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文档简介
重庆市江津中学校2024-2025学年九年级上学期12月定时作业
数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
A.打开电视机,正在播放《开学第一课》B.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯
C.任意画一个三角形,其内角和是180。D.买一张彩票,一定不会中奖
3.下列方程为一元二次方程的是()
A.ax2+bx+c=0B.x2-2x—3y-0
C.2x2=0D.孙+1=0
4.已知点(1,M)、(T,%)都在函数y=f+4x+5的图象上,则弘、%的大小关系为()
A.必*2B.C.必<%D.无法确定
5.如图,NB是O。的直径,C,。在上,且在48异侧,若//01)=40。,则/BCD的
C.70°D.75°
6.如图,一块含有30。角的直角三角板4BC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到
试卷第1页,共8页
HB'C的位置,若/C=15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为()
A.10%cmB.57icmC.\57icmD.20^cm
7.下列图形都是由同样大小的黑点按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有3个黑点,
第②个图形中一共有8个黑点,第③个图形中一共有14个黑点,……,则第⑥个图形中黑
点的个数是()
A.29B.38C.48D.59
8.已知抛物线了="2+6尤+。(。#0)的部分图象如图所示,若-3<><0,则x的取值范围
是()
B.-l<x<0或2<x<3
C.-l<x<3D.T<x<0或l<x<3
9.如图,在V48c中,ZACB=90°,将V/BC绕点/顺时针旋转90。得到V4DE,NBAD
的平分线交5c的延长线于点尸,连接。尸,若ZC=3,BC=1,则。尸的长为()
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C.y/6D.V2+I
10.已知关于x的整式M:ox"+6无3+cx?+公+e,其中0,"c,d,e为整数,且a<6<c<〃<e,
下列说法:①存在M为四次三项式;②令函数〉=ax4+6x3+cx2+dx+e,当尤=1时,函数
值为30,当x=0函数值为20,贝1Ja+6+c+d=10;③若px+q(其中p、q为整数)为整
式M的因式,则q一定整除e;④若a+6+c+d+e=15,且a,b,c,d,e均为自然数,
则满足条件的M共有7个.其中正确的个数是()
A.0B.1C.2D.3
二、填空题
11.已知点4。,-2)与点3(-1,2)关于原点对称,则。=.
12.一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个,这些球除颜色外都相同,将袋子中的球搅
拌均匀,从中随机摸出一个球,记下它的颜色再放回袋子中,不断重复这一过程,共摸了400
次球,发现有160次摸到黑球,由此估计袋中的黑球大约有个.
13.已知a、6是关于x的一元二次方程/+2》-7=0的两个根,则代数式
a2+5a+3b=-
14.如图是抛物线形拱桥,以顶点建立平面直角坐标系满足>此时拱顶离水面2m,
若再下降1m时,水面宽度增加.
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15.如图,边长为右与石的两个正方形并排放在一起,在大正方形中画一个以它的顶点8
为圆心,边长为半径的圆弧NC,连接CRAF,则圆弧/C与线段CF,/尸所围成的阴影部
分的面积是(结果保留万).
%+3、1
---->jc—I
16.若关于x的不等式组2_有且只有3个整数解,且关于y的一元二次方程
5x-2>m+4
(加-6)必+2了-1=0有两个实数根,则符合条件的所有整数〃?的和为
17.如图,是。。的直径,点。为48下方O。上一点,点。为扬的中点,连结
7
CD,CA,AD.延长/C、DB交于点、E,若CE=5,BD=~,则。。的半径为,
AD=.
18.材料一:对于一个三位正整数,若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6,则
称这个三位数为“中顺数”,例如:237,因为2+7-3=6,所以237是“中顺数”;
材料二:若/=而(1<«<9,04649,0<c<9,且a,6,c均为整数),i己尸。)=。一3。.
己知%=痂,^=丽是两个不同的“中顺数”,且尸&)+尸(幻能被13整除,贝!I
X=.满足条件最小的才2=
三、解答题
19.解下列一元二次方程:
(1)X2-2X-2=0;
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⑵(无一2『=5(2-x).
20.在学习圆的相关知识后,小帅同学进行了关于弦切角的相关探索(弦切角定义:顶点在
圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切的角;如图1,直线〃与O。相切于点/,即是。。
的一条弦,则/皿就是弦切角),探究弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数关系.请
根据这个思路完成以下作图和填空.
(1)如图2,A3是。。的直径,C、。是圆上两点,连接BC、CD、8。,请尺规作图:延长48,
过点2作垂直N3,即。。的切线MN;(M在点2左侧,N在点8右侧.保留作图痕
迹,不写作法)
⑵在(1)的条件下,求证:ZDBN=ZBCD.
证明:连接4D,
:48是O。的直径,
:.ZADB=90°;
:MN是过点8的切线,
,①,即443N=90°,
:.ZDBN+ZABD=90°,
又•.•N/+/A8Z)=90°,
②,
又,:NN和NC是弧所对的圆周角,
二③,
:.ZDBN=ZC,
由此,我们可以得到弦切角的结论:弦切角等于④.
21.为了建设书香校园,更好地满足学生的阅读需求,某校决定新增四类书籍(科普类、文
学类、艺术类、工具类),并计划根据学生的需求情况进行采购.为此,学校随机抽取了部
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分学生进行调查(每名学生必选且只选一类图书),并将调查结果进行统计分析,绘制成如
下不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)选文学类图书的学生有人,«=
(2)若该校共有学生1800人,请估计该校学生中需要工具类图书的人数;
(3)某班计划从报名的甲、乙、丙三名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员,请用
列表或画树状图的方法,求同时选中乙和丙的概率.
22.2024年“五一”假期期间,四面山景区特产店销售某种类特产,进价50元/件,售价为
60元/件.
(1)如果特产按原价销售每天可售出60件,经市场调查反映,特产每降价1元,每天可多售
出10件,若特产供货充足,商家想要薄利多销,且每天获利630元,应降价多少元?
(2)在(1)的条件下,每天的总利润为沙,试求出特产降价多少元时,总利润少最大,最
大利润是多少元?
23.如图,N3是。。的直径,点C为。。上一点,连接3C,点。在以的延长线上,点£
在上,过点£作。0的垂线分别交。C的延长线于点尸,交BC于点G,且"=2/8.
⑵若/3=22.5。且08=2,EF=4,求EG的长度.
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24.如图1,在V48c中,ZABC=90°,AB=4cm,3C=3cm.点尸从点N出发,以2cm/s
的速度沿折线Nf5-C运动,同时点。从点3出发,以1cm/s的速度沿线段2C运动,
当点。到达点C时,P。停止运动.设点尸运动的时间为x(s),AAPQ的面积为弘(cm).
6---r--T--]---;
5
4
图1图2
⑴请直接写出必与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围(面积必不取0);
(2)在图2平面直角坐标系中,画出M的函数图象,并写出这个函数的一条性质:;
(3)若必与x的函数图象与直线%=-x+〃有一个交点,则n的取值范围是.
25.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于/(-1,0),5(3,0)
(1)求抛物线的解析式.
(2)设点尸是直线/C上方抛物线上的一动点,过点P作尸N平行x轴,交抛物线于点N,PM
垂直NC于点当尸在对称轴左方时,求尸N+血尸M的最大值,并求出此时点尸的坐标.
⑶抛物线上是否存在一点。,使=45。,若存在,请求出点0的坐标;若不能,请说
明理由.
26.如图所示,VN8C为等腰三角形,A8=ZC,点。是线段3c上一点,连接4D.
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⑴如图1,若/2/C=90。,把40绕/顺时针旋转90。到/E,连接8£、ED,满足B£=l,
AE=5求8c的长;
(2)如图2,若ABAC=120。,把4D绕/顺时针旋转60°到AP,连接BP、PD,求证:BP=。尸;
⑶在(2)的条件下,点若G为平面内一点,若N/GC=90。,当尸G取最小值时,请直接写
出空的值.
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参考答案:
题号12345678910
答案ACCACABBAD
1.A
【分析】本题考查轴对称及中心对称的识别,掌握中心对称图形与轴对称图形的概念,要注
意:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对
称中心,旋转180度后与原图重合.根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可.
【详解】解:A、既是轴对称图形,又是中心对称图形,此选项符合题意;
B、不是中心对称图形,是轴对称图形,此选项不合题意;
C、是中心对称图形,不是轴对称图形,此选项不合题意;
D、不是中心对称图形,是轴对称图形,此选项不合题意,
故选:A.
2.C
【分析】本题考查事件的分类,根据必然事件是一定条件,一定会发生的事件,进行判断即
可.
【详解】解:A、打开电视机,正在播放《开学第一课》,是随机事件,不符合题意;
B、经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,是随机事件,不符合题意;
C、任意画一个三角形,其内角和是180。,是必然事件,符合题意;
D、买一张彩票,一定不会中奖,是随机事件,不符合题意;
故选C.
3.C
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.根
据一元二次方程的定义即可得到答案.
【详解】解:含有一个未知数,且未知数的次数是2的等式是一元二次方程,
故办2+云+0=0,其中(0片0),原式不是一元二次方程,选项A不符合题意;
X?-2工-3了=0含有两个未知数,不是一元二次方程,选项B不符合题意;
2/=0是一元二次方程,选项C符合题意;
个+1=0含有两个未知数,不是一元二次方程,选项D不符合题意;
故选C.
答案第1页,共25页
4.A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,以及二次函数的性质,分别代入x=l和
x=T可得%,%的大小关系.
【详解】解:•・•二次函数>=¥+4工+5,
・•・当x=l时,y[=1+4+5=10,
当%=-1时,%=1-4+5=2,
故选:A.
5.C
【分析】本题考查圆周角定理,先根据邻补角求出/5。。=140。,然后利用圆周角定理解题
即可.
【详解】解:•:ZAOD=40°,
:.ZBOD=1SO°-ZAOD=180°-40°=140°,
/BCD=-/BOD=-xl40°=70°,
22
故选:C.
6.A
【分析】根据题意求出NAC",然后利用弧长公式即可求出结论.
【详解】解:由题意可知:ZA=30°,ZABC=90°
・・・NACB=900—NA=60。
/.ZACAr=180°-ZACB=120°
工顶点A从开始到结束所经过的路径为以C为圆心,AC为半径的弧上
顶点A从开始到结束所经过的路径长为"黑15=10乃c机
故选A.
【点睛】此题考查的是求点的运动路径长,掌握弧长公式是解决此题的关键.
7.B
【分析】本题主要考查了图形变化规律问题,根据各图中点的变化特点得出规律,进而得出
答案.
答案第2页,共25页
【详解】第①个图中黑点的个数是3;
第②个图中黑点的个数是3+5=8;
第③个图中黑点的个数是8+6=14;
第④个图中黑点的个数是14+7=21;
第⑤个图中黑点的个数是21+8=29;
所以第⑥个图中黑点的个数是29+9=38.
故选:B.
8.B
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题;求-3<y<0时,x的取值范围,就是
二次函数的图象在x轴下方且在直线>=-3的上方时对应的x的范围.
【详解】解:由图象可得,抛物线的对称轴为直线x=l,经过点(-1,0)和(0,-3),
根据抛物线的对称性,也经过点(3,0)和(2,-3),
若一3<y<0,贝Ijx的取值范围是一l<x<0或2Vx<3,
故选:B.
9.A
【分析】延长CR口>交于点G,由旋转性质和角平分线的定义证明A/8尸丝A/。尸(SAS),
得到BF=DF,设BF=DF=x,证明四边形AEGC是正方形,得到NG=90°,CG=EG=3,
得到。G=2,BG=4,得到FG=4-尤,DG2+FG2DF2,得到4。+(8-x)2=—,即
得求解.
【详解】解:延长CF,ED交于点、G,
由旋转知,AB=AD,
,/AF平分NBAD,
二ZBAF=ZDAF=-ABAD,
2
答案第3页,共25页
AF=AF,
:.A^F^A^F(SAS),
BF=DF,
设BF=DF=x,
•・•ZACB=90°f
・・・ZACG=180°-ZACB=90°,
•:/E=/ACB=9U,ZCAE=9QP,
・・・ZACG=ZCAE=ZE=90°,
•・•AC=AE,
・・・四边形4£GC是正方形,
/.ZG=90°,CG=EG=AC=3,
BC=ED=T,
:.DG=EG-ED=2,BG=CD+BC=4,
:.FG=BG-BF=4-x,
DG2+FG2=DF2,
:.22+(4-X)2=X2,
解得x=N
2
:.DF=~,
2
故选:A.
【点睛】本题主要考查了旋转的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,正方形的判定
和性质,正确引出辅助线解决问题是解题的关键.
10.D
【分析】本题考查了多项式的概念,多项式乘以多项式,求函数值等知识,难度较大,熟练
掌握知识点是解题的关键.
①根据a<b<c<d<e,且。,b,c,d,e为整数,可得当°为0,则M的项数至少是4
项;②尤=1,x=0分别代入求解判断;③设
M=ax4+bx3+ex2+dx+e=(^px+q)^mx3+nx2+fa+(其中私"J,g均为整数),则常数
项e=gg,即可判断;④当q=0时,b=l,c=2,d=?>,e=9■b=l,c=2,d=4,e=8;
答案第4页,共25页
b=1,c=2,d=5,e=7;b=l,c=3,d=4,e=7;6=l,c=3,d=5,e=6;b=2,c=3,d==6;
当a=l时,b=2,c=3,d=4,e=5,故共有7种情况.
【详解】解:①根据a<6<c<d<e,且。,b,c,d,e为整数,可得当。为0,则M的
项数至少是4项,故不可能为四次三项式,故①错误;
②当x=l时,y=a+b+c+d+e=3Q,当x=0,y=e=20,则。+6+c+d=30-20=10,
故②正确;
③由题意得,=ax4+bx3+ex2+dx+e=(^px+q)^mx3+nx1+fa+(其中加,“J,g均为
整数),
则常数项e=qg,
,二=8为整数,
q
..•«一定整除e,故③正确;
a+b+c+d+e=15,a<b<c<d<e,且a,b,c,d,e均为自然数,
当a=0时,b=l,c=2,d=3,e=9;
b=l,c=2,d=4,e=8;
b=l,c=2,d=5,e=7;
b=l,c=3,d=4,e=7;
6=l,c=3,d=5,e=6;
b=2,c=3,d=4,e=6;
当a=l时,6=2,c=3,d=4,e=5
故④正确,
・••正确的有三个,
故选:D.
11.1
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征.熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵
坐标均互为相反数是解题的关键.
由点/(°,-2)与点5(-1,2)关于原点对称,可得。+(-1)=0,计算求解即可.
【详解】解::•点4“,-2)与点3(-1,2)关于原点对称,
a+(-1)=0,
答案第5页,共25页
解得,a=1>
故答案为:1.
12.10
【分析】本题考查了利用频率估计概率,根据概率公式先求出摸到黑球的概率,再乘以总球
的个数即可得出答案,解题的关键是理解大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置
左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来
估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值,随实
验次数的增多,值越来越精确.
【详解】解::共摸了400次球,有160次摸到黑球,
,摸到黑球的概率为瞿=0.4,
400
,袋中的黑球大约有25x0.4=10(个),
故答案为:10.
13.1
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值,由
题意可得“+2a-7=0,a+b^-2,再将式子变形为1+2a+3(“+6),整体代入计算即可
得解.
【详解】解:••%、6是关于x的一元二次方程/+2x-7=0的两个根,
••a2+2a—7=0,a+b=-2,
••a2+2。=7,
a?+5a+3b=Q?+2a+3a+3b=〃?+2a+3+b)=7+3x(-2)=1,
故答案为:1.
14.(2&一4)机/(-4+2指)机
【分析】本题考查了实际问题与二次函数.根据二次函数的图象分别求得当了=-2或y=-3
时,x的值,进而可求解.
【详解】解:依题意得:
当y=_;x?=_2时,x=±2,
此时水面宽度为2-(-2)=4m,
答案第6页,共25页
再下降1m,即当"-京2=-3时,X=±V6,
此时水面宽度为卜卡)=2\/&n,
,水面宽度增加:(276-4)m,
故答案为:(276-4)m.
“5〃
15.—
4
【分析】本题考查扇形面积的计算,掌握扇形面积、正方形以及平行线的性质是解决问题的
关键.根据正方形的性质,平行线的性质得出口•“=S.c,于是将S阴影部分转化为S扇形助c,
再根据扇形面积的计算方法进行计算即可.
【详解】解:如图,连接8尸,AC,
四边形/BCD是正方形,
NFBE=45。=4C3,
BF//AC,
SaFAC=S,四c(同底等高),
,•S阴影=S扇形切c
一360
_57r
=,
4
故答案为:一577.
4
16.20
【分析】此题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的根的情况,解题的关键是熟练
掌握各自运算方法.
表示出不等式组的解集,由不等式有且只有3个整数解确定出〃?的取值,再由关于y的一元
答案第7页,共25页
二次方程(加-6)/+2了-1=0有两个实数根,求出满足题意整数加的值,进而求出和.
1一①
【详解】解:
5x-2>加+4②
由①得x45,
口m+6
由②得x>三一
...原不等式组的解集为亨<XV5
・••方程组有且只有3个整数解,
x可取5、4、3.
-m+6-
:.2<----<3,
5
/.4<m<9.
・•・关于y的一元二次方程(切-6)/+2了-1=0有两个实数根,
A=22-4(/n-6)x(-lj>0J=Lm-6^0,
解得m>5S.m^=6,
5<m<9J=Lm*6,
.•.整数%的取值为5,7,8
所有整数〃7的和为7+5+8=12+8=20.
故答案为:20.
25
17.——6
8
【分析】延长CO交。。于R根据直径所对的圆周角为直角得再根据垂径定理
得CFLAD,设OO的半径为R,则/8=2R,OC=R,证明VZOCsVNBE,得到
7
AC=CE=5,BE=2OC=2R,进而得NE=10,。£=3D+8E=2R+-,在和
4
RtZUEZ)中利用勾股定理构造方程/长一瓦炉=/炉_。£2由此解出R即可,再由
AD2=AB2-BD2求解AD.
【详解】解:延长CO交。。于尸,
如图所示
答案第8页,共25页
E
一
是。。的直径,
:.ZADB=90。,即成;。,
丁点C为痴的中点,
根据垂径定理得CF1AD,
OC//BE,
设。。的半径为R则45=2&OC=R
•:OA=OB,OC//BE
:.NACO=ZE,
而/ao=/£/B,
.7AOC/ABE,
.ACOCAO
••瓦—BE—AB,
AB=2AO
:.AC=CE=-AE=5,BE=2OC=2R,
2
7
AE=TO,DE=BD+BE=2R+—,
4
在中,由勾股定理得2。2=282_m2
在RtZ\4ED中,由勾股定理得=/月2—。石2,
AB2-BD2=AE2-DE2
,・.(2汽)2-1]=1°2-(2尺+:,
整理得8R2+7RT00=0,
解得与=2胃5,&=-4(不合题意,舍去),
O
25
...。。的半径为
O
答案第9页,共25页
2
257:36,
AD1=AB2-BD2=
・・・AD=6,
25
故答案为:—-;6.
o
【点睛】此题主要考查了圆周角定理,垂径定理,勾股定理,相似三角形的判定与性质,理
解圆周角定理,熟练掌握垂径定理,灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键.
18.2138
【分析】本题考查了新定义,解一元一次方程,不等式的性质,数的整除等知识点,正确理
解题意是解题的关键.
f2+6—x-6_/、/、
由新定义得到<,则x=2,可求尸⑷+尸幻=〃-3〃-16,要使得最小,那
[m+n-y=6
么相应该最小,而1(沈(9,则加=1,那么加一3〃-16=-3〃-15,贝!]一3〃-15=-26或
—3〃—15=—39,解方程即可.
【详解】解::“旃,/2=而是两个不同的“中顺数”,
J2+6-x=6
\m-\-n-y=6
x=2,
:/=痂(l<a<9,0<&<9,0<c<9,且a,b,c均为整数),i己/。)=。一3。,
.,.尸(%)+尸«2)=2-3X6+〃Z-3〃=机一3〃一16,
要使得最小,那么加应该最小,而7V9,
m=1
m-3n—16=—3n-15,
:尸&)+尸色)能被13整除,0V"V9
/.-42<-3n-15<-15,
A-3H-15=-26,
解得:〃=g(舍),
或-3〃-15=-39,
答案第10页,共25页
解得:〃=8,
m+n—y=6,
y=3,
:・q=138,
故答案为:2;138.
19.(1).=1+A/3,x2=1—A/3
(2)再=2,X2=-3
【分析】本题考查了解一元二次方程,熟练掌握直接开平方法,因式分解法,配方法和公式
法是解题的关键.
(1)利用配方法求解;
(2)利用因式分解法求解.
【详解】(1)解:x2-2x—2=0
x2-2x=2
-2x+1—3
(1)2=3
尤-1=y/3X-1=-A/S,
解得:X[=1+-x/3,x2=1-V3;
(2)解:(x-2)2=5(2-x)
(X-2)2+5(X-2)=0
(x-2)(x-2+5)=0
x-2=0或x+3=0
解得:%=2,%2=-3.
20.⑴见解析
Q'ABLMN,NDBN=NA,ZA=NC,它所夹的弧所对的圆周角
【分析】本题考查了尺规作图一作垂线,圆周角定理,切线的性质,熟练掌握知识点的应
用是解题的关键.
答案第11页,共25页
(1)以8为圆心,任意长度为半径画弧,交4B于点G、H,以G、〃为圆心,大于长
度为半径画弧,两弧交于点M、N,连接即可;
(2)连接40,由48是。。的直径,得ZAD3=90。;又是过点B的切线,则
即443N=90。,故有ND3N=N/,又ZA=NC,则/D8N=NC,从而得出结论;
【详解】(1)如图,①以3为圆心,任意长度为半径画弧,交4B于点G、H;
②以G、H为圆心,大于1G〃长度为半径画弧,两弧交于点M、N;
③连接跖V;
即为所求;
NADB=90°;
是过点B的切线,
:.ABLMN,即ZABN=90°,
:.ZDBN+AABD=90°,
答案第12页,共25页
・・•ZA+ZABD=90°,
:.ZDBN=ZA,
又・・♦//和/C是弧AD所对的圆周角,
・•・ZA=ZC,
:./DBN=/C,
由此,我们可以得到弦切角的结论:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
故答案为:ABLMN,NDBN=NA,N4=NC,它所夹的弧所对的圆周角.
21.(1)70,108
⑵估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人
(3)1
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,列表法与树状图法,读懂统计
图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
(1)用科普类的人数除以对应百分比可得总人数,再求出选文学类图书的人数,用360乘“艺
术类”所占百分比可得对应的圆心角度数;
(2)用该校共有学生人数1800乘以工具类图书所占百分比即可;
(3)根据题意,可以画出相应的树状图,从而可以求得相应的概率.
【详解】(1)调查的学生总人数为50+25%=200(人),
...选文学类图书的学生有200-(50+60+20)=70(人).
a=360°x—=108°.
200
故答案为:70,108;
20
(2)解:1800x——=180(人),
200
估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人.
(3)解:列表如下:
甲乙丙T
甲(甲,乙)(甲,丙)(甲,丁)
乙(乙,甲)(乙,丙)(乙,丁)
丙(丙,甲)(丙,乙)(丙,丁)
答案第13页,共25页
T(T,甲)(T,乙)(丁,丙)
共有12种等可能的结果,其中同时选中乙和丙的结果有:(乙,丙),(丙,乙),共2种,
..21
.•.同时选中乙和丙的概率为P=—=--.
126
22.(1)3元
(2)降价2元时,总利润W最大,最大利润是640元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用,二次函数的实际应用,正确理解题意是解题的关
键.
(1)根据利润=单个利润x数量列方程计算出x的值即可;
(2)根据利润=单个利润x数量得到用关于x的函数解析式,再配方求最值.
【详解】(1)解:设降价x元,
则由题意得:(60-x-50)(60+10x)=630,
整理得:x2-4x+3=Q>
解得:再=1,%=3,
..•商家想要薄利多销,
应降价3元;
(2)解:FT=(60-X-50)(60+10X)=-10X2+40X+600=-10(X-2)2+640,
V-10<0,
x=2时,总利润少最大,最大值为640元,
.•.特产降价2元时,总利润少最大,最大利润是640元.
23.(1)证明见解析;
(2)£G=6-472.
【分析】(1)连接OC,由成,8D,则可得出40+/尸=90。,再根据三角形的外角性质
可得NCOD=2乙8,从而有/。。。=/尸=2/8,故有ZD+NCOZ)=90。,所以可证
OC1DF,从而求证;
(2)由(1)得:ZCOD=ZF=2ZB,ZDCO=90°,则可得/。。。=/尸=/。=45°,
OC=CD=OB=2,通过勾股定理求出。尸=4力,由角度和差,三角形的外角性质可以得到
NFGC=NEGB,则尸C=FG,最后由线段和差即可求解;
本题考查了切线的判定及性质,勾股定理,等腰三角形的判定,三角形的外角性质,熟练掌
答案第14页,共25页
握知识点的应用是解题的关键.
【详解】(1)证明:如图,连接。C,
EFLBD,
:・/DEF=90。,
:.ZD+ZF=90°,
•・•0C=OB,
:./B=/OCB,
・.•ZCOD=ZB+ZOCB,
:./COD=2/B,
VZF=2ZB,
・・・NCOD=/F=2/B,
:.AD+/COD=90°,
AZOCO=90°,即OC_L。尸,
•・,oc是oo的半径,
工。尸是。O的切线;
(2)解:如上图,由(1)得:/COD=/F=2/B,ZDCO=90°,
:.ZCOD=ZF=45°,ZOCF=90°,
・・・ZCOD=ZF=ZD=45°,
:.OC=CD=OB=2,
・••由勾股定理得:DF=yjEF2+DE2=V42+42=4收,
OC=OB,
:./B=ZOCB,
・•・ZOCB+ZFCG=ZB+NEGB=90°,
答案第15页,共25页
・•・ZFCG=ZEGB,
ZFGC=ZEGB,
:.FC=FG,
*:FC=DF-CD,
:・FC=FG=A4i—2,
・,.EG=EF—FG=4-(472-2)=6-4x/2.
X2(0<x<2)
24.(1)71=
8-2无(2<尤43)
⑵作图见解析,性质:当x=2时,△,尸。的面积最大,且为4(答案不唯一)
⑶0<〃<5或〃=6
【分析】本题考查了动点问题的函数图象,一次函数与二次函数综合.
(1)分两种情况分别计算即可;
(2)画出函数图象后分析函数图象即可得到性质;
(3)平移%=「+",找到与必的函数图象有两个交点的范围即可.
【详解】(1)解:当点P在线段上时,0<xW2,
止匕时/尸=2x,BQ=x,
11,
J71=S.APQ=^AP-BQ=2X-X=X;
当点P在线段3c上时,2<x43,
止匕时BP=2x-4,BQ=x,
PQ=BQ-BP=4-x,
必=g/8-P0=gx4(4-x)=8-2x;
x2(0<x<2)
综上所述,J1-[8-2x(2<x<3)
(2)解:函数图象如图所示,
答案第16页,共25页
性质:当尤=2时,△/尸。的面积最大,且为4(答案不唯一),
故答案为:当x=2时,入4尸。的面积最大,且为4(答案不唯一);
(3)解:平移%=-x+〃,如图所示:
当%=-x+〃过(0,0)时,没有交点,此时函数解析式为%=-x,"=0,
当%=-彳+〃过(3,2)时,有两个交点,-3+〃=2,贝!]〃=5,
此时函数解析式为%=-x+5,
若必与x的函数图象与直线为=-x+力有两个交点,贝IJ"的取值范围是0<"<5
当%=-工+〃过(2,4)时,有1个交点,贝i1-2+w=4,贝1]〃=6,
综上:若必与x的函数图象与直线为=-x+n有两个交点,则"的取值范围是0<〃<5或〃=6,
故答案为:0<〃<5或"=6.
25.(1)y=—厂+2x+3
⑶存在,Q
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题,涉及待定系数法求函数解析式,二次
函数的图象与性质,解直角三角形等知识,难度较大,熟练掌握知识点是解题的关键.
答案第17页,共25页
(1)运用待定系数法直接求解即可;
(2)过点P作尸T〃>轴交/C于点T,4PMT为等腰直角三角形,则PT=旦一=41PM,
sinZ4
而尸N=2——=2-2r,PT=-t2+2t+3-t-l=-t2+t+2,故
PN+41PM=PN+PT=2-2t+{-t2+t+2]=-f-t+4=-^t+^+[,即可求解;
(3)连接。C,过点。作DKL/C于点K,过点。作0cx轴于点将问题化为
ZCAD=ZQAB,继而利用等角的正切值相等,建立方程,求解即可.
【详解】⑴解:•••抛物线y=f2+6x+c与x轴交于/(TO),3(3,0)两点,
J-l-6+c=0
[-9+36+。=。'
\b=2
解得:…
[c=3
解析式为:y=-x2+2x+3
(2)解:过点。作尸丁〃》轴交4。于点T,
》=0时,x+l=O,
解得:x――1,
AAO=OR=\,而/4。&二90。
工/1=/2=/3=45。,
而尸T〃歹轴,
・・./4=/3=45。,
而PM垂直AC于点M,
答案第18页,共25页
/.小PMT为等腰直角三角形,
2,
:对称轴为:直线龙=-西f=1,
设尸(I,一厂+2/+3)(—
平行x轴,
关于直线x=l对称,
XN-2—/,
***PN=2—t—t=2—2t,
而力=1+1,
••PT———+2/+3—,一1二—+,+2,
PN+42PM=PN+PT=2-2t+(^-t2+t+2^=-t2一/+4=—[+3]+[,
V-1<;<1,且-l<0,
117
,当仁-金时,取得最大值为U,
-1
(3)解:存在,理由如下:
连接。C,过点。作DKL/C于点K,过点。作轴于点心
由上知ZCAB=45°,
/.ZCAB=ZDAQ=45°,
ZCAD=ZQAB,
答案第19页,共25页
y——%2+2x+3
联立
y=x+l
x=-l、x=2
解得:y=0或
y=3
.-.C(2,3),
而对于抛物线歹=--+2_«+3,当尤=0,y=3,
。(0,3),
Z)C〃x轴,DC=2
:.ZDCK=ZCAB=45°,
同上可得:DK=CK=—DC=y[l,
2
而/C=J(2+l)?+32=3叵,
AK=AC-CK=26,
DK]
二.tanZ_CA,D------——,
AK2
tanZ.QAB=~,
设2+2〃+3),
.一+2n+31
••---------------——,
n+\2
解得:”=!■或〃=-i(舍)
26.(1)V5+1
(2)见解析
⑶行
【分析】(1)过点£作ET_L48于点7,先证明"EB乌AADC(SAS),贝ljN2=NC=45。,
则8T=£T=走,在中,由勾股定理得/7=巫,则=/T+2T=布+后,
222
在RtZ\48C中,由8。=收/8即可求解;
(2)以为边,在A8上方作等边连接PR,
答案第20页,共25页
AR=BR=AB,NARB=ZABR=ZBAR=60°,可证明^RAP^BAD(SAS),贝!]
ZARP=ZABC=30°,继而=则夫尸=RP,证明尸四ARS尸(SAS),贝I]
BP=AP,即可求证BP=D?;
(3)解:以NC为边,向下作等边A/SC,连接PS,取NC中点H,连接
AG,GC,PG,CG,PH,GH,BP,记NS交2C于点/,同理可证明A4PS也A40c(SAS),可得
点P轨迹为射线S尸,点G在以〃为圆心,H4为半径的圆上运动,显然点/也在上
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