统计试题置信区间及答案

统计试题置信区间及答案姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.在统计学中，置信区间的含义是指（）。

A.样本统计量等于总体参数的概率区间

B.总体参数等于样本统计量的概率区间

C.样本统计量以一定的概率包含总体参数的区间

D.总体参数以一定的概率包含样本统计量的区间

2.设总体均值为μ，标准差为σ，若从总体中随机抽取一个容量为n的样本，那么这个样本的样本均值的置信区间的形式是（）。

A.μ±z*σ/n

B.μ±σ*Z*σ/n

C.μ±σ/n

D.μ±σ/n

3.如果一个置信水平为95%，那么其对应的置信区间宽度会（）。

A.随着样本量的增加而减小

B.随着样本量的增加而增大

C.不受样本量的影响

D.无法确定

4.当样本量增大时，以下哪个说法是错误的（）。

A.置信区间的宽度减小

B.置信水平增加

C.置信区间更接近真实值

D.置信区间包含总体参数的概率增加

5.以下关于置信区间的说法错误的是（）。

A.置信区间表示的是总体参数的不确定性

B.置信区间是样本统计量的估计值

C.置信区间是一个概率区间

D.置信区间的宽度越小，表示总体参数的估计越精确

二、判断题（每题2分，共20分）

1.置信区间表示的是样本统计量的估计值。（）

2.置信区间表示的是总体参数的不确定性。（）

3.当置信水平增加时，置信区间会变得更宽。（）

4.置信区间的宽度只受样本量的影响。（）

5.置信区间包含了总体参数的真实值。（）

三、计算题（每题10分，共30分）

1.已知某工厂生产一批产品，随机抽取10件进行检测，测得样本均值为500，样本标准差为20。求该批产品的总体均值的95%置信区间。

2.某地区成年人平均身高为165cm，标准差为6cm。若要估计该地区成年人的平均身高，如果要求置信水平为99%，置信区间为±2cm，那么至少需要抽取多少个样本？

3.某产品寿命的总体均值μ为500小时，标准差σ为100小时。如果从总体中随机抽取一个容量为100的样本，求该样本均值的95%置信区间。

四、简答题（每题10分，共20分）

1.简述置信区间的定义及其在统计学中的作用。

2.解释置信水平与置信区间宽度的关系。

五、论述题（20分）

论述置信区间在假设检验中的应用及其重要性。

六、应用题（每题20分，共40分）

1.某城市居民的年人均可支配收入为40000元，标准差为10000元。若要估计该城市居民年人均可支配收入的95%置信区间，需要抽取多少个样本？

2.某批产品的合格率为95%，标准差为0.05。若要估计该批产品合格率的95%置信区间，需要抽取多少个样本？

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.C.样本统计量以一定的概率包含总体参数的区间

解析：置信区间是指在一定概率下，样本统计量所包含的总体参数的区间。

2.A.μ±z*σ/n

解析：样本均值的置信区间形式通常为总体均值μ加减标准误差z*σ/n。

3.A.随着样本量的增加而减小

解析：样本量越大，样本统计量对总体参数的估计越精确，因此置信区间宽度会减小。

4.B.随着样本量的增加而增大

解析：错误选项。样本量增大时，置信区间宽度应减小。

5.B.总体参数等于样本统计量的概率区间

解析：错误选项。置信区间表示的是样本统计量以一定的概率包含总体参数的区间。

二、判断题答案及解析：

1.×

解析：置信区间表示的是样本统计量的估计值，而不是样本统计量等于总体参数的概率区间。

2.√

解析：置信区间表示的是总体参数的不确定性，即总体参数可能落在置信区间内的概率。

3.√

解析：置信水平增加，意味着我们愿意接受更大的风险来包含总体参数，因此置信区间会变得更宽。

4.×

解析：置信区间的宽度不仅受样本量的影响，还受置信水平和总体标准差的影响。

5.×

解析：置信区间包含了总体参数的可能值，但不一定包含真实值。

三、计算题答案及解析：

1.置信区间为（460，540）

解析：使用t分布表查找自由度为9（n-1）的t值，对于95%的置信水平，t值为2.262。置信区间计算公式为：样本均值±t值*（样本标准差/√样本量），代入数据计算得（460，540）。

2.需要抽取的样本量为n=49

解析：使用正态分布表查找z值为1.96（对应95%置信水平），置信区间为±2cm。使用公式n=(z*σ/区间宽度)^2，代入数据计算得n=49。

3.置信区间为（445，555）

解析：使用z分布表查找z值为1.96（对应95%置信水平），置信区间计算公式为：样本均值±z值*（总体标准差/√样本量），代入数据计算得（445，555）。

四、简答题答案及解析：

1.置信区间是指在一定概率下，样本统计量所包含的总体参数的区间。它在统计学中的作用包括：评估总体参数的估计值、进行假设检验、比较不同总体参数的估计值等。

2.置信水平与置信区间宽度的关系是：置信水平越高，置信区间越宽；置信水平越低，置信区间越窄。这是因为更高的置信水平要求更大的区间来包含总体参数，从而增加了误差的可能性。

五、论述题答案及解析：

置信区间在假设检验中的应用及其重要性包括：

（1）置信区间可以提供关于总体参数的估计信息，帮助研究者了解总体参数的可能范围。

（2）置信区间可以用于比较不同总体参数的估计值，例如比较两个总体均值的差异。

（3）置信区间可以用于进行假设检验，通过比较置信区间是否包含某个特定值来检验假设是否成立。

（4）置信区间可以提供关于总体参数估计的可靠性信息，帮助研究者评估估计结果的准确性。

六、应用题答案及解析：

1.需要抽取的样本量为n=49

解析：使用正态分布表查找z值为1.96（对应95%置信水平），置信区间为