重庆市某中学2024-2025学年九年级上学期12月定时作业数学试题

重庆市江津中学校2024-2025学年九年级上学期12月定时作业

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.打开电视机，正在播放《开学第一课》B.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

C.任意画一个三角形，其内角和是180。D.买一张彩票，一定不会中奖

3.下列方程为一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B.x2-2x—3y-0

C.2x2=0D.孙+1=0

4.已知点（1，M）、（T,%）都在函数y=f+4x+5的图象上，则弘、%的大小关系为（）

A.必*2B.C.必<%D.无法确定

5.如图，NB是O。的直径，C,。在上，且在48异侧,若//01)=40。，则/BCD的

C.70°D.75°

6.如图，一块含有30。角的直角三角板4BC,在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到

试卷第1页，共8页

HB'C的位置，若/C=15cm,那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）

A.10%cmB.57icmC.\57icmD.20^cm

7.下列图形都是由同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个黑点,

第②个图形中一共有8个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，……，则第⑥个图形中黑

点的个数是（）

A.29B.38C.48D.59

8.已知抛物线了="2+6尤+。（。#0）的部分图象如图所示，若-3<><0,则x的取值范围

是（）

B.-l<x<0或2<x<3

C.-l<x<3D.T<x<0或l<x<3

9.如图，在V48c中，ZACB=90°,将V/BC绕点/顺时针旋转90。得到V4DE,NBAD

的平分线交5c的延长线于点尸，连接。尸，若ZC=3,BC=1,则。尸的长为（）

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C.y/6D.V2+I

10.已知关于x的整式M：ox"+6无3+cx?+公+e,其中0,"c,d,e为整数，且a<6<c<〃<e,

下列说法：①存在M为四次三项式；②令函数〉=ax4+6x3+cx2+dx+e,当尤=1时，函数

值为30,当x=0函数值为20,贝1Ja+6+c+d=10；③若px+q（其中p、q为整数）为整

式M的因式，则q一定整除e；④若a+6+c+d+e=15,且a,b,c,d,e均为自然数，

则满足条件的M共有7个.其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

11.已知点4。,-2）与点3（-1,2）关于原点对称，则。=.

12.一个不透明的袋子中有红球和黑球共25个，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球搅

拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回袋子中，不断重复这一过程，共摸了400

次球，发现有160次摸到黑球，由此估计袋中的黑球大约有个.

13.已知a、6是关于x的一元二次方程/+2》-7=0的两个根，则代数式

a2+5a+3b=-

14.如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足>此时拱顶离水面2m,

若再下降1m时，水面宽度增加.

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15.如图，边长为右与石的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点8

为圆心，边长为半径的圆弧NC,连接CRAF,则圆弧/C与线段CF,/尸所围成的阴影部

分的面积是（结果保留万）.

%+3、1

---->jc—I

16.若关于x的不等式组2_有且只有3个整数解，且关于y的一元二次方程

5x-2>m+4

（加-6）必+2了-1=0有两个实数根，则符合条件的所有整数〃?的和为

17.如图，是。。的直径，点。为48下方O。上一点，点。为扬的中点，连结

7

CD,CA,AD.延长/C、DB交于点、E,若CE=5,BD=~,则。。的半径为,

AD=.

18.材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6,则

称这个三位数为“中顺数”，例如:237,因为2+7-3=6,所以237是“中顺数”；

材料二：若/=而（1<«<9,04649,0<c<9,且a,6,c均为整数），i己尸。）=。一3。.

己知％=痂，^=丽是两个不同的“中顺数”，且尸&）+尸（幻能被13整除，贝！I

X=.满足条件最小的才2=

三、解答题

19.解下列一元二次方程:

（1）X2-2X-2=0;

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⑵（无一2『=5（2-x）.

20.在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在

圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图1,直线〃与O。相切于点/,即是。。

的一条弦，则/皿就是弦切角），探究弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数关系.请

根据这个思路完成以下作图和填空.

（1）如图2,A3是。。的直径，C、。是圆上两点，连接BC、CD、8。，请尺规作图：延长48,

过点2作垂直N3,即。。的切线MN；（M在点2左侧，N在点8右侧.保留作图痕

迹，不写作法）

⑵在（1）的条件下，求证：ZDBN=ZBCD.

证明：连接4D,

：48是O。的直径，

：.ZADB=90°；

：MN是过点8的切线，

，①，即443N=90°,

：.ZDBN+ZABD=90°,

又•.•N/+/A8Z）=90°,

②，

又,:NN和NC是弧所对的圆周角，

二③，

：.ZDBN=ZC,

由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于④.

21.为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文

学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购.为此，学校随机抽取了部

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分学生进行调查(每名学生必选且只选一类图书)，并将调查结果进行统计分析，绘制成如

下不完整的统计图.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)选文学类图书的学生有人，«=

(2)若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；

(3)某班计划从报名的甲、乙、丙三名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用

列表或画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率.

22.2024年“五一”假期期间，四面山景区特产店销售某种类特产，进价50元/件，售价为

60元/件.

(1)如果特产按原价销售每天可售出60件，经市场调查反映，特产每降价1元，每天可多售

出10件，若特产供货充足，商家想要薄利多销，且每天获利630元，应降价多少元？

(2)在(1)的条件下，每天的总利润为沙，试求出特产降价多少元时，总利润少最大，最

大利润是多少元？

23.如图，N3是。。的直径，点C为。。上一点，连接3C,点。在以的延长线上，点£

在上，过点£作。0的垂线分别交。C的延长线于点尸，交BC于点G,且"=2/8.

⑵若/3=22.5。且08=2,EF=4,求EG的长度.

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24.如图1,在V48c中，ZABC=90°,AB=4cm,3C=3cm.点尸从点N出发，以2cm/s

的速度沿折线Nf5-C运动，同时点。从点3出发，以1cm/s的速度沿线段2C运动，

当点。到达点C时，P。停止运动.设点尸运动的时间为x(s),AAPQ的面积为弘(cm).

6---r--T--]---;

5

4

图1图2

⑴请直接写出必与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围(面积必不取0)；

(2)在图2平面直角坐标系中，画出M的函数图象，并写出这个函数的一条性质：；

(3)若必与x的函数图象与直线%=-x+〃有一个交点，则n的取值范围是.

25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于/(-1,0),5(3,0)

(1)求抛物线的解析式.

(2)设点尸是直线/C上方抛物线上的一动点，过点P作尸N平行x轴，交抛物线于点N,PM

垂直NC于点当尸在对称轴左方时，求尸N+血尸M的最大值，并求出此时点尸的坐标.

⑶抛物线上是否存在一点。，使=45。，若存在，请求出点0的坐标；若不能，请说

明理由.

26.如图所示，VN8C为等腰三角形，A8=ZC,点。是线段3c上一点，连接4D.

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⑴如图1,若/2/C=90。，把40绕/顺时针旋转90。到/E,连接8£、ED,满足B£=l,

AE=5求8c的长；

(2)如图2,若ABAC=120。，把4D绕/顺时针旋转60°到AP,连接BP、PD,求证：BP=。尸；

⑶在(2)的条件下，点若G为平面内一点，若N/GC=90。，当尸G取最小值时，请直接写

出空的值.

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参考答案:

题号12345678910

答案ACCACABBAD

1.A

【分析】本题考查轴对称及中心对称的识别，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注

意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对

称中心,旋转180度后与原图重合.根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可.

【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不合题意；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项不合题意，

故选：A.

2.C

【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件是一定条件，一定会发生的事件，进行判断即

可.

【详解】解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意；

B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；

C、任意画一个三角形，其内角和是180。，是必然事件，符合题意；

D、买一张彩票，一定不会中奖，是随机事件，不符合题意；

故选C.

3.C

【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.根

据一元二次方程的定义即可得到答案.

【详解】解：含有一个未知数，且未知数的次数是2的等式是一元二次方程，

故办2+云+0=0,其中（0片0）,原式不是一元二次方程，选项A不符合题意；

X?-2工-3了=0含有两个未知数，不是一元二次方程，选项B不符合题意；

2/=0是一元二次方程，选项C符合题意；

个+1=0含有两个未知数，不是一元二次方程，选项D不符合题意；

故选C.

答案第1页，共25页

4.A

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，分别代入x=l和

x=T可得%，%的大小关系.

【详解】解：•・•二次函数＞=¥+4工+5,

・•・当x=l时，y[=1+4+5=10,

当％=-1时，%=1-4+5=2,

故选：A.

5.C

【分析】本题考查圆周角定理，先根据邻补角求出/5。。=140。，然后利用圆周角定理解题

即可.

【详解】解：•：ZAOD=40°,

：.ZBOD=1SO°-ZAOD=180°-40°=140°,

/BCD=-/BOD=-xl40°=70°,

22

故选：C.

6.A

【分析】根据题意求出NAC",然后利用弧长公式即可求出结论.

【详解】解：由题意可知：ZA=30°,ZABC=90°

・・・NACB=900—NA=60。

/.ZACAr=180°-ZACB=120°

工顶点A从开始到结束所经过的路径为以C为圆心，AC为半径的弧上

顶点A从开始到结束所经过的路径长为"黑15=10乃c机

故选A.

【点睛】此题考查的是求点的运动路径长，掌握弧长公式是解决此题的关键.

7.B

【分析】本题主要考查了图形变化规律问题，根据各图中点的变化特点得出规律，进而得出

答案.

答案第2页，共25页

【详解】第①个图中黑点的个数是3；

第②个图中黑点的个数是3+5=8；

第③个图中黑点的个数是8+6=14；

第④个图中黑点的个数是14+7=21；

第⑤个图中黑点的个数是21+8=29；

所以第⑥个图中黑点的个数是29+9=38.

故选：B.

8.B

【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；求-3<y<0时，x的取值范围，就是

二次函数的图象在x轴下方且在直线>=-3的上方时对应的x的范围.

【详解】解：由图象可得，抛物线的对称轴为直线x=l,经过点(-1,0)和(0,-3),

根据抛物线的对称性，也经过点(3,0)和(2,-3),

若一3<y<0,贝Ijx的取值范围是一l<x<0或2Vx<3,

故选：B.

9.A

【分析】延长CR口>交于点G,由旋转性质和角平分线的定义证明A/8尸丝A/。尸(SAS),

得到BF=DF,设BF=DF=x,证明四边形AEGC是正方形，得到NG=90°,CG=EG=3,

得到。G=2,BG=4,得到FG=4-尤，DG2+FG2DF2,得到4。+(8-x)2=—,即

得求解.

【详解】解：延长CF,ED交于点、G,

由旋转知，AB=AD,

,/AF平分NBAD,

二ZBAF=ZDAF=-ABAD,

2

答案第3页，共25页

AF=AF,

：.A^F^A^F(SAS),

BF=DF,

设BF=DF=x,

•・•ZACB=90°f

・・・ZACG=180°-ZACB=90°,

•:/E=/ACB=9U,ZCAE=9QP,

・・・ZACG=ZCAE=ZE=90°,

•・•AC=AE,

・・・四边形4£GC是正方形，

/.ZG=90°,CG=EG=AC=3,

BC=ED=T,

：.DG=EG-ED=2,BG=CD+BC=4,

：.FG=BG-BF=4-x,

DG2+FG2=DF2,

：.22+(4-X)2=X2,

解得x=N

2

：.DF=~,

2

故选：A.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定

和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

10.D

【分析】本题考查了多项式的概念，多项式乘以多项式，求函数值等知识，难度较大，熟练

掌握知识点是解题的关键.

①根据a<b<c<d<e,且。，b,c,d,e为整数，可得当°为0,则M的项数至少是4

项；②尤=1,x=0分别代入求解判断；③设

M=ax4+bx3+ex2+dx+e=(^px+q)^mx3+nx2+fa+(其中私"J,g均为整数)，则常数

项e=gg,即可判断；④当q=0时，b=l,c=2,d=?>,e=9■b=l,c=2,d=4,e=8；

答案第4页，共25页

b=1,c=2,d=5,e=7；b=l,c=3,d=4,e=7；6=l,c=3,d=5,e=6；b=2,c=3,d==6；

当a=l时，b=2,c=3,d=4,e=5,故共有7种情况.

【详解】解：①根据a<6<c<d<e,且。，b,c,d,e为整数，可得当。为0,则M的

项数至少是4项，故不可能为四次三项式，故①错误；

②当x=l时，y=a+b+c+d+e=3Q,当x=0,y=e=20,则。+6+c+d=30-20=10,

故②正确；

③由题意得，=ax4+bx3+ex2+dx+e=(^px+q)^mx3+nx1+fa+(其中加,“J,g均为

整数)，

则常数项e=qg,

，二=8为整数，

q

..•«一定整除e,故③正确；

a+b+c+d+e=15,a<b<c<d<e,且a,b,c,d,e均为自然数，

当a=0时，b=l,c=2,d=3,e=9；

b=l,c=2,d=4,e=8；

b=l,c=2,d=5,e=7；

b=l,c=3,d=4,e=7；

6=l,c=3,d=5,e=6；

b=2,c=3,d=4,e=6；

当a=l时，6=2,c=3,d=4,e=5

故④正确，

・••正确的有三个，

故选：D.

11.1

【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征.熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵

坐标均互为相反数是解题的关键.

由点/(°,-2)与点5(-1,2)关于原点对称，可得。+(-1)=0,计算求解即可.

【详解】解：:•点4“，-2)与点3(-1,2)关于原点对称，

a+(-1)=0,

答案第5页，共25页

解得，a=1>

故答案为：1.

12.10

【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据概率公式先求出摸到黑球的概率，再乘以总球

的个数即可得出答案，解题的关键是理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置

左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来

估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随实

验次数的增多，值越来越精确.

【详解】解：：共摸了400次球，有160次摸到黑球，

，摸到黑球的概率为瞿=0.4,

400

，袋中的黑球大约有25x0.4=10(个)，

故答案为：10.

13.1

【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，由

题意可得“+2a-7=0,a+b^-2,再将式子变形为1+2a+3(“+6),整体代入计算即可

得解.

【详解】解：••%、6是关于x的一元二次方程/+2x-7=0的两个根，

••a2+2a—7=0,a+b=-2,

••a2+2。=7,

a?+5a+3b=Q?+2a+3a+3b=〃？+2a+3+b)=7+3x(-2)=1,

故答案为：1.

14.(2&一4)机/(-4+2指)机

【分析】本题考查了实际问题与二次函数.根据二次函数的图象分别求得当了=-2或y=-3

时，x的值，进而可求解.

【详解】解：依题意得：

当y=_；x?=_2时，x=±2,

此时水面宽度为2-(-2)=4m,

答案第6页，共25页

再下降1m,即当"-京2=-3时，X=±V6,

此时水面宽度为卜卡）=2\/&n,

,水面宽度增加：（276-4）m,

故答案为：（276-4）m.

“5〃

15.—

4

【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积、正方形以及平行线的性质是解决问题的

关键.根据正方形的性质，平行线的性质得出口•“=S.c，于是将S阴影部分转化为S扇形助c，

再根据扇形面积的计算方法进行计算即可.

【详解】解：如图，连接8尸，AC,

四边形/BCD是正方形,

NFBE=45。=4C3,

BF//AC,

SaFAC=S,四c（同底等高）,

,•S阴影=S扇形切c

一360

_57r

=,

4

故答案为：一577.

4

16.20

【分析】此题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟练

掌握各自运算方法.

表示出不等式组的解集，由不等式有且只有3个整数解确定出〃?的取值，再由关于y的一元

答案第7页，共25页

二次方程（加-6）/+2了-1=0有两个实数根，求出满足题意整数加的值，进而求出和.

1一①

【详解】解：

5x-2>加+4②

由①得x45,

口m+6

由②得x>三一

...原不等式组的解集为亨<XV5

・••方程组有且只有3个整数解,

x可取5、4、3.

-m+6-

:.2<----<3,

5

/.4<m<9.

・•・关于y的一元二次方程（切-6）/+2了-1=0有两个实数根,

A=22-4（/n-6）x（-lj>0J=Lm-6^0,

解得m>5S.m^=6,

5<m<9J=Lm*6,

.•.整数%的取值为5,7,8

所有整数〃7的和为7+5+8=12+8=20.

故答案为：20.

25

17.——6

8

【分析】延长CO交。。于R根据直径所对的圆周角为直角得再根据垂径定理

得CFLAD,设OO的半径为R,则/8=2R,OC=R,证明VZOCsVNBE,得到

7

AC=CE=5,BE=2OC=2R,进而得NE=10,。£=3D+8E=2R+-,在和

4

RtZUEZ）中利用勾股定理构造方程/长一瓦炉=/炉_。£2由此解出R即可，再由

AD2=AB2-BD2求解AD.

【详解】解：延长CO交。。于尸，

如图所示

答案第8页，共25页

E

一

是。。的直径,

:.ZADB=90。,即成；。，

丁点C为痴的中点，

根据垂径定理得CF1AD,

OC//BE,

设。。的半径为R则45=2&OC=R

•：OA=OB,OC//BE

：.NACO=ZE,

而/ao=/£/B,

.7AOC/ABE,

.ACOCAO

••瓦—BE—AB，

AB=2AO

：.AC=CE=-AE=5,BE=2OC=2R,

2

7

AE=TO,DE=BD+BE=2R+—,

4

在中，由勾股定理得2。2=282_m2

在RtZ\4ED中，由勾股定理得=/月2—。石2,

AB2-BD2=AE2-DE2

,・.（2汽）2-1]=1°2-（2尺+：,

整理得8R2+7RT00=0,

解得与=2胃5，&=-4（不合题意，舍去）,

O

25

...。。的半径为

O

答案第9页，共25页

2

257:36,

AD1=AB2-BD2=

・・・AD=6,

25

故答案为：—-；6.

o

【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，理

解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键.

18.2138

【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，不等式的性质，数的整除等知识点，正确理

解题意是解题的关键.

f2+6—x-6_/、/、

由新定义得到<，则x=2,可求尸⑷+尸幻=〃-3〃-16,要使得最小，那

[m+n-y=6

么相应该最小，而1（沈（9,则加=1,那么加一3〃-16=-3〃-15,贝！]一3〃-15=-26或

—3〃—15=—39,解方程即可.

【详解】解：:“旃，/2=而是两个不同的“中顺数”，

J2+6-x=6

\m-\-n-y=6

x=2,

：/=痂（l<a<9,0<&<9,0<c<9,且a,b,c均为整数），i己/。）=。一3。，

.,.尸（%）+尸«2）=2-3X6+〃Z-3〃=机一3〃一16,

要使得最小，那么加应该最小，而7V9,

m=1

m-3n—16=—3n-15,

:尸&）+尸色）能被13整除，0V"V9

/.-42<-3n-15<-15,

A-3H-15=-26,

解得：〃=g（舍），

或-3〃-15=-39,

答案第10页，共25页

解得：〃=8,

m+n—y=6,

y=3,

:・q=138,

故答案为：2；138.

19.(1).=1+A/3,x2=1—A/3

(2)再=2,X2=-3

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式

法是解题的关键.

(1)利用配方法求解；

(2)利用因式分解法求解.

【详解】(1)解：x2-2x—2=0

x2-2x=2

-2x+1—3

(1)2=3

尤-1=y/3X-1=-A/S,

解得：X[=1+-x/3,x2=1-V3；

(2)解：(x-2)2=5(2-x)

(X-2)2+5(X-2)=0

(x-2)(x-2+5)=0

x-2=0或x+3=0

解得：%=2,%2=-3.

20.⑴见解析

Q'ABLMN,NDBN=NA,ZA=NC,它所夹的弧所对的圆周角

【分析】本题考查了尺规作图一作垂线，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握知识点的应

用是解题的关键.

答案第11页，共25页

(1)以8为圆心，任意长度为半径画弧，交4B于点G、H,以G、〃为圆心，大于长

度为半径画弧，两弧交于点M、N,连接即可；

(2)连接40,由48是。。的直径，得ZAD3=90。；又是过点B的切线，则

即443N=90。，故有ND3N=N/,又ZA=NC,则/D8N=NC,从而得出结论；

【详解】(1)如图，①以3为圆心，任意长度为半径画弧，交4B于点G、H；

②以G、H为圆心，大于1G〃长度为半径画弧，两弧交于点M、N；

③连接跖V；

即为所求；

NADB=90°；

是过点B的切线，

:.ABLMN,即ZABN=90°,

：.ZDBN+AABD=90°,

答案第12页，共25页

・・•ZA+ZABD=90°，

：.ZDBN=ZA,

又・・♦//和/C是弧AD所对的圆周角，

・•・ZA=ZC,

：./DBN=/C,

由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

故答案为：ABLMN,NDBN=NA,N4=NC,它所夹的弧所对的圆周角.

21.（1）70,108

⑵估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人

（3）1

【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与树状图法，读懂统计

图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

（1）用科普类的人数除以对应百分比可得总人数,再求出选文学类图书的人数,用360乘“艺

术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；

（2）用该校共有学生人数1800乘以工具类图书所占百分比即可；

（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率.

【详解】（1）调查的学生总人数为50+25%=200（人），

...选文学类图书的学生有200-（50+60+20）=70（人）.

a=360°x—=108°.

200

故答案为：70,108；

20

（2）解：1800x——=180（人），

200

估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人.

（3）解：列表如下:

甲乙丙T

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）

答案第13页，共25页

T（T,甲）（T,乙）（丁，丙）

共有12种等可能的结果，其中同时选中乙和丙的结果有：（乙，丙），（丙，乙），共2种，

..21

.•.同时选中乙和丙的概率为P=—=--.

126

22.（1）3元

（2）降价2元时，总利润W最大，最大利润是640元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关

键.

（1）根据利润=单个利润x数量列方程计算出x的值即可；

（2）根据利润=单个利润x数量得到用关于x的函数解析式，再配方求最值.

【详解】（1）解：设降价x元，

则由题意得：（60-x-50）（60+10x）=630,

整理得：x2-4x+3=Q>

解得:再=1,%=3,

..•商家想要薄利多销，

应降价3元；

（2）解：FT=（60-X-50）（60+10X）=-10X2+40X+600=-10（X-2）2+640,

V-10<0,

x=2时，总利润少最大，最大值为640元，

.•.特产降价2元时，总利润少最大，最大利润是640元.

23.（1）证明见解析；

（2）£G=6-472.

【分析】（1）连接OC,由成，8D,则可得出40+/尸=90。，再根据三角形的外角性质

可得NCOD=2乙8,从而有/。。。=/尸=2/8,故有ZD+NCOZ）=90。，所以可证

OC1DF,从而求证；

（2）由（1）得：ZCOD=ZF=2ZB,ZDCO=90°,则可得/。。。=/尸=/。=45°,

OC=CD=OB=2,通过勾股定理求出。尸=4力，由角度和差，三角形的外角性质可以得到

NFGC=NEGB,则尸C=FG,最后由线段和差即可求解；

本题考查了切线的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，熟练掌

答案第14页，共25页

握知识点的应用是解题的关键.

【详解】(1)证明：如图，连接。C,

EFLBD,

:・/DEF=90。,

：.ZD+ZF=90°,

•・•0C=OB,

：./B=/OCB,

・.•ZCOD=ZB+ZOCB,

：./COD=2/B,

VZF=2ZB,

・・・NCOD=/F=2/B,

：.AD+/COD=90°,

AZOCO=90°,即OC_L。尸，

•・,oc是oo的半径，

工。尸是。O的切线；

(2)解：如上图，由(1)得：/COD=/F=2/B,ZDCO=90°,

：.ZCOD=ZF=45°,ZOCF=90°,

・・・ZCOD=ZF=ZD=45°,

：.OC=CD=OB=2,

・••由勾股定理得：DF=yjEF2+DE2=V42+42=4收，

OC=OB,

：./B=ZOCB,

・•・ZOCB+ZFCG=ZB+NEGB=90°,

答案第15页，共25页

・•・ZFCG=ZEGB,

ZFGC=ZEGB,

：.FC=FG,

*：FC=DF-CD,

:・FC=FG=A4i—2,

・,.EG=EF—FG=4-（472-2）=6-4x/2.

X2（0<x<2）

24.（1）71=

8-2无（2<尤43）

⑵作图见解析，性质：当x=2时，△，尸。的面积最大，且为4（答案不唯一）

⑶0<〃<5或〃=6

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合.

（1）分两种情况分别计算即可;

（2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质;

（3）平移％=「+",找到与必的函数图象有两个交点的范围即可.

【详解】（1）解：当点P在线段上时，0<xW2,

止匕时/尸=2x,BQ=x,

11,

J71=S.APQ=^AP-BQ=2X-X=X；

当点P在线段3c上时，2<x43,

止匕时BP=2x-4,BQ=x,

PQ=BQ-BP=4-x,

必=g/8-P0=gx4（4-x）=8-2x；

x2（0<x<2）

综上所述,J1-[8-2x（2<x<3）

（2）解：函数图象如图所示,

答案第16页，共25页

性质：当尤=2时，△/尸。的面积最大，且为4（答案不唯一），

故答案为：当x=2时，入4尸。的面积最大，且为4（答案不唯一）;

（3）解：平移%=-x+〃，如图所示:

当%=-x+〃过（0,0）时，没有交点，此时函数解析式为%=-x,"=0,

当%=-彳+〃过（3,2）时，有两个交点，-3+〃=2,贝!]〃=5,

此时函数解析式为%=-x+5,

若必与x的函数图象与直线为=-x+力有两个交点，贝IJ"的取值范围是0<"<5

当%=-工+〃过（2,4）时，有1个交点，贝i1-2+w=4,贝1]〃=6,

综上:若必与x的函数图象与直线为=-x+n有两个交点，则"的取值范围是0<〃<5或〃=6,

故答案为：0<〃<5或"=6.

25.(1)y=—厂+2x+3

⑶存在，Q

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次

函数的图象与性质，解直角三角形等知识，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键.

答案第17页，共25页

(1)运用待定系数法直接求解即可；

(2)过点P作尸T〃＞轴交/C于点T,4PMT为等腰直角三角形，则PT=旦一=41PM,

sinZ4

而尸N=2——=2-2r,PT=-t2+2t+3-t-l=-t2+t+2,故

PN+41PM=PN+PT=2-2t+{-t2+t+2]=-f-t+4=-^t+^+[,即可求解；

(3)连接。C,过点。作DKL/C于点K,过点。作0cx轴于点将问题化为

ZCAD=ZQAB,继而利用等角的正切值相等，建立方程，求解即可.

【详解】⑴解：•••抛物线y=f2+6x+c与x轴交于/(TO),3(3,0)两点，

J-l-6+c=0

[-9+36+。=。'

\b=2

解得：…

[c=3

解析式为：y=-x2+2x+3

(2)解：过点。作尸丁〃》轴交4。于点T,

》=0时，x+l=O,

解得：x――1,

AAO=OR=\,而/4。&二90。

工/1=/2=/3=45。，

而尸T〃歹轴，

・・./4=/3=45。，

而PM垂直AC于点M,

答案第18页，共25页

/.小PMT为等腰直角三角形,

2,

:对称轴为：直线龙=-西f=1,

设尸(I,一厂+2/+3)(—

平行x轴，

关于直线x=l对称，

XN-2—/,

***PN=2—t—t=2—2t,

而力=1+1,

••PT———+2/+3—，一1二—+，+2,

PN+42PM=PN+PT=2-2t+(^-t2+t+2^=-t2一/+4=—[+3]+[,

V-1<;<1,且-l<0,

117

，当仁-金时，取得最大值为U,

-1

(3)解：存在，理由如下：

连接。C,过点。作DKL/C于点K,过点。作轴于点心

由上知ZCAB=45°,

/.ZCAB=ZDAQ=45°,

ZCAD=ZQAB,

答案第19页，共25页

y——%2+2x+3

联立

y=x+l

x=-l、x=2

解得:y=0或

y=3

.-.C（2,3）,

而对于抛物线歹=--+2_«+3,当尤=0,y=3,

。（0,3）,

Z）C〃x轴，DC=2

：.ZDCK=ZCAB=45°,

同上可得：DK=CK=—DC=y[l,

2

而/C=J（2+l）?+32=3叵，

AK=AC-CK=26，

DK]

二.tanZ_CA,D------——,

AK2

tanZ.QAB=~,

设2+2〃+3）,

.一+2n+31

••---------------——，

n+\2

解得：”=!■或〃=-i（舍）

26.（1）V5+1

（2）见解析

⑶行

【分析】（1）过点£作ET_L48于点7，先证明"EB乌AADC（SAS）,贝ljN2=NC=45。,

则8T=£T=走，在中，由勾股定理得/7=巫，则=/T+2T=布+后,

222

在RtZ\48C中，由8。=收/8即可求解；

（2）以为边，在A8上方作等边连接PR,

答案第20页，共25页

AR=BR=AB,NARB=ZABR=ZBAR=60°,可证明^RAP^BAD（SAS）,贝！]

ZARP=ZABC=30°,继而=则夫尸=RP,证明尸四ARS尸（SAS）,贝I]

BP=AP,即可求证BP=D?；

（3）解：以NC为边,向下作等边A/SC,连接PS,取NC中点H,连接

AG,GC,PG,CG,PH,GH,BP,记NS交2C于点/,同理可证明A4PS也A40c（SAS）,可得

点P轨迹为射线S尸，点G在以〃为圆心，H4为半径的圆上运动，显然点/也在上