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文档简介

天津市宝坻区何仉中学2024-2025学年4月高中毕业班联合考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数2.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()A. B. C. D.3.执行下面的程序框图,则输出的值为()A. B. C. D.4.已知函数()的部分图象如图所示,且,则的最小值为()A. B.C. D.5.已知函数(,)的一个零点是,函数图象的一条对称轴是直线,则当取得最小值时,函数的单调递增区间是()A.() B.()C.() D.()6.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下:嘉宾评分嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是()A. B. C. D.7.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是()A. B. C. D.8.定义在上的奇函数满足,若,,则()A. B.0 C.1 D.29.如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为()A.1605π3 B.64210.已知平面向量满足与的夹角为,且,则实数的值为()A. B. C. D.11.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知等差数列的前项和为,若,则等差数列公差()A.2 B. C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,复数且(为虚数单位),则__________,_________.14.如图,半球内有一内接正四棱锥,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为__________.15.从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动,要求男生中的甲和乙不能同时参加,女生中的丙和丁至少有一名参加,则不同的选法种数为______.(用数字作答)16.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数的最大值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为:(其中为参数),直线的参数方程为(其中为参数)(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程;(2)若曲线与直线交于两点,点的坐标为,求的值.18.(12分)健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数,得到数据如下:假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:(1)估计1位会员至少消费两次的概率(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;(3)假设每个会员每星期最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件的概率,从会员中随机抽取两位,记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为,求的分布列及数学期望19.(12分)选修4-5:不等式选讲设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)如图,已知三棱柱中,与是全等的等边三角形.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)在三棱柱中,四边形是菱形,,,,,点M、N分别是、的中点,且.(1)求证:平面平面;(2)求四棱锥的体积.22.(10分)已知,,设函数,.(1)若,求不等式的解集;(2)若函数的最小值为1,证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.2.A【解析】

画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.【详解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故选:A本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.3.D【解析】

根据框图,模拟程序运行,即可求出答案.【详解】运行程序,,

,,,,,结束循环,故输出,故选:D.本题主要考查了程序框图,循环结构,条件分支结构,属于中档题.4.A【解析】

是函数的零点,根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得.【详解】由题意,,∴函数在轴右边的第一个零点为,在轴左边第一个零点是,∴的最小值是.故选:A.本题考查三角函数的周期性,考查函数的对称性.函数的零点就是其图象对称中心的横坐标.5.B【解析】

根据函数的一个零点是,得出,再根据是对称轴,得出,求出的最小值与对应的,写出即可求出其单调增区间.【详解】依题意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值为.因为,所以().又,所以,所以,令(),则().因此,当取得最小值时,的单调递增区间是().故选:B此题考查三角函数的对称轴和对称点,在对称轴处取得最值,对称点处函数值为零,属于较易题目.6.C【解析】

计算出、,进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知,,由频率分布直方图可知,,则,由于场外有数万名观众,所以,.故选:B.本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.7.C【解析】

先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,分类利用图像列出有3个交点时满足的条件,解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,如图所示,当时,对称后的图象不可能与在的图象有3个交点;当时,要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,则,解得.故选:C.本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题,考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想,是一道中档题.8.C【解析】

首先判断出是周期为的周期函数,由此求得所求表达式的值.【详解】由已知为奇函数,得,而,所以,所以,即的周期为.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故选:C本小题主要考查函数的奇偶性和周期性,属于基础题.9.A【解析】

设球心为O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的内切圆的圆心为O1,该圆与边B【详解】如图,设三棱柱为ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1为斜边是A1C1则圆O1的半径为O设球心为O,则由球的几何知识得ΔOO1M所以OM=2即球O的半径为25所以球O的体积为43故选A.本题考查与球有关的组合体的问题,解答本题的关键有两个:(1)构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形,并在此三角形内求出球的半径,这是解决与球有关的问题时常用的方法.(2)若直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径r=a+b-c10.D【解析】

由已知可得,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得由,得即,解得.故选:.本题考查向量的数量积运算,向量垂直的应用,考查计算求解能力,属于基础题.11.B【解析】

或,从而明确充分性与必要性.【详解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选本题考查充分性与必要性,简单三角方程的解法,属于基础题.12.C【解析】

根据等差数列的求和公式即可得出.【详解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故选C.本题主要考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】∵复数且∴∴∴∴,故答案为,14.【解析】

由题意可知半球的半径与正四棱锥的高相等,可得正四棱锥的棱与半径的关系,进而可写出半球的半径与四棱锥体积的关系,进而求得结果.【详解】设所给半球的半径为,则四棱锥的高,则,由四棱锥的体积,半球的体积为:.【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.15.1【解析】

由排列组合及分类讨论思想分别讨论:①设甲参加,乙不参加,②设乙参加,甲不参加,③设甲,乙都不参加,可得不同的选法种数为9+9+5=1,得解.【详解】①设甲参加,乙不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为9,②设乙参加,甲不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为9,③设甲,乙都不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为5,综合①②③得:不同的选法种数为9+9+5=1,故答案为:1.本题考查了排列组合及分类讨论思想,准确分类及计算是关键,属中档题.16.【解析】

由三角函数图象相位变换后表达函数解析式,再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式,进而由三角函数值域求得最大值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则所以,当函数最大,最大值为故答案为:本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式,还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)5【解析】

(1)首先消去参数得到曲线的普通方程,再根据,,得到曲线的极坐标方程;(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,利用直线的参数方程中参数的几何意义得解;【详解】解:(1)曲线:消去参数得到:,由,,得所以(2)代入,设,,由直线的参数方程参数的几何意义得:本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化,以及直线参数方程的几何意义的应用,属于中档题.18.(1)(2)22.5(3)见解析,【解析】

(1)根据频数计算频率,得出概率;(2)根据优惠标准计算平均利润;(3)求出各种情况对应的的值和概率,得出分布列,从而计算出数学期望.【详解】解:(1)估计1位会员至少消费两次的概率;(2)第1次消费利润;第2次消费利润;第3次消费利润;第4次消费利润;这4次消费获得的平均利润:(3)1次消费利润是27,概率是;2次消费利润是,概率是;3次消费利润是,概率是;4次消费利润是,概率是;由题意:故分布列为:0期望为:本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.19.(1);(2)【解析】

(1)当时,将原不等式化简后两边平方,由此解出不等式的解集.(2)对分成三种情况,利用零点分段法去绝对值,将表示为分段函数的形式,根据单调性求得的取值范围.【详解】(1)时,可得,即,化简得:,所以不等式的解集为.(2)①当时,由函数单调性可得,解得;②当时,,所以符合题意;③当时,由函数单调性可得,,解得综上,实数的取值范围为本小题主要考查含有绝对值不等式的解法,考查不等式恒成立问题的求解,属于中档题.20.(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)取BC的中点O,则,由是等边三角形,得,从而得到平面,由此能证明(2)以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到结果.【详解】(1)取BC的中点O,连接,,由于与是等边三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)设,是全等的等边三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,设平面的一个法向量为,则,令,则,又平面的一个法向量为,所以二面角的余弦值为,即二面角的余弦值为.该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,属于中档题目.21.(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)要证面面垂直需要先证明线面垂直,即证明出平面即可;(2)求出点A到平面的距离,然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.【详解】(1)连接,由是平行四边形及N是的中点,得N也是的中点,因为点M是的中点,所以,因为,所以,又,,所以平面,又平面

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