高中数学 第四章 定积分 4.2 微积分基本定理教学实录1 北师大版选修2-2

高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理教学实录1北师大版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理教学实录1

2.教学年级和班级：高一年级2班

3.授课时间：2022年9月15日星期四上午第二节课

4.教学时数：1课时核心素养目标1.数学抽象：理解微积分基本定理，建立从微分到积分的数学思想。

2.数学建模：通过实例，学会将实际问题转化为微积分基本定理模型。

3.数学运算：熟练运用微积分基本定理进行积分运算。

4.数学推理：运用逻辑推理，证明微积分基本定理的正确性。

5.数学思想方法：体会极限思想在微积分中的应用。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了函数、极限和导数等基础知识。他们对函数的概念、导数的计算方法以及极限的基本性质有一定的了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高一年级的学生对数学学科普遍抱有较高的兴趣，尤其是对探索未知和解决实际问题的过程。他们的学习能力较强，能够通过自主学习掌握新知识。学习风格上，部分学生偏好通过直观的图形和实例来理解概念，而另一部分学生则更倾向于通过逻辑推理和公式推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习微积分基本定理时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是理解定理的物理意义和数学意义之间的联系；二是掌握从导数到积分的转换过程；三是证明定理的正确性时，逻辑推理的严密性和证明技巧的运用。此外，学生可能对积分运算的技巧和计算过程感到困惑。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-2教材，包含第四章定积分的内容。

2.辅助材料：准备与微积分基本定理相关的动态图表、历史图片和教学视频，以帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备黑板或电子白板，用于板书和展示关键公式和步骤。

4.教室布置：设置讨论区，方便小组合作，并确保教室环境安静、光线充足，适合进行数学讨论和计算。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台发布微积分基本定理的预习资料，包括定理的定义、历史背景和应用实例。

设计预习问题：提出如“如何从导数推导出积分？”等问题，引导学生思考积分的本质。

监控预习进度：通过平台查看学生的预习进度，确保学生能够完成预习任务。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生阅读资料，理解微积分基本定理的基本概念。

思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，记录疑问。

提交预习成果：学生提交预习笔记或思维导图，展示预习成果。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主探索微积分基本定理。

信息技术手段：利用在线平台监控和反馈预习情况。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示物理中的速度和位移关系，引出微积分基本定理。

讲解知识点：讲解微积分基本定理的证明过程，强调其重要性。

组织课堂活动：分组进行积分运算练习，学生互相检查和讨论。

解答疑问：针对学生的疑问，进行个别辅导和集体解答。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，思考定理的证明和应用。

参与课堂活动：积极参与积分运算的练习，学会运用定理。

提问与讨论：学生提出问题，参与讨论，加深对定理的理解。

教学方法/手段/资源：

讲授法：详细讲解定理的证明和应用。

实践活动法：通过实际运算练习，强化学生的技能。

合作学习法：通过小组合作，培养学生的沟通和协作能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置涉及微积分基本定理的应用题，巩固知识。

提供拓展资源：推荐相关书籍和在线资源，供学生深入学习。

反馈作业情况：批改作业，提供反馈，帮助学生查漏补缺。

学生活动：

完成作业：独立完成作业，巩固定理的应用。

拓展学习：利用拓展资源，探索积分在实际问题中的应用。

反思总结：反思学习过程，总结学习心得，提出改进措施。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生反思学习过程，提升自我学习能力。教学资源拓展1.拓展资源：

-微积分基本定理的历史背景：介绍微积分基本定理的发展历程，包括牛顿-莱布尼茨公式的历史渊源，以及它在数学发展中的地位。

-微积分基本定理的应用领域：探讨微积分基本定理在物理学、工程学、经济学等领域的应用实例，如力学中的功的计算、电路分析中的电流积分等。

-积分运算的实际应用：提供一些积分运算在生活中的实际应用案例，如计算物体的体积、计算曲线下的面积等。

-证明方法多样化：介绍微积分基本定理的多种证明方法，如极限法、无穷小替换法等，帮助学生理解定理的不同证明思路。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐阅读《微积分基本定理及其应用》等书籍，深入了解微积分基本定理的理论和应用。

-观看教学视频：推荐观看在线教育平台上的微积分基本定理相关教学视频，如“微积分基本定理的证明”等，帮助学生更好地理解定理。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如全国高中数学联赛等，通过竞赛提高对微积分基本定理的理解和应用能力。

-实践项目研究：引导学生参与数学实践项目，如设计一个利用微积分基本定理解决实际问题的项目，提高学生的实际应用能力。

-小组合作学习：组织学生进行小组合作学习，共同探讨微积分基本定理的证明和应用，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

-制作教学课件：鼓励学生制作微积分基本定理的教学课件，通过制作过程加深对定理的理解，并提高学生的教学表达能力。

-参加学术讲座：邀请数学专家进行学术讲座，让学生了解微积分基本定理的最新研究成果和发展趋势。

-开展数学研究：鼓励学生开展数学研究，如对微积分基本定理的证明方法进行改进或提出新的应用领域。教学反思与改进教学反思是一种自我审视的过程，它帮助我们教师更好地理解教学效果，发现教学中的不足，并在此基础上进行改进。在本节课的教学中，我有以下几点反思和改进措施：

1.学生对微积分基本定理的理解程度：

通过观察学生的课堂表现和作业完成情况，我发现部分学生对微积分基本定理的理解还不够深入。有些学生能够熟练地进行积分运算，但在理解和应用定理时却显得有些吃力。为了改进这一点，我计划在未来的教学中增加更多实例和实际问题，让学生在实际应用中加深对定理的理解。

2.课堂互动与讨论：

在本节课中，我尝试通过小组讨论和角色扮演等方式来增强课堂互动。然而，我发现部分学生参与度不高，讨论环节显得有些沉闷。为了改善这一状况，我打算在今后的教学中更加注重激发学生的兴趣，通过设置更具挑战性和趣味性的问题来提高学生的参与度。

3.教学节奏与难度控制：

在讲解微积分基本定理的证明过程中，我发现教学节奏过快，导致部分学生跟不上进度。同时，由于难度较大，一些学生在理解上存在困难。为了解决这个问题，我计划在今后的教学中适当调整教学节奏，确保每个学生都能跟上教学进度，并在讲解过程中加入更多易于理解的步骤和例子。

4.教学资源的利用：

在本节课中，我使用了多媒体资源来辅助教学，但发现有些资源并不适合当前的教学内容。为了提高教学效果，我将在未来的教学中更加精心挑选和制作教学资源，确保它们与教学内容紧密结合。

5.作业设计与反馈：

作业是检验学生学习效果的重要手段。在本节课的作业设计中，我发现部分题目过于简单，未能有效检测学生对微积分基本定理的掌握程度。为了改进这一点，我将在今后的作业设计中增加更多层次和难度的题目，同时确保及时批改和反馈，帮助学生查漏补缺。

6.学生个性化学习：

在本节课中，我注意到部分学生的学习进度明显落后于其他同学。为了更好地满足学生的个性化学习需求，我计划在未来的教学中采用差异化教学策略，针对不同学生的学习水平和需求，提供个性化的辅导和资源。

7.教学评价与反馈：

教学评价是了解学生学习效果的重要环节。在本节课中，我主要依赖于作业和课堂表现来评价学生的学习情况。为了更全面地了解学生的学习效果，我计划在未来的教学中增加更多的评价方式，如课堂提问、小组展示等，以便更准确地把握学生的学习状态。板书设计①微积分基本定理的定义：

-定理内容

-微分与积分的关系

-定理的物理意义

②定理的证明步骤：

-极限的定义和性质

-变限积分的定义

-变限积分与导数的关系

-定理的证明过程

③定理的应用：

-计算定积分

-解决实际问题

-物理学中的应用实例

④注意事项：

-定理适用的条件

-积分运算的技巧

-证明过程中的逻辑推理课后作业1.作业内容：利用微积分基本定理计算定积分\(\int_{0}^{2}(x^2-4x+5)\,dx\)。

解答过程：

首先，我们需要计算函数\(f(x)=x^2-4x+5\)的原函数。设\(F(x)\)为\(f(x)\)的一个原函数，则\(F'(x)=f(x)\)。

通过求导，我们可以得到\(F(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+5x+C\)，其中\(C\)为常数。

根据微积分基本定理，我们有\(\int_{0}^{2}(x^2-4x+5)\,dx=F(2)-F(0)\)。

计算\(F(2)=\frac{1}{3}(2)^3-2(2)^2+5(2)+C=\frac{8}{3}-8+10+C=\frac{10}{3}+C\)。

计算\(F(0)=\frac{1}{3}(0)^3-2(0)^2+5(0)+C=C\)。

因此，\(\int_{0}^{2}(x^2-4x+5)\,dx=\frac{10}{3}+C-C=\frac{10}{3}\)。

2.作业内容：已知函数\(f(x)=x^2+2x-3\)，求\(\int_{1}^{3}f'(x)\,dx\)。

解答过程：

首先，我们需要找到\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)。通过求导，我们得到\(f'(x)=2x+2\)。

根据微积分基本定理，我们有\(\int_{1}^{3}f'(x)\,dx=f(x)\bigg|_{1}^{3}\)。

计算\(f(3)=3^2+2(3)-3=9+6-3=12\)。

计算\(f(1)=1^2+2(1)-3=1+2-3=0\)。

因此，\(\int_{1}^{3}f'(x)\,dx=f(3)-f(1)=12-0=12\)。

3.作业内容：求由曲线\(y=e^x\)和直线\(y=x\)在区间\([0,1]\)内围成的图形的面积。

解答过程：

我们需要找到两条曲线的交点。设置\(e^x=x\)，通过观察或数值方法可以找到\(x\approx0.567\)为一个解。

由于\(e^x>x\)在区间\([0,1]\)内成立，面积\(A\)可以通过积分计算：

\(A=\int_{0}^{1}(e^x-x)\,dx\)。

计算这个积分，我们得到\(A\approx2.718-0.5=2.218\)。

4.作业内容：已知函数\(f(x)=\sin(x)\)，求\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}f'(x)\,dx\)。

解答过程：

首先，找到\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)。求导得到\(f'(x)=\cos(x)\)。

根据微积分基本定理，我们有\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}f'(x)\,dx=f(x)\bigg|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\)。

计算\(f(\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

计算\(f(\frac{\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)。

因此，\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}f'(x)\,dx=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\)。

5.作业内容：计算由曲线\(y=\ln(x)\)和\(y=x\)在区间\([1,e]\)内围成的图形的面积。

解答过程：

我们需要找到两条曲线的交点。设置\(\ln(x)=x\)，通过数值方法可以找到\(x=e\)为一个解。

由于\(\ln(x)<x\)在区间\([1,e]\)内成立，面积\(A\)可以通过积分计算：

\(A=\int_{1}^{e}(x-\ln(x))\,dx\)。

计算这个积分，我们得到\(A=\left[\frac{x^2}{2}-x+x\ln(x)\right]_{1}^{e}\)。

代入上下限，得到\(A=\left[\frac{e^2}{2}-e+e\ln(e)\right]-\left[\frac{1}{2}-1+1\ln(1)\right]\)。

因为\(\ln(1)=0\)，所以\(A=\frac{e^2}{2}-e\)。课堂课堂评价是教学过程中不可或缺的一环，它有助于教师了解学生的学习情况，及时发现问题并进行解决。以下是我对课堂评价的几个方面的具体实践：

1.提问与回答：

在课堂教学中，我经常通过提问来检查学生对知识的掌握程度。例如，在讲解微积分基本定理时，我会提出如下问题：

-请简述微积分基本定理的内容。

-能否举例说明微积分基本定理在物理中的应用？

-如何证明微积分基本定理的正确性？

通过学生的回答，我可以了解他们对定理的理解程度，以及是否能够灵活运用定理解决实际问题。

2.观察与反馈：

在课堂教学中，我会