1,4)

当x=l时,y=W(z—1)7=0.

知识点解析：9当x€(—8,1)时，y"<0,

而当xW(l,+8)时,yu>0,当x=l时,y=4,所以拐点是(1,4).

13、若“则flf(f(x))]=

标准答案：x

1=1

1一71/（/）11_____1___

1-/（X）

知识点解析：11一力

14、已知a,b均为单位向量，且“

则以向量a.b为邻边的平行四边形的面

积为_____

国

标准答案：2

知识点解析：根据向量叉积，以向量a,b为邻边的平行四边形的面积为

_1_，所以COS^——

S=|a|.|b|sin9=a.b,由已知,|a|=l,|b|=l»a.b=|a|.|b|cos9=*2可得$而°=

M得平行四边形面积—喙

VX-

15、一17+1的收敛半径和收敛域为.

_

j_r_11

标准答案：个L2,2」

・・_2・

…一

:.R=limII=lim=1

1t.M-32（。+1）/

当“=+时，级数与毒1(一打=£片，收敛;

当工=4时，级数与后(打=£露，收敛•

故原级数收敛域为[一+3].

知识点解析:

16、若A6T7冽像堵儿…=

脩-⑸

标准答案:

把（1,一1）代入即可.

知识点解析：3x"""dy"炉+'

五、解答题（本题共8题，每题1.0分，共8分。）

17、设方程ex+ysin(x+z)=O确定z=z(x,y),求dz.

标准答案：L1一tan(x+z)]dx一tan(x+z)dy

>+y,=x+y,=x+y

知识点解析:⑴令F=esin(x+z),Fxe[sin(x+z)+cos(x+z)]Fyesin(x+z),

—sin(H+z)-8s(1+z)

-1-tan(x-Fz)

cosQ+z)

而___sin(-+z)_.,、

x+d=

F/=eyCos(x+z)y~笆一cosGc+z)__所(”+丁

dz=[-1—tan(x+z)]dx-tan(x+z)dy.

/c'+，drdy,

18、计算二重积分用，其中D={（x，y）|x2+y±2x,在0}.

16

标准答案：9

£/dxdy=jjp2dpd0=j：回。ffdp=当：8s，侬=»y.

知识点解析：

Sisinfl

19、判别3的敛散性，若收敛，是绝对收敛或条件收敛.

标准答案：绝对收敛

⑴这是任意项极数字|5in詈

（2）v|^sin^|<l（"竽卜1）,且£/收敛,

-sinq-

故X-T-绝对收敛.

知识点解析："

yG-2》

20、求士《+1）・3■的收敛半径与收敛域.

标准答案：收敛半径一1VXV5,收敛域［一1,5）

⑴・；p=lim咄=lim或

知识点解析：-।&iAGi+2)3...收敛半径R=3有一3V

(2)当N=5时，与小发散(调和级数)；

co

当工=一】时，收敛(莱布尼兹级数).

X—2V3即一1VXV5.c】九十，(3)级数的

收敛域为［-1,5).

21、求也=1一x+y?—xy2的通解.

标准答案：［2)

或

知识点解析：(1)判别方程的类型：%=(1一x)+y2(l一x)=(l一x)(l+yb可分离变

=(l-x)dzj=J(l-x)dz

arctany="/+C.即y=的传一%立).

里.1J4土

22、求y"+6y'+l3y=0满足y(0)=3,y'(0)=-1的特解.

标准答案：y=e-3x(3cos2x+4sin2x)

•__一6士,36—52,।.

..・n,：------------5---------—-3±Z91.,

知识点解析：(1)・.・)+6「+13=0,2(2)通解y二e-

3x(Cicos2x+C2sin2x).(3)特解：：丫⑼=？，H=Ci，y,=-*3e-

3x(Cicos2x+C2sin2x)+e,x(—2clsin2x+2C2cos2x).•.?'(())=一1,一1二一9+2C?,

•••C2=4.特解为y=e-3x(3cos2x+4sin2x).

设求dy.

工+

23、,1+1

dy—；,dx

标准答案：x八+工

⑴y=ln(5/14-x—1)—ln(yiTT4-1)

(2)y=—=L--------——-——L------------—=—1

v14-x—1"1+IJi+工+1"1+工xy/\4-x

(3)dy=—^=dx

知识点解析:x0+N

24、求由方程x?y2+y=l(yVO)所确定y=y(x)的极值.

标准答案：极大值y(0)=l

知识点解析：⑴求驻点：2xy2+x22yy，+y，=0,令y，=0,2xy2=0,(y>0)一驻点

x=0.(2)判别极值点2y2+2x2yy,+4xyy,+2x2(y,2+yy,,)+y*'=0,当x=0时y=l代入上

式2+0+0+0+y”(0)=0,y"(0)=-2<0.x=0为极大值点.(3)极大值y(O)=l.

江苏省专转本(高等数学)模拟试卷第

4套

一、综合题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)

1、设函数g(x)=l12',问g(x)是否有间断点、不可导点?若有请

指出。

*洋烬安limHmVx

标准答案：一—Lga户IY4)--],L-i+g(x)=*—1+=一1,g(一

lim|*

1)二一1，・，・g(x)在x=—1处连续.,・•1-8-g(x)一叩X=—*2,

../\!.N+16

hmg(x)=hm—―

1z=2,g(8)=2,J.ga)在x=8处连续，•・§'(-1一O)=

X+1H+14g，(-i+o)=

g(x)—g(—1)yfx—(—1)1

X4-1工+13.-.x=-1是g(x)的不可导点,

「g(x)—g(8)].一Jx—21_11

hm--------------------hm-------z-o3

0)=・8x-8--x-8312|,g<8+0)=

♦+16

g(x)-g(8)_12」

，吧—7^8，尔工一8一诵,・・.x=8是g(x)的可导点，于是知g(x)在

(—00,+00)内连续，没有间断点；X=—I是g(x)的不可导点。

知识点解析：暂无解析

2、某厂生产某产品，年产量为x(百台)，总成本Q万元)，其中固定成本为2万

元，每产1百台成本增加If一一1‘一一’可销售此种产品4百台，其销售总收

41一行/.04工44

,8,Q4

人R(x)是x的函数，R(x)=，问每年生产多少台时总利润最大？

标准答案：设销售量为x百台，c(x)=2+x,则利润函数L(x)=R(x)—c(x)=

4x—2-2-x=3JT—2—2,04z44

8_2_工=6-].了>4所以L，(x)=a由U(x)=O.得

x=3o计算L(0)=—2,L(3)=9---2=2.5,L(4)=2,L(+co)=-co,由此可得：

Lmax=2.5—L(3),所以每年生产3百台时总利润最大。

知识点解析：暂无解析

设有抛物线y=4x-x2,

3、抛物线上哪一点处的切线平行于x轴?写出该切线方程。

标准答案：y=4x—x2,y，=4—2x要切线平行于x轴，令y，=4—2x=0,得x=2,代入

y=4x—x2得y=4,故抛物线y=4x—x?上(2,4)处的切线平行于x轴，该切线方程

为y=4«

知识点解析：暂无解析

4、求由抛物线与其水平切线及y轴围成的平面图形面积。

标准答案：由抛物线与其水平切线y=4及y轴围成的平面图形面积为A=f2o[4-

]冈

223444

(4x—x)]dx=(4x—2X+3X)|0=0A=fo[(2—)—O]dy=[2y+]|o=

知识点解析：暂无解析

5、求该平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积。

标准答案：该平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积为-(4x—x2)2]dx=

224

15”。该平面图形绕y轴旋转所成的旋转体体积为丫丫=兀『0[2一回『dy=

知识点解析：暂无解析

二、证明题(本题共，题，每题7.0分，共7分。)

6、证明：曲线6+6二万上任意一点的切线所截两坐标轴的截距之和等于a。

(a>0)

iiiiJy

-♦・，・+-•——•y--

标准答案：方程两端y对x求导有2G2G=0所以y』后过点(x,y)

的切线方程为Y—y=6(X—x),这里(X,Y)为切线上点的流动坐标。令X=0

得切线在y轴上的截距为Y=y+弓，令Y=0得比线在x轴上的截距为X=x+

国,所以两截距和为x+2厉+y=（6+Q）2=a,故得证。

知识点解析：暂无解析

三、选择题（本题共6题，每题1.0分，共6分。）

/（£）

7、已知f（0）=0,"0尸1，则,叫X=（）。

A、

B、0

C、一1

D、不存在

标准答案：A

EA史臼

8、若」f(x)dx=ln(x+/l+l2)+C,则式x)等于()。

A、ln(«r+/】+彳2)

•/1+/Z

(1