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文档简介
第一章函数、极限与连续PARTEIGHT第八节
函数的连续性学习目标
1.理解函数连续的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
2.掌握连续函数的性质.
3.掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理(包括零点定理)，并会应用这些性质.
4.理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限.一、函数的连续与间断f(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0xyO
设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的．当自变量x
在这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数
y
相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)，因此函数y的对应增量为Dy
=f(x0+Dx)-f(x0)．
设变量u
从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的差u2-u1就叫作变量u
的改变量，也叫增量，记作Du
，即Du
=u2-u1．（一）函数的改变量:1.函数在某点处连续的定义2.左、右连续的关系例2证明：由定义2知，（三）函数在区间上的连续性（四）函数的间断点1x-1
因为当x
0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，所以点x=0是函数sinx1的间断点．解：二、
连续函数的运算法则与反函数、复合函数、初等函数的连续性（一）连续函数的四则运算（二）反函数的连续性（三）复合函数的连续性例17由定理3得：三角函数：sinx
，cosx
，tanx
，cotx
；（四）初等函数的连续性基本初等函数的连续函数：反三角函数：arcsinx
，arccosx
，arctanx
，arccotx
；指数函数：a
x
(a>0，a
1)；对数函数：log
ax(a>0，a
1)；
指数函数ax
(a>0，a
1)对于一切实数x都有定义，且在区间(-
，+
)内是单调的和连续的，它的值域为(0，+
)．由定理4得，对数函数logax(a>0，a
1)作为指数函数ax的反函数在区间(0，+
)内单调且连续．因此，幂函数xm可看作是由y=au
，u=mlogax
复合而成的，由此，根据定理6，它在(0，+
)内连续．如果对于m取各种不同值加以分别讨论，可以证明幂函数在它的定义域内是连续的．幂函数连续性的证明：幂函数y=x
m
的定义域随m的值而异，但无论m为何值，在区间(0，+
)内幂函数总是有定义的．可以证明，在区间(0，+
)内幂函数是连续的．事实上，设x>0，则结论1：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．结论2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．注：所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间．三、闭区间上连续函数的性质介值定理例23证由零点定理,介值定理例26证明：由零点定理,
课堂小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根存在性定理.
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