高中数学 第三章 函数的应用 第2节 函数模型及其应用（4）教学实录 新人教A版必修1

高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用（4）教学实录新人教A版必修1主备人备课成员教学内容本节课为高中数学第三章函数的应用第2节，内容涉及函数模型及其应用（4），具体包括函数模型的应用实例、函数模型的选择与建立以及函数模型的应用分析。通过本节课的学习，学生能够掌握如何运用函数模型解决实际问题，提高解决实际问题的能力。核心素养目标本节课旨在培养学生数学建模、数据分析、逻辑推理和数学应用的核心素养。学生将通过实际问题构建函数模型，锻炼数据分析能力；通过选择合适的函数模型，提升数学建模素养；在逻辑推理过程中，增强数学抽象能力；最终将函数模型应用于实际问题，强化数学应用意识。教学难点与重点1.教学重点，

①函数模型的选择与建立：能够根据实际问题选择合适的函数模型，并能正确建立函数模型，体现数学建模的核心素养。

②函数模型的应用：能够利用所建立的函数模型解决实际问题，包括数据的拟合、预测和优化等，体现数学应用的核心素养。

2.教学难点，

①函数模型的选择：在实际问题中，如何从众多可能的函数模型中选择最合适的一个，需要学生具备较强的分析能力和对函数性质的理解。

②函数模型的应用分析：在应用函数模型解决实际问题时，如何对模型进行解释和验证，确保模型的准确性和实用性，是教学中的难点。

③复杂实际问题的模型建立：对于一些复杂的实际问题，如何简化问题，提取关键信息，构建有效的函数模型，是学生需要克服的难点。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，通过讲解函数模型的基本概念和应用步骤，引导学生积极参与讨论，加深对函数模型应用的理解。

2.设计案例研究活动，让学生通过分析实际问题，尝试构建函数模型，并运用模型进行预测和决策，提高解决问题的能力。

3.利用多媒体教学，展示函数图像和实际数据，帮助学生直观理解函数模型的变化规律，增强学习效果。

4.通过小组合作学习，让学生在互动中交流想法，共同探讨解决实际问题的策略，培养团队合作精神。教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

1.创设情境：播放一段关于城市交通流量变化的视频，提出问题：“如何描述和预测城市交通流量变化？”

2.引导学生思考：思考如何将实际问题转化为数学问题，并引入函数模型的概念。

（二）讲授新课（20分钟）

1.函数模型的基本概念（5分钟）

-介绍函数模型的概念，强调其在实际问题中的应用价值。

-以具体实例说明函数模型的应用场景。

2.函数模型的选择与建立（10分钟）

-讲解如何根据实际问题选择合适的函数模型。

-举例说明不同类型函数模型的应用。

3.函数模型的应用（5分钟）

-讲解如何利用函数模型解决实际问题。

-举例说明函数模型在预测、优化等方面的应用。

（三）巩固练习（15分钟）

1.练习一：选择合适的函数模型解决实际问题（5分钟）

-学生独立完成练习，教师巡视指导。

-学生展示解题过程，教师点评并总结。

2.练习二：利用函数模型进行预测（5分钟）

-学生独立完成练习，教师巡视指导。

-学生展示解题过程，教师点评并总结。

3.练习三：函数模型优化（5分钟）

-学生独立完成练习，教师巡视指导。

-学生展示解题过程，教师点评并总结。

（四）课堂提问（5分钟）

1.提问一：函数模型在生活中的应用有哪些？

-学生回答，教师总结。

2.提问二：如何根据实际问题选择合适的函数模型？

-学生回答，教师总结。

（五）师生互动环节（5分钟）

1.教师引导学生讨论：如何将实际问题转化为数学问题？

-学生分组讨论，教师巡视指导。

2.教师提问：在函数模型应用过程中，如何验证模型的准确性？

-学生回答，教师总结。

（六）核心素养拓展（5分钟）

1.引导学生思考：如何将所学知识应用于实际生活中？

-学生分享自己的看法，教师点评。

2.提醒学生：关注实际问题中的数学规律，提高解决实际问题的能力。

（七）总结与布置作业（5分钟）

1.教师总结本节课的重点内容，强调函数模型在解决问题中的应用价值。

2.布置作业：选择一个实际问题，尝试构建函数模型，并利用模型进行预测或优化。

教学过程设计完毕。教学资源拓展1.拓展资源：

-函数模型在实际经济中的应用：介绍函数模型在经济学中的运用，如供需函数、成本函数等，通过实际案例展示函数模型如何帮助分析市场动态和制定经济策略。

-函数模型在物理学中的应用：探讨函数模型在物理学中的角色，例如，在运动学中，如何使用二次函数描述物体的运动轨迹；在电磁学中，如何用指数函数描述电流的变化。

-函数模型在生物学中的应用：分析函数模型在生物学研究中的应用，如种群增长模型、药物浓度随时间变化的模型等，展示数学模型如何帮助科学家理解生物现象。

-函数模型在社会学中的应用：介绍函数模型在社会学领域的应用，如犯罪率随时间的变化、人口分布等，展示数学模型如何帮助分析社会趋势。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读相关的科普书籍或学术论文，以了解函数模型在不同学科中的应用。

-建议学生参与数学建模竞赛或项目，通过实际操作来提高应用函数模型解决实际问题的能力。

-推荐学生观看数学教育视频或参加在线课程，以获取更多关于函数模型的理论和实践知识。

-建议学生收集和分析实际数据，尝试自己构建函数模型，并使用数学软件进行验证和优化。

-鼓励学生参与小组讨论，分享各自在函数模型应用中的发现和挑战，通过合作学习来拓展知识面。

-建议学生关注数学在日常生活和未来职业中的应用，思考如何将数学知识转化为解决实际问题的工具。内容逻辑关系①函数模型及其应用（4）本文重点知识点：

-函数模型的概念和特点

-函数模型的选择与建立

-函数模型的应用实例

②函数模型的选择与建立本文重点知识点：

-根据实际问题选择合适的函数类型

-确定函数模型的自变量和因变量

-建立函数模型的基本步骤

③函数模型的应用本文重点知识点：

-利用函数模型进行数据拟合

-应用函数模型进行预测和决策

-分析函数模型在实际问题中的适用性和局限性课后作业1.作业一：

题目：某城市居民的收入（Y）与年龄（X）之间存在一定的关系。根据以下数据，请构建一个合适的函数模型，并预测当X=40时，居民的平均收入Y。

数据：X（年龄）：20,25,30,35,40

Y（收入）：3000,3200,3400,3600,3800

解答：

通过观察数据，可以发现收入随年龄增加而增加，且增加的速度逐渐变慢。因此，可以选择二次函数模型来描述这种关系。设函数模型为Y=aX^2+bX+c，将数据代入求解得：

a=10,b=100,c=-500

所以，函数模型为Y=10X^2+100X-500。

当X=40时，Y=10*40^2+100*40-500=16000+4000-500=19500。

预测结果：当X=40时，居民的平均收入Y约为19500元。

2.作业二：

题目：某公司每月的营业额（Y）与广告投入（X）之间存在一定的关系。根据以下数据，请构建一个合适的函数模型，并预测当X=5000元时，公司的月营业额Y。

数据：X（广告投入）：1000,2000,3000,4000,5000

Y（营业额）：15000,18000,21000,24000,27000

解答：

通过观察数据，可以发现营业额随广告投入的增加而增加，且增加的速度逐渐变快。因此，可以选择指数函数模型来描述这种关系。设函数模型为Y=a*X^b，将数据代入求解得：

a=1.5,b=1.2

所以，函数模型为Y=1.5*X^1.2。

当X=5000时，Y=1.5*5000^1.2≈34567.5。

预测结果：当X=5000元时，公司的月营业额Y约为34567.5元。

3.作业三：

题目：某商品的售价（Y）与销售量（X）之间存在一定的关系。根据以下数据，请构建一个合适的函数模型，并预测当X=100件时，该商品的售价Y。

数据：X（销售量）：10,20,30,40,50

Y（售价）：50,45,40,35,30

解答：

通过观察数据，可以发现售价随销售量的增加而降低，且降低的速度逐渐变慢。因此，可以选择一次函数模型来描述这种关系。设函数模型为Y=aX+b，将数据代入求解得：

a=-5,b=55

所以，函数模型为Y=-5X+55。

当X=100时，Y=-5*100+55=-500+55=-445。

预测结果：当X=100件时，该商品的售价Y约为-445元（此处为负值，可能表示库存积压或降价促销）。

4.作业四：

题目：某城市的气温（Y）与时间（X）之间存在一定的关系。根据以下数据，请构建一个合适的函数模型，并预测当X=10时，该城市的气温Y。

数据：X（时间，单位：月）：1,2,3,4,5

Y（气温，单位：℃）：5,10,15,20,25

解答：

通过观察数据，可以发现气温随时间的增加而升高，且升高的速度保持不变。因此，可以选择线性函数模型来描述这种关系。设函数模型为Y=aX+b，将数据代入求解得：

a=5,b=0

所以，函数模型为Y=5X。

当X=10时，Y=5*10=50。

预测结果：当X=10时，该城市的气温Y约为50℃。

5.作业五：

题目：某工厂的产量（Y）与工作时间（X）之间存在一定的关系。根据以下数据，请构建一个合适的函数模型，并预测当X=8小时时，该工厂的产量Y。

数据：X（工作时间，单位：小时）：2,4,6,8,10

Y（产量）：50,100,150,200,250

解答：

通过观察数据，可以发现产量随工作时间的增加而增加，且增加的速度保持不变。因此，可以选择线性函数模型来描述这种关系。设函数模型为Y=aX+b，将数据代入求解得：

a=50,b=0

所以，函数模型为Y=50X。

当X=8时，Y=50*8=400。

预测结果：当X=8小时时，该工厂的产量Y约为400单位。课堂1.课堂评价：

1.1提问评价：

-通过提问的方式，教师可以实时了解学生对新知识的掌握程度。问题应覆盖教学重点和难点，如函数模型的选择、模型的构建过程、应用分析等。

-在提问时，教师应鼓励学生积极参与，对于回答正确的学生给予肯定，对于回答错误的学生耐心引导，帮助他们理解和纠正错误。

-用时：约5分钟。

1.2观察评价：

-教师应通过观察学生的课堂表现，如参与度、合作情况、解决问题的能力等，来评估学生的学习效果。

-观察学生的讨论态度、解决问题的策略以及对新知识的接受能力。

-用时：整个课堂过程中持续进行。

1.3测试评价：

-通过小测验或课堂练习，教师可以评估学生对知识的理解和应用能力。

-测试题目应设计合理，难度适中，能够全面反映学生的学习情况。

-用时：约10分钟。

1.4反馈评价：

-教师应给予学生及时的反馈，包括对正确答案的解释和对错误答案的纠正。

-反馈应具体、有针对性，帮助学生认识到自己的进步和需要改进的地方。

-用时：课后即时进行。

2.作业评价：

2.1作业批改：

-教师应对学生的作业进行认真批改，确保每个学生的作业都得到