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文档简介
江苏省常州市新北区实验校2023-2024学年中考冲刺卷数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,将一张三角形纸片的一角折叠,使点落在处的处,折痕为.如果,,,那么下列式子中正确的是()A. B. C. D.2.如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为()A. B. C. D.13.在下列四个图案中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()A. B. C.. D.4.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形,它可以围成图2的正方体,则图1中正方形顶点A,B在围成的正方体中的距离是()A.0 B.1 C. D.5.如图,数轴A、B上两点分别对应实数a、b,则下列结论正确的是()A.a+b>0 B.ab>0 C.1a+6.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0没有实数根,则实数m的取值是()A.m<1 B.m>﹣1 C.m>1 D.m<﹣17.已知关于x的不等式ax<b的解为x>-2,则下列关于x的不等式中,解为x<2的是()A.ax+2<-b+2 B.–ax-1<b-1 C.ax>b D.8.去年二月份,某房地产商将房价提高40%,在中央“房子是用来住的,不是用来炒的”指示下达后,立即降价30%.设降价后房价为x,则去年二月份之前房价为()A.(1+40%)×30%x B.(1+40%)(1﹣30%)xC. D.9.如图,已知AB∥CD,∠1=115°,∠2=65°,则∠C等于()A.40° B.45° C.50° D.60°10.如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心,BA为半径的圆弧与BC交于点E,四边形AECD是平行四边形,AB=3,则的弧长为()A. B.π C. D.311.若关于x的不等式组无解,则a的取值范围是()A.a≤﹣3 B.a<﹣3 C.a>3 D.a≥312.如图,双曲线y=(k>0)经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D,若四边形ODBC的面积为3,则k的值为()A.1 B.2 C.3 D.6二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.计算:()0﹣=_____.14.对于任意实数a、b,定义一种运算:a※b=ab﹣a+b﹣1.例如,1※5=1×5﹣1+5﹣1=ll.请根据上述的定义解决问题:若不等式3※x<1,则不等式的正整数解是_____.15.化简:①=_____;②=_____;③=_____.16.如图,在△ABC中,AB=3+,∠B=45°,∠C=105°,点D、E、F分别在AC、BC、AB上,且四边形ADEF为菱形,若点P是AE上一个动点,则PF+PB的最小值为_____.17.抛物线y=x2﹣2x+3的对称轴是直线_____.18.已知(x-ay)(x+ay),那么a=_______三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)已知抛物线y=﹣x2﹣4x+c经过点A(2,0).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)若点B(m,n)是抛物线上的一动点,点B关于原点的对称点为C.①若B、C都在抛物线上,求m的值;②若点C在第四象限,当AC2的值最小时,求m的值.20.(6分)如图,河的两岸MN与PQ相互平行,点A,B是PQ上的两点,C是MN上的点,某人在点A处测得∠CAQ=30°,再沿AQ方向前进20米到达点B,某人在点A处测得∠CAQ=30°,再沿AQ方向前进20米到达点B,测得∠CBQ=60°,求这条河的宽是多少米?(结果精确到0.1米,参考数据≈1.414,≈1.732)21.(6分)为了解某校落实新课改精神的情况,现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样本,对其参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图.
(1)参加音乐类活动的学生人数为
人,参加球类活动的人数的百分比为
(2)请把图2(条形统计图)补充完整;
(3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为.
(4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中,有1位男生(用E表示)和3位女生(分别用F,G,H表示),先准备从中选取两名同学组成舞伴,请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.
22.(8分)在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC=90°,E为边AC上一点,连接BE.如图1,若∠ABE=15°,O为BE中点,连接AO,且AO=1,求BC的长;如图2,D为AB上一点,且满足AE=AD,过点A作AF⊥BE交BC于点F,过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G,交AC于点M,求证:BG=AF+FG.23.(8分)关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣3)x+m2+1=1.(1)若m是方程的一个实数根,求m的值;(2)若m为负数,判断方程根的情况.24.(10分)甲、乙两组工人同时开始加工某种零件,乙组在工作中有一次停产更换设备,更换设备后,乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)之间的函数图象如下图所示.(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式.(2)求乙组加工零件总量a的值.25.(10分)4件同型号的产品中,有1件不合格品和3件合格品.从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率;从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率;在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?26.(12分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.27.(12分)如图,在平行四边形ABCD中,AB<BC.利用尺规作图,在AD边上确定点E,使点E到边AB,BC的距离相等(不写作法,保留作图痕迹);若BC=8,CD=5,则CE=.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、A【解析】
分析:根据三角形的外角得:∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',代入已知可得结论.详解:由折叠得:∠A=∠A',∵∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA',∵∠A=α,∠CEA′=β,∠BDA'=γ,∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β,故选A.点睛:本题考查了三角形外角的性质,熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.2、C【解析】
延长BC′交AB′于D,根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′,利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D,然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解.【详解】解:延长BC′交AB′于D,连接BB',如图,在Rt△AC′B′中,AB′=AC′=2,∵BC′垂直平分AB′,∴C′D=AB=1,∵BD为等边三角形△ABB′的高,∴BD=AB′=,∴BC′=BD-C′D=-1.故本题选择C.【点睛】熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键.3、B【解析】试题分析:根据轴对称图形和中心对称图形的定义:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,因此:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;B、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意;D、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意.故选B.考点:轴对称图形和中心对称图形4、C【解析】试题分析:本题考查了勾股定理、展开图折叠成几何体、正方形的性质;熟练掌握正方形的性质和勾股定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.由正方形的性质和勾股定理求出AB的长,即可得出结果.解:连接AB,如图所示:根据题意得:∠ACB=90°,由勾股定理得:AB==;故选C.考点:1.勾股定理;2.展开图折叠成几何体.5、C【解析】
本题要先观察a,b在数轴上的位置,得b<-1<0<a<1,然后对四个选项逐一分析.【详解】A、因为b<-1<0<a<1,所以|b|>|a|,所以a+b<0,故选项A错误;B、因为b<0<a,所以ab<0,故选项B错误;C、因为b<-1<0<a<1,所以1a+1D、因为b<-1<0<a<1,所以1a-1故选C.【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系,数轴上右边的数总是大于左边的数.6、C【解析】试题解析:关于的一元二次方程没有实数根,,解得:故选C.7、B【解析】∵关于x的不等式ax<b的解为x>-2,∴a<0,且,即,∴(1)解不等式ax+2<-b+2可得:ax<-b,,即x>2;(2)解不等式–ax-1<b-1可得:-ax<b,,即x<2;(3)解不等式ax>b可得:,即x<-2;(4)解不等式可得:,即;∴解集为x<2的是B选项中的不等式.故选B.8、D【解析】
根据题意可以用相应的代数式表示出去年二月份之前房价,本题得以解决.【详解】由题意可得,去年二月份之前房价为:x÷(1﹣30%)÷(1+40%)=,故选:D.【点睛】本题考查了列代数式,解答本题的关键是明确题意,列出相应的代数式.9、C【解析】分析:根据两直线平行,同位角相等可得再根据三角形内角与外角的性质可得∠C的度数.详解:∵AB∥CD,∴∵∴故选C.点睛:考查平行线的性质和三角形外角的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.10、B【解析】∵四边形AECD是平行四边形,
∴AE=CD,
∵AB=BE=CD=3,
∴AB=BE=AE,
∴△ABE是等边三角形,
∴∠B=60°,∴的弧长=.故选B.11、A【解析】【分析】利用不等式组取解集的方法,根据不等式组无解求出a的取值范围即可.【详解】∵不等式组无解,∴a﹣4≥3a+2,解得:a≤﹣3,故选A.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集,熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.12、B【解析】
先根据矩形的特点设出B、C的坐标,根据矩形的面积求出B点横纵坐标的积,由D为AB的中点求出D点的横纵坐标,再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式.【详解】解:如图:连接OE,设此反比例函数的解析式为y=(k>0),C(c,0),则B(c,b),E(c,),设D(x,y),∵D和E都在反比例函数图象上,∴xy=k,即,∵四边形ODBC的面积为3,∴∴∴bc=4∴∵k>0∴解得k=2,故答案为:B.【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义,涉及到矩形的性质及用待定系数法求反比例函数的解析式,难度适中.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、-1【解析】
本题需要运用零次幂的运算法则、立方根的运算法则进行计算.【详解】由分析可得:()0﹣=1-2=﹣1.【点睛】熟练运用零次幂的运算法则、立方根的运算法则是本题解题的关键.14、2【解析】【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式,解之取其中的正整数即可得出结论.【详解】∵3※x=3x﹣3+x﹣2<2,∴x<,∵x为正整数,∴x=2,故答案为:2.【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算,通过解不等式找出x<是解题的关键.15、455【解析】
根据二次根式的性质即可求出答案.【详解】①原式=4;②原式==5;③原式==5,故答案为:①4;②5;③5【点睛】本题考查二次根式的性质,解题的关键是熟练运用二次根式的性质,本题属于基础题型.16、【解析】
如图,连接OD,BD,作DH⊥AB于H,EG⊥AB于G.由四边形ADEF是菱形,推出F,D关于直线AE对称,推出PF=PD,推出PF+PB=PA+PB,由PD+PB≥BD,推出PF+PB的最小值是线段BD的长.【详解】如图,连接OD,BD,作DH⊥AB于H,EG⊥AB于G.∵四边形ADEF是菱形,∴F,D关于直线AE对称,∴PF=PD,∴PF+PB=PA+PB,∵PD+PB≥BD,∴PF+PB的最小值是线段BD的长,∵∠CAB=180°-105°-45°=30°,设AF=EF=AD=x,则DH=EG=x,FG=x,∵∠EGB=45°,EG⊥BG,∴EG=BG=x,∴x+x+x=3+,∴x=2,∴DH=1,BH=3,∴BD==,∴PF+PB的最小值为,故答案为.【点睛】本题考查轴对称-最短问题,菱形的性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,学会利用轴对称解决最短问题.17、x=1【解析】
把解析式化为顶点式可求得答案.【详解】解:∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴对称轴是直线x=1,故答案为x=1.【点睛】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x-h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).18、±4【解析】
根据平方差公式展开左边即可得出答案.【详解】∵(x-ay)(x+ay)=又(x-ay)(x+ay)∴解得:a=±4故答案为:±4.【点睛】本题考查的平方差公式:.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x+12,顶点坐标为(﹣2,16);(2)①m=2或m=﹣2;②m的值为.【解析】分析:(1)把点A(2,0)代入抛物线y=﹣x2﹣4x+c中求得c的值,即可得抛物线的解析式,根据抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标即可;(2)①由B(m,n)在抛物线上可得﹣m2﹣4m+12=n,再由点B关于原点的对称点为C,可得点C的坐标为(﹣m,﹣n),又因C落在抛物线上,可得﹣m2+4m+12=﹣n,即m2﹣4m﹣12=n,所以﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12,解方程求得m的值即可;②已知点C(﹣m,﹣n)在第四象限,可得﹣m>0,﹣n<0,即m<0,n>0,再由抛物线顶点坐标为(﹣2,16),即可得0<n≤16,因为点B在抛物线上,所以﹣m2﹣4m+12=n,可得m2+4m=﹣n+12,由A(2,0),C(﹣m,﹣n),可得AC2=(﹣m﹣2)2+(﹣n)2=m2+4m+4+n2=n2﹣n+16=(n﹣)2+,所以当n=时,AC2有最小值,即﹣m2﹣4m+12=,解方程求得m的值,再由m<0即可确定m的值.详解:(1)∵抛物线y=﹣x2﹣4x+c经过点A(2,0),∴﹣4﹣8+c=0,即c=12,∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x+12=﹣(x+2)2+16,则顶点坐标为(﹣2,16);(2)①由B(m,n)在抛物线上可得:﹣m2﹣4m+12=n,∵点B关于原点的对称点为C,∴C(﹣m,﹣n),∵C落在抛物线上,∴﹣m2+4m+12=﹣n,即m2﹣4m﹣12=n,解得:﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12,解得:m=2或m=﹣2;②∵点C(﹣m,﹣n)在第四象限,∴﹣m>0,﹣n<0,即m<0,n>0,∵抛物线顶点坐标为(﹣2,16),∴0<n≤16,∵点B在抛物线上,∴﹣m2﹣4m+12=n,∴m2+4m=﹣n+12,∵A(2,0),C(﹣m,﹣n),∴AC2=(﹣m﹣2)2+(﹣n)2=m2+4m+4+n2=n2﹣n+16=(n﹣)2+,当n=时,AC2有最小值,∴﹣m2﹣4m+12=,解得:m=,∵m<0,∴m=不合题意,舍去,则m的值为.点睛:本题是二次函数综合题,第(1)问较为简单,第(2)问根据点B(m,n)关于原点的对称点C(-m,-n)均在二次函数的图象上,代入后即可求出m的值即可;(3)确定出AC2与n之间的函数关系式,利用二次函数的性质求得当n=时,AC2有最小值,在解方程求得m的值即可.20、17.3米.【解析】分析:过点C作于D,根据,得到,在中,解三角形即可得到河的宽度.详解:过点C作于D,∵∴∴米,在中,∵∴∴∴米,∴米.答:这条河的宽是米.点睛:考查解直角三角形的应用,作出辅助线,构造直角三角形是解题的关键.21、(1)7、30%;(2)补图见解析;(3)105人;(3)
【解析】试题分析:(1)先根据绘画类人数及其百分比求得总人数,继而可得答案;(2)根据(1)中所求数据即可补全条形图;(3)总人数乘以棋类活动的百分比可得;(4)利用树状图法列举出所有可能的结果,然后利用概率公式即可求解.试题解析:解:(1)本次调查的总人数为10÷25%=40(人),∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%=7人,参加球类活动的人数的百分比为×100%=30%,故答案为7,30%;(2)补全条形图如下:(3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为600×=105,故答案为105;(4)画树状图如下:共有12种情况,选中一男一女的有6种,则P(选中一男一女)==.点睛:本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.22、(1)3+【解析】
(1)如图1中,在AB上取一点M,使得BM=ME,连接ME.,设AE=x,则ME=BM=2x,AM=3x,根据AB2+AE2=BE2,可得方程(2x+3x)2+x2=22,解方程即可解决问题.
(2)如图2中,作CQ⊥AC,交AF的延长线于Q,首先证明EG=MG,再证明FM=FQ即可解决问题.【详解】解:如图1中,在AB上取一点M,使得BM=ME,连接ME.在Rt△ABE中,∵OB=OE,∴BE=2OA=2,∵MB=ME,∴∠MBE=∠MEB=15°,∴∠AME=∠MBE+∠MEB=30°,设AE=x,则ME=BM=2x,AM=3x,∵AB2+AE2=BE2,∴2x+3∴x=6-∴AB=AC=(2+3)•6-∴BC=2AB=3+1.作CQ⊥AC,交AF的延长线于Q,∵AD=AE,AB=AC,∠BAE=∠CAD,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴∠ABE=∠ACD,∵∠BAC=90°,FG⊥CD,∴∠AEB=∠CMF,∴∠GEM=∠GME,∴EG=MG,∵∠ABE=∠CAQ,AB=AC,∠BAE=∠ACQ=90°,∴△ABE≌△CAQ(ASA),∴BE=AQ,∠AEB=∠Q,∴∠CMF=∠Q,∵∠MCF=∠QCF=45°,CF=CF,∴△CMF≌△CQF(AAS),∴FM=FQ,∴BE=AQ=AF+FQ=AF=FM,∵EG=MG,∴BG=BE+EG=AF+FM+MG=AF+FG.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.23、(1);(2)方程有两个不相等的实根.【解析】分析:(1)由方程根的定义,代入可得到关于m的方程,则可求得m的值;
(2)计算方程根的判别式,判断判别式的符号即可.详解:(1)∵m是方程的一个实数根,
∴m2-(2m-3)m+m2+1=1,
∴m=−;
(2)△=b2-4ac=-12m+5,
∵m<1,
∴-12m>1.
∴△=-12m+5>1.
∴此方程有两个不相等的实数根.点睛:考查根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键.24、(1)y=60x;(2)300【解析】
(1)由题图可知,甲组的y是x的正比例函数.设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为y=kx.根
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