河北省廊坊市第四中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

2024－2025学年第二学期九年级第一次月考试卷一、选择题（每题只有一个选项是正确的，每题3分，共36分）1.两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作元，那么80元表示（）A.支出150 B.收入150元 C.支出80元 D.收入80元2.的值等于（）A. B. C. D.3.如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（）A. B. C. D.4.已知，则的值为（）A.24 B.36 C.72 D.175.地球上的海洋面积约为，用科学记数法将表示为（）A. B. C. D.6.如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（）A B. C. D.7.下列计算正确的是（）A B. C. D.8.如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（）A. B. C. D.9.端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（）A. B.C. D.10.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.11.如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（）A8 B.2 C.3.5 D.412.如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上，若，两点的横坐标分别为，（），下列结论正确的是（）A B. C. D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13.分解因式：______．14.计算：__________．15.不等式组的解集为______．16.在探究“反比例函数图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．18.先化简，再求值：，其中．19.某校为了解学生对“生命．生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试．测试结果分为级、级、级、级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是________；（2）扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是________，并把条形统计图补充完整；（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为级的学生大约有多少人？20.如图，在中，D是中点．（1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形．21.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．（1）求教学楼的高度．（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．22.某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米）与时间（分)的函数关系如图2所示.（1）求第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式.（2）求第一班车从人口处到达塔林所需的时间.（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）23.如图，在中，为直角，，，半径为2的动圆圆心从点出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为秒（）以为圆心，以长为半径的与、的另一个交点分别为、，连接．（1）______，当时，______．（直接写出答案）（2）当点与点重合时，求t的值．（3）当经过点时，求：①被截得的弦长；②与所围成的图形的面积（，）．（4）若与线段有一个公共点，直接写出的取值范围．24.已知抛物线l：y=（x﹣h）2﹣4（h为常数）（1）如图1，当抛物线l恰好经过点P（1，﹣4）时，l与x轴从左到右的交点为A、B，与y轴交于点C．①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．②在l上是否存在点D，使S△ABD=S△ABC，若存在，请求出D点坐标，若不存在，请说明理由．③点M是l上任意一点，过点M作ME垂直y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．（2）设l与双曲线y=有个交点横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．

2024－2025学年第二学期九年级第一次月考试卷一、选择题（每题只有一个选项是正确的，每题3分，共36分）1.两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出150元记作元，那么80元表示（）A.支出150 B.收入150元 C.支出80元 D.收入80元【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握正负数的相反意义成为解题的关键．利用正数负数的意义解答即可．【详解】解：∵支出150元记作元，∴80元表示收入80元．故选：D．2.的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解.【详解】，故选：A.3.如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据俯视图的定义即可得．【详解】解：俯视图是指从上往下看几何体得到的视图．这个几何体的俯视图是由排在一行的三个小正方形组成，观察四个选项可知，只有选项符合，故选：C．【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键．4.已知，则的值为（）A.24 B.36 C.72 D.17【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算的逆运算，正确将原式变形是解题关键．直接利用同底数幂乘法的逆运算法则结合幂的乘方的逆运算法则计算得出答案．【详解】解：，，．故选：C5.地球上的海洋面积约为，用科学记数法将表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．【详解】解：，故选：C．6.如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等即可得到答案．【详解】解：如图，∵，，∴，故选：A7.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得．【详解】A、与不是同类项，不可合并，此项错误；B、，此项正确；C、，此项错误；D、，此项错误；故选：B．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键．8.如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键．画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．【详解】解：画出树状图如下：一共有种等可能的情况，小灯泡发光的情况有种，∴小灯泡发光的概率是：，故选：C9.端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．【详解】解：由题意可得，，故选：C．10.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．因为一元二次方程有实数根，所以可得，解不等式求出的取值范围．【详解】解：关于的方程是一元二次方程，，，整理得：，合并同类项得：，解得：．故选：D．11.如图，⊙是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为，，，连接，，，若，的周长为21，则的长为（）A.8 B.2 C.3.5 D.4【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，，∴点D、E、F分别是的中点，∴，∵周长为21，∴即，∴，故选：D．12.如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上，若，两点的横坐标分别为，（），下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题．【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，将，两点的横坐标代入函数解析式得，点坐标为，点坐标为，∴，，，．∵四边形是正方形，∴，，∴，∴．在和中，，∴，∴，，∴，又∵，∴，即，∵，∴，∴．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了综合提公因式以及公式法分解因式，先提公因式x，然后再利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：，故答案为：．14.计算：__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可．【详解】解：，故答案为：．15.不等式组的解集为______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为，故答案为：．16.在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______．【答案】2或3【解析】【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可．【详解】解：∵，∴，设平移后点A、B的对应点分别为，∴，∵两点恰好都落在函数的图象上，∴把代入得：，解得：或．故答案为：2或3．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题．【详解】解：，，．18.先化简，再求值：，其中．【答案】；【解析】【分析】本题考查了分式化简求值，利用异分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：．当时，原式．19.某校为了解学生对“生命．生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行综合测试．测试结果分为级、级、级、级四个等级，并将测试结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次抽样测试的学生人数是________；（2）扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是________，并把条形统计图补充完整；（3）该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为级的学生大约有多少人？【答案】（1）40（2）；补图见解析（3）90人【解析】【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）用B级人数除以所占百分比即可求解；（2）用乘以D级所占百分比求解；用总人数乘以C级所占百分比求出C级的人数，然后补图即可；（3）用600乘以成绩为级的学生所占百分比即可．【小问1详解】解：本次抽样测试的学生人数为：（名）；故答案为40；【小问2详解】解：扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是：级的人数为：（名）补充完整的条形统计图如图所示：；【小问3详解】解：（人）答：该校八年级共有学生600人，如果全部参加这次测试，测试成绩为级的学生大约有90人．20.如图，在中，D是中点．（1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．（1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可；（2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立．【小问1详解】解：直线l如图所示，；【小问2详解】证明：补全图形，如图，由（1）作图知，E为的中点，∵D，E分别为，的中点，∴，，∵，即：，∴，∵，∴四边形是平行四边形．21.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．（1）求教学楼的高度．（2）若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．【答案】（1）教学楼的高度为米（2）无人机刚好离开视线的时间为12秒【解析】【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；（2）连接并延长，交于点H，先求出米，进而得出，则，则米，即可求解．【小问1详解】解：过点B作于点G，根据题意可得：，米，，∵，，，∴四边形为矩形，∴米，∵，，∴，∴，∴米，∵长为米，∴（米），答：教学楼的高度为米．【小问2详解】解：连接并延长，交于点H，∵米，米，∴米，∵米，，∴，∴，米，∴（米），∵无人机以米/秒的速度飞行，∴离开视线的时间为：（秒），答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．22.某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7:40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程（米）与时间（分)的函数关系如图2所示.（1）求第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式.（2）求第一班车从人口处到达塔林所需的时间.（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）【答案】（1）.；（2）10分钟；（3）第5班车，7分钟.【解析】【分析】（1）设y=kx+b，运用待定系数法求解即可；（2）把y=1500代入（1）的结论即可；（3）设小聪坐上了第n班车，30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，可得小聪坐上了第5班车，再根据“路程、速度与时间的关系”解答即可．【详解】（1）解：由题意得，可设函数表达式：.把，代入，得，解得.∴第一班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式为.（2）解：把代入，解得，（分）．∴第一班车到塔林所需时间10分钟.（3）解：设小聪坐上第班车.，解得，∴小聪最早坐上第5班车.等班车时间为5分钟，坐班车所需时间：（分），∴步行所需时间：（分），（分）．∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键．23.如图，在中，为直角，，，半径为2的动圆圆心从点出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为秒（）以为圆心，以长为半径的与、的另一个交点分别为、，连接．（1）______，当时，______．（直接写出答案）（2）当点与点重合时，求t的值．（3）当经过点时，求：①被截得的弦长；②与所围成的图形的面积（，）．（4）若与线段有一个公共点，直接写出的取值范围．【答案】（1），（2）（3）①；②（4）或【解析】【分析】（1）利用正切的定义，即可求出，连接，易求，得到，由，利用勾股定理即可求解；（2）连接，证明，利用对应边的比求出的长度，若Q与D重合时，则，，列出方程即可求出t的值；（3）①由于，当Q经过A点时，，此时用时为，过点P作于点E，利用垂径定理即可求出被截得的弦长；②在①的基础上连接，求出，得到，求出，根据与所围成的图形的面积为：计算即可；（4）若与线段只有一个公共点，分以下两种情况，①当与相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．【小问1详解】解：∵，，，∴，∴；如图，连接，则，∴，即∵，∴∴；【小问2详解】解：由（1）知，∴，由题意知：，∴∵，∴，∴，∴，∴，当Q与D重合时，，∴，∴；【小问3详解】解：①当经过A点时，如图则，∴，∴，∴，过点P作于点E，与相交于点，连接，∴，∴，∴，即，，∴，由垂径定理可求知：；②在①的基础上连接，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴与所围成的图形的面积为：；小问4详解】解：当与相切时，如图此时，∵，∴，∵，，∴∴，∴，∴，∴当时，与只有一个交点，当时，此时Q与D重合，由（2）可知：，∴当时，与只有一个交点，综上所述，当与只有一个交点，t的取值范围为：或．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，不规则图形的面积，等腰三角形的性质，余弦，切线的性质等知识．熟练掌握勾股定理，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，余弦，切线的性质是解题的关键．24.已知抛物线l：y=（x﹣h）2﹣4（h为常数）（1）如图1，当抛物线l恰好经过点P（1，﹣4）时，l与x轴从左到右的交点为A、B，与y轴交于点C．①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．②在l上是否存在点D，使S△ABD=S△ABC，若存在，请求出D点坐标，若不存在，请说明理由．③点M是l上任意一点，过点M作ME垂直y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．（2）设l与双曲线y=有个交点横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．【答案】（1）①抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣4）；②（1+，3）或（1﹣，3）；③（﹣+1，﹣）或（+1，﹣）；（2）当2≤h≤5﹣或4≤h≤5+时.【解析】【详解】【分析】（1）①将P（1，-4）代入得到关于h的方程，从而可求得h的值，可得到抛物线的解析式，然后依据抛物线的解析式可直接得到抛物线的对称轴和顶点坐标；②先求得OC的长，然后由三角形的面积公式可得到点D的纵坐标为3或-3，最后将y的值代入求得对应的x的值即可；③先证明四边形OEDF为矩形，则DO=EF，由垂线的