数学知识巧解学案：平面向量数量积的物理背景及其含义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的数量积与投影1。平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a｜｜b｜cosθ叫做a与b的数量积(或内积），记作a·b，即a·b=|a｜|b｜cosθ。根据定义，若a=0，则0·b=0.所以规定：零向量与任一向量的数量积为0,即0·b=0.误区警示两个向量的数量积是两向量之间的一种新的乘法,与实数的乘法是有区别的,注意区分以下几点：①两向量的数量积是个数量，而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定.②两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b）是不同的.③在实数中，若a≠0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b=0不能推出b一定是零向量。因为其中cosθ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b=0。④已知实数a、b、c(b≠0），则ab=bca=c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b=b·ca=c.⑤对于实数a、b、c有（ab)c=a(bc)，但对于向量a、b、c，(a·b)c=a（b·c)未必成立，这是因为（a·b）c表示一个与c共线的向量，而a(b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b）c=a(b·c）不一定成立。2.向量a在b方向(或b在a方向）上的投影图2-4-2如图2-4—2，已知=a，=b，过B作BB1垂直于直线，垂足为B1，则OB1=|b｜cosθ.|b｜cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，同理，|a|cosθ叫做a在b方向上的投影。a·b的几何意义是：数量积a·b等于a的长度|a｜与b在a方向上的投影｜b|cosθ的乘积，或b的长度｜b|与a在b方向上的投影｜a｜cosθ的乘积。二、两个向量的数量积的性质设a、b都是非零向量，1.a⊥ba·b=0.证明：若a⊥b，则a与b的夹角θ=90°，所以a·b=｜a||b｜cos90°=0；反过来，a·b=|a｜|b|cosθ=0,因｜a|≠0，|b｜≠0，所以cosθ=0,所以θ=90°，则a⊥b。学法一得数量积的这条性质是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.2。当a与b同向时，a·b=|a||b｜;当a与b反向时，a·b=-｜a｜｜b|。特别地,a·a=a2=｜a|2,或|a｜=.学法一得该条性质实现了实数与向量的联系，我们在求向量模时，往往先求模的平方，借助向量的数量积运算进行。3。｜a·b|≤|a｜|b|。由数量积的定义a·b=｜a||b｜cosθ可知｜a·b｜=｜a｜|b｜|cosθ|.∵0≤θ≤180°，∴|cosθ｜≤1。∴｜a·b｜=|a｜|b||cosθ｜≤|a｜|b｜.学法一得由1、2、3这三条性质可知，向量的数量积可以用来处理有关长度、角度、垂直的问题。三、平面向量数量积的运算律已知向量a、b、c和实数λ。1。a·b=b·a。证明:设a与b的夹角为θ，则a·b=|a||b｜cosθ，b·a=｜b｜｜a｜cosθ,∴a·b=b·a。2.（λa)·b=λ(a·b)=a·（λb)。证明:若λ>0,（λa)·b=λ|a||b|cosθ，λ(a·b）=λ｜a|｜b|cosθ，a·(λb)=|a｜|λb|cosθ=｜a｜|λ｜|b｜cosθ=λ｜a｜|b｜cosθ，∴(λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）.若λ〈0，(λa）·b=｜λa|｜b|cos（π-θ)=-λ|a｜|b|(-cosθ）=λ|a｜|b|cosθ，λ（a·b)=λ｜a||b|cosθ，a·（λb)=|a|｜λb｜cos(π-θ）=—λ|a|｜b｜（—cosθ)=λ|a|｜b|cosθ。∴（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）。3.（a+b）·c=a·c+b·c。学法一得要推证向量数量积的运算律，要利用数量积的定义表示出左边与右边，因为实数的运算律是已知的，从而借助已有的实数的运算律来论证向量数量积的运算律。把未知的问题转化为已知的问题来解决,体现了化归思想的运用。典题•热题知识点一平面向量数量积的定义例1判断下列各题正确与否:①若a=0，则对任一向量b，有a·b=0；②若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0;③若a≠0，a·b=0，则b=0；④若a·b=0，则a、b至少有一个为零向量;⑤若a≠0，a·b=a·c，则b=c;⑥若a·b=a·c，则b=c当且仅当a≠0时成立。答案：①√；②×；③×；④×；⑤×；⑥×.例2已知|a|=4，e为单位向量，它们的夹角为,则a在e方向上的投影是__________；e在a方向上的投影是__________。思路分析:a在e方向上的投影是｜a｜cos=4×(）=-2;e在a方向上的投影是｜e|cos=1×（）=。答案：—2知识点二两个向量的数量积的性质例3已知|a|=|b｜=5，a与b的夹角为,求｜a+b|，｜a—b|的值。解:∵｜a+b|2=a2+2a·b+b2=25+25+2|a｜|b|cos=75，∴|a+b|=.同理|a—b｜2=a2-2a·b+b2=25+25—2|a｜|b｜cos∴|a—b|=5。方法归纳由数量积定义式a·b=｜a||b｜cosθ得cosθ=，它是一种等价形式，侧重于两向量的夹角问题。求向量的夹角或平面几何图形中求角的问题可考虑用这个性质来解.例4已知a、b，a·b=40，｜a｜=10，|b|=8.求a与b的夹角.解：∵a·b=｜a||b｜cosθ，θ为a、b的夹角,而a·b=40，|a|=10，｜b｜=8，∴cosθ=.∴θ=60°，即a、b夹角为60°。例5已知|a|=2，｜b｜=，a与b的夹角为45°，λb—a与a垂直，则λ=_________.思路分析:∵λb—a与a垂直,∴(λb—a)·a=0，即λa·b—a2=0.∴λ·cos45°-4=0.得λ=2.答案：2例6证明对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路分析:前提是平行四边形对角线互相垂直，结论是要证其为菱形，即需证邻边相等.如何把对角线的关系转化为边的关系呢？可结合向量的加减法.解:设在平行四边形OACB中，对角线OC和AB互相垂直，即⊥.图2-4-3∴·=0.又=+，=—，于是，(+）·(-OA)=0，即—=0.∴｜OB｜=||.∴平行四边形OACB是菱形.知识点三运用数量积的运算律来解题例7若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（)A.（a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b）·c=a·c+b·cC.m（a+b)=ma+mbD.(a·b）c=a（b·c）思路分析：对于实数a、b、c，它们之间的运算满足（ab)c=a(bc),但对于向量没有这样的运算律。答案:D知识点四公式(a+b)2=a2+2a·b+b2和(a+b）·（a-b)=a2-b例8已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°,则｜a+3b｜等于(）A.B。C。D.4思路分析：｜a+3b｜2=｜a|2+6a·b+9｜b｜2=|a｜2+6|a|｜b｜cos60°+9｜b｜2∴｜a+3b｜=。答案:C例9已知｜a｜=13，|b|=19，且｜a+b|=24,求｜a-b|的值.思路分析：解题时要将数量积作为联系已知条件和未知值之间的一座桥梁,利用模与数量积的性质求解。解：(a+b）2=｜a+b｜2a2+2a·b+b2=｜a+b｜即169+2a·b+361=576，2a·故|a—b|2=a2-2a·b+b2=169—46+361=484，所以|a-b例10已知a与b的夹角为30°，且|a｜=，|b|=1，求向量p=a+b,q=a-b的夹角的余弦值.思路分析：由两向量的数量积和模求夹角的余弦。解：∵｜p｜2=|a+b｜2=a2+2a·b+b2=3+cos30°+1=7，∴｜p|=;同理可求得|q｜=1.∴cosθ=.知识点五向量数量积与垂直例11已知｜a|=3，|b｜=2,a与b的夹角为60°，c=3a+5b，d=ma—3b(1）当m为何值时,c与d垂直？（2）当m为何值时，c与d共线?思路分析：利用向量垂直、共线的充要条件构造关于m的方程求解。解：(1）由向量c与d垂直c·d=0，而c·d=(3a+5b）·(ma—3b=3ma2+(5m—9)a·b—15b2=27m+3（5m—9）-60，∴42m—87=0.∴m=，即m=时，c与d垂直。（2)由c与d共线存在实数λ，使得c=λd。∴3a+5b=λ（ma—3b即3a+5b=λma-3λb又∵a与b不共线，∴解得λ=即当m=-时，c与d共线。问题•探究材料信息探究问题关于平面向量的数量积的运算，我们学习了三个运算律:a·b=b·a（交换律）;(λa)·b=λ（a·b)=a·(λb)(数乘结合律）；(a+b）·c=a·c+b·c（分配律）。它为我们实施向量的有关运算提供了理论上的保证。对于这一点我们该如何理解？探究过程：它一方面提示了平面向量的数量积的运算规律，另一方面又融入了平面向量的加法、实数与向量的积的相关内容.因而,平面向量的运算，由原有的加减法、实数与向量积的基础上，又注入了新的生机和活力。随着平面向量内容的不