中考数学专项复习：倍长中线（含答案及解析）

借长中线精讲练

1.任何时候，都需牢记:做题只是提高成绩的一个手段,而不是目的.

2.倍长中线，只是辅助线的一种方法，是指题目条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线

构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。

3.倍长中线，提供的是一种解题思路，而不能死记硬背。

4.倍长中线还可以理解为:中点+平行，中心对称,180°旋转……

D是BC的中点。

倍长中线AD,可得

1.4AD04CDE

2.AB=CE

3.

4.N1=NE

5.AB//CE

6.-(AB-AC)<AD<^

(AB+AC)

倍

长

平

行

中

四

边

形

线

正

方

形

和点F是一正方形（矩形）ABCD边CD的中点,

矩且AF平分NCAF。

形I.^ADFS^GCF

2.AD=CG;

3.AF=CFf

4.N1=NG

5.N2=NG

6.AF=GC

7.EFJ.AG

8.AE=EG=AD+CF

9.BE=CE=AE

三角形

图1-1

如图1-1：已知AD是△回€!的中线。

求证：i(AB-AC)<AD<|(AB+AC)

法二：作CE〃AB,交AD延长线于点E。

证明：如图1-2

则：

法一：延长AD到点E,使ZABC=Z2;Z1=ZE

又：AD是aABC的中线。

DE=AD.

又：CD=BD,N3=N4BD=CD

/.AADB=AEDC

AADBSAEDC

AB=CE;ZABC=Z2;Z1=ZAD=DE,AB=CE

在4ACE中，

E;AB〃CE

AB-AC<AE<AB+AC

在AACE中，

又：

AB-AC<AE<AB+ACAD=AE

-I1

又：AD=AEA|(AB-AC)<AD<i(AB+AC)

A1|(AB-AC)<AD<1-(AB+AC)

中心对称图形

如图2-1：

已知：点F是口ABCD边CD的中点，且AF平分NCAF。

求证：EF±AE,AE=AD+CE

证明：延长AF,BC交于点G.

•・•四边形ABCD是平行四边形.

・・・AD〃BG

J41=4G,

ZADC=ZFCG

又・・，CF=FD

JAADF=AGCF

・•・AD=CG,AF=GF

又,.,N1=N2

AZ2=ZG

・・・AE=CE

・・・EF_LAG

VEC=CE+CG

・・・AE=AD+CE

实戢训练

一、倍长中线与中线取值范围。

1.(1)如图1,△4BC中，点〃是边BC的中点，若48=6,AC=4,求中线4。的取值范围.

解：..•点〃是边BC的中点，；.BD=CD,

将^ACD绕点。旋转180。得到△EBD,

即得△4CD三△EBD,且4D,E三点共线，

在△4BE中，可得4E的取值范围是：

6—4<4E<6+4；

的取值范围是：

(2)如图2,在△4BC中，LBAC=90°,点。是BC边的中点，/.MDN=90°,乙MDN的两边分别交AB于点反

交4c于点凡连接EF.探究线段BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由.

2.在△ABC中，AB=4,AC=6,4。是BC边上的中线，则4。的取值范围是（）

A.0<AD<10B.1<AD<5C.2<AD<10D.0<AD<5

二、倍长中线与三角形

3.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题:

如图1,在△4BC中，AB=6,AC=10,〃是BC的中点，求BC边上的中线4。的取值范围.

图1图2图3

【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

(1)如图1,延长AD,使。E=4。，连接BE.根据可以判定△AOC取，得出AC=

这样就能把线段4B、AC.24。集中在△ABE中.利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是

【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”一一把中线延长一倍，构造全

等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法.

【问题解决】(2)如图2,在△4BC中，乙4=90。，〃是BC边的中点，乙EDF=9。°,DE交AB于点E,DF交AC于

点广，连接EF,请判断BE,CF,EF的数量关系，并说明理由.

【问题拓展】(3)如图3,中，乙B=90°,AB=3,4。是△ABC的中线，CE1BC,CE=5,S.Z.ADE=90°,

请直接写出4E的长.

4.(1)方法呈现：如图①：在△4BC中，若43=6,4C=4,点。为BC边的中点，求BC边上的中线4。的取值

范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长4。到点E,使。E=4。，再连接BE,可证△4C。三△EBD,从而把AB、AC,24。集中在△4BE中，利用三

角形三边的关系即可判断中线4。的取值范围是—(直接写出范围即可).这种解决问题的方法我们称为“倍长

中线法”；

(2)探究应用：

如图②，在△ABC中，点。是BC的中点，。£11。尸于点。，DE交4B于点E,DF交4C于点F,连接EF,判断BE+CF

与EF的大小关系，并说明理由；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形4BCD中，AB||CD,4尸与。C的延长线交于点F,点E是BC的中点，若4E是NB4F的角平分线，

试探究线段4B、AF,CF之间的数量关系，并说明理由.

AA

B\~^CD心.

F

E图①图②图③

5.如图，4。为△4BC的中线，?在4c上，BF交4。于E,且BE=/[C.求证：AF=EF.

A

BDC

6.【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

A

AA

图①图②图③

如图①，△4BC中，若4B=8,AC=6,求BC边上的中线40的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长4。至点E,使。E=4£>,连接BE.

请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△4DC三△ED5,依据是____.

A.SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

由“三角形的三边关系”可求得2。的取值范围是—.

【初步运用】

(2)如图②，4。是△ABC的中线，BE交4C于E,交4。于F,B.AE=EF.若EF=4,EC=3,求线段BF的长.

【灵活运用】

(3)如图③，在△ABC中，N4=90。，。为BC中点，DE工DF,OE交AB于点E,。尸交AC于点F,连接EF.试

猜想线段BE,CF,EF三者之间的数量关系，并证明你的结论.

7.已知)=/反ZBDA=ZBAD,//是的中线，求证：ZC=ZBAE

三、四边形与倍长中线的融合。

8.如图，梯形4?由中，AD〃BC,点E在.BC上,/后庞'，点尸是"的中点，且/凡L/氏若49=2.7,4&4,AB=6,

则废的长为()

C.2.5D.2.3

9.如图，在勿BC。中，AD=2AB,F是4。的中点，E是4B上一点，连接CE,CF,EF,且CF=EF.给出下列

结论：①CF平分NBCD；②NEFC=2MFD；③aCDF为等边三角形；@CE1AB.其中正确的结论为.(填

序号).

£是以＞边的中点，AEn^DAM.

图2

(1)如图1,写出线段4。和MC之间的数量关系

(2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,试判断(1)中的关系式是否成立.若成立,

请给出证明；若不成立，请说明理由.

11.如图，平行四边形4BC0,点尸是BC上的一点，连接4F,Z.FAD=60°,4E平分NF4。，交CD于点区且点

£是。。的中点，连接EF,已知4。=5,CF=3,则EF=

AD

12.如图，正方形4BCD和正方形CGEF的边长分别是4和6,且点B,C,G在同一直线上，M是线段4E的中点,

连接MF,则MF的长为.

13.如图，在矩形4BC。中，点E是4B的中点，点F是BC上的一点，AB=6,Z.DEF=45°,tanzEDF=则BC的

4

长度为.

四、综合提升

14.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

如图，在△ABC中，。是边回的中点，过点C画直线幽使CE〃4B,交4?的延长线于点£,求证：AD=ED

证明（已知）

:.乙ABD=LECD,/.BAD=Z.CED（两直线平行，内错角相等）.

在△4BD与△ECD中，

,/^ABD=乙ECD,ABAD=/.CED（已证），

BD=CD（已知），

/.AABD三△ECD(A.A.S),

.­.AD=ED(全等三角形的对应边相等).

(1)【方法应用】如图①，在△4BC中，AB=6,AC=4,则宽边上的中线4?长度的取值范围是.

(2)【猜想证明】如图②，在四边形力及力中，AB//CD,点£是宽的中点，若是NB4D的平分线，试猜想线

段4反AD、%之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)【拓展延伸】如图③，已知4B〃CF,点8是比'的中点，点。在线段AEh^EDF=乙BAE,若AB=5,CF=2,

求出线段加的长.

15.(1)如图1,若aaBC是直角三角形，^BAC=90°,点。是BC的中点，延长4。到点E,使DE=4D,连接CE,

可以得到△4BD取AECD,求证：是直角三角形；

(2)如图2,△ABC是直角三角形，ABAC=90°,。是斜边BC的中点，E、尸分别是4B、4C边上的点，且DE1DF.试

说明BE?+。尸2=EF2.

(3)如图3,在正方形4BCD中，E为AB边的中点，G、P分别为4。，BC边上的点，若4G=3,BF=4,4GEF=90°,

求GF的长.

+4c

E80c

图1图2图3

16.问题提出

(1)如图，AD是△ABC的中线，则4B+4C_________2AD；(填“>”或“=")

/

问题探究

(2)如图，在矩形4BCD中，CD=3,BC=4,点E为BC的中点,点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时,

求CF的长;

问题解决

(3)如图，在矩形4BCD中，4c=4,BC=2,点。为对角线4C的中点，点P为AB上任意一点，点Q为4C上任意

一点，连接P。、PQ、BQ,是否存在这样的点Q,使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出

折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由.

C

APB

售长中线精讲练

1.任何时候，都需牢记:做题只是提高成绩的一个手段,而不是目的.

2.倍长中线，只是辅助线的一种方法，是指题目条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线

构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。

3.倍长中线，提供的是一种解题思路，而不能死记硬背。

4.倍长中线还可以理解为:中点+平行，中心对称,180°旋转……

信

长

平

点是一边的中点，目平分。

行F=ABCDCDAFNCAF

中

四

IQADFMAGCF

边2.AD=CG;

形

线3.AF=CF,

4.N1=NG

5.N2=NG

6.AF=GC

7.EFJ-AG

8.AE=EG=AD+CF

正

方

形

和

矩

形

7.EF_LAG

8.AE=EG=AD+CF

9.BE=CE=AE

三角形

图1-1

如图1-1：已知AD是的中线。

-11

求证：|(AB-AC)<AD<i(AB+AC)

法二：作CE〃AB,交AD延长线于点E。

证明：如图1-2

则：ZABC=Z2;Z1=ZE

法一：延长AD到点E,使

又A是△AC的中线。

DE=AD.DB

又；CD=BD,N3=N4BD=CD

AADB=AEDCAADB=AEDC

AB=CE;ZABC=Z2;Z1=ZAD=DE,AB=CE

在AACE中，

E;AB〃CE

在AACE中，AB-AC<AE<AB+AC

又,.•AD=AE

AB-AC<AE<AB+AC

又：AD=AEAj(AB-AC)<AD<i(AB+AC)

."J(AB-AC)<AD<|(AB+AC)

中心对称图形

G

图2-1

如图2-1：

已知：点F是口ABCD边CD的中点，且AF平分/CAF。

求证：EF±AE,AE=AD+CE

证明：延长AF,BC交于点G.

四边形ABCD是平行四边形.

・•・AD〃BG

・•・A1=ZG,

ZADC=ZFCG

又,.,CF=FD

・・・AADF=AGCF

・•・AD=CG,AF=GF

XVZ1=Z2

AZ2=ZG

・・・AE=CE

AEF±AG

VEC=CE+CG

・・・AE=AD+CE

实戢训练

一、倍长中线与中线取值范围。

1.(1)如图1,△ABC中，点〃是边BC的中点，若48=6,AC=4,求中线4。的取值范围.

解：：点〃是边BC的中点，；.BD=CD,

将△AC。绕点。旋转180。得到△EBD,

即得△ACO三△EB。，且4D,£三点共线,

在aaBE中，可得4E的取值范围是：

6—4<AE<6+4：

.♦.4。的取值范围是：.

(2)如图2,在△4BC中，/.BAC=90°,点〃是BC边的中点，乙MDN=9Q。,4MDN的两边分别交AB于点色

交4C于点色连接EF.探究线段BE、CF、EF之间的数量关系，并说明理由.

I)

图2

【答案】(1)1</!£><5；(2)见解析

【详解】解：(1)"AACD=AEBD,

：.AD=DE

：.AE=2AD,

又；6-4<AE<6+4；

：.2<2AD<10,即1<40<5,

故答案为：1<力。<5；

⑵..•点。是边BC的中点，

：.BD=CD,

将△BDE绕点。旋转180。得到△CDG,连接FG,即得△BQE三△CDG,

：.BE=CG,乙B=乙DCG,ED=DG,且E、D、G三点共线,

•.•在△4BC中，/.BAC=90°,

."B+NACB=90°,

?.^DCG+2LACB=90°,HPZFCG=90°,

"ED=DG,且EO1DF,

OF垂直平分EG,

：.EF=GF

;在Rt2\CGF中，Z.FCG=90°,

：.CF2+CG2=GF2,

：.CF2+BE2=EF2.

2.在△ABC中，AB=4,AC=6,4D是BC边上的中线，贝的取值范围是()

A.0<AD<10B.1<AD<5C.2<AD<10D.0<AD<5

【答案】B

【详解】解：延长2D至点E,使得DE=AD,

•.•在和△(?£)£■中，

(AD=DE

\z-ADB=Z.CDE,

(BD=CD

•••AABD三△EC。(SAS),

•••AB=CE,AD=DE

•••△ACE中，AC-CE<AE<AC+CE,

2<AE<10,

1<AD<5.

故选：B.

二、倍长中线与三角形

3.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题:

如图1,在△4BC中，AB=6,AC=10,〃是BC的中点，求BC边上的中线4。的取值范围.

A

AE

【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法:

（1）如图1,延长4D,使。E=4D,连接BE.根据可以判定△4DC2，得出4c=

这样就能把线段43、4C、24。集中在△ABE中.利用三角形三边的关系，即可得出中线4。的取值范围是

【方法感悟】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”一一把中线延长一倍，构造全

等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法.

【问题解决】（2）如图2,在△4BC中，乙4=90。，〃是BC边的中点，乙EDF=90°,DE交AB于点E,DF交AC于

点尸，连接EF,请判断BE,CF,EF的数量关系，并说明理由.

【问题拓展】（3）如图3,△4BC中，乙B=90°,AB=3,4。是△ABC的中线，CE1BC,CE=5,S./.ADE=90°,

请直接写出4E的长.

【答案】（1）SAS,AEDB,BE,2<AD<8；（2）BE2+CF2=EF2,理由见解析；（3）4E=8.

【详解】解：（1）延长40,使0E=40,连接BE,

•.•。是BC的中点，

CD=BD,

■AD=ED

在△力OC和aEOB中，zADC=Z.EDB,

、CD=BD

：.△ADC=△FOB（SAS）,

：.AC=BE=10.

'：AB=6,

：.BE-AB<AE<BE+AB,即10-6<4E<10+6,

：.4<AE<16,

：.4<2AD<16,

：.2<AD<8；

故答案为：SAS；△EDB；BE；2<AD<8；

(2)BE2+CF2=EF2,

证明：如图所示，延长ED到G,使DG=ED,连接FG,GC,

：.FD是线段EG的垂直平分线，

：.EF=GF,

•.•。是BC的中点，

:.CD=BD,

(BD=CD

在△BDE和△COG中，\/_BDE=Z.CDG

(DE=DG

：.ABDE三△CDG(SAS),

：.BE=CG,/.B=ADCG,

：.AB||CG,

：.^ACG=180°-ZA=90°,

...在RtZiFGC中，由勾股定理得CG2+FC?=尸。2,

：.BE2+CF2=EF2-,

(3)解：如图所示，延长4D交EC的延长线于点尸,

E

,:4B=90°,EF±BC,

：.^ABD=4FCD=90°,

:力。是中线，

：.BD=CD,

(/.ABD=乙FCD

在△4BD和△尸CD中，［BD=CD，

V^ADB=乙FDC

AABD=AFCZ?(ASA),

Z.CF=AB=3,AD=DF,

'."/LADE=90°,

.••。石是人尸的垂直平分线，

：.AE=EF,

'：EF=CE+CF=5+3=8,

：.AE=EF=8.

4.(1)方法呈现：如图①：在△ABC中，若48=6,AC=4,点。为BC边的中点，求BC边上的中线4。的取值

范围.

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E,使DE=A。，再连接BE,可证△AC。三△EBD,从而把AB、AC,2AD集中在△ABE中，利用三

角形三边的关系即可判断中线4。的取值范围是(直接写出范围即可).这种解决问题的方法我们称为

“倍长中线法”；

(2)探究应用：

如图②，在△4BC中，点。是BC的中点，DE_LDF于点。，DE交AB于点E,。尸交AC于点F,连接EF,判断BE+CF

与EF的大小关系，并说明理由；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形4BCD中，AB||CD,4尸与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点，若4E是NB4F的角平分线，

试探究线段48、AF.CF之间的数量关系，并说明理由.

AA

小，

D

VDCF

E图①图②图③

【答案】(1)1<4D<5；(2)BE+CF>EF,理由见详解；(3)AF+CF=AB,理由见详解

【详解】解：(1)如图①，延长4。到点E,使。E=40,连接BE,

•••。是BC的中点,

BD=CD,

(CD=BD

在△4CD和△EBD中，\^CDA=A.BDE,

(AD=ED

••.△ZCD三△EBD(SAS),

BE=AC=4,

在△/BE中，AB-BE<AE<AB+BE,

•••6—4<AE<6+4,

・•・2<AE<10,且4E=2AD,

••・1<AD<5f

故答案为：1<AD<5；

(2)BE^-CF>EF,理由如下：

如图②，延长至点M,使DM=D产，连接BM、EM,

M图②

同(1)得：△BMO皂△CTO(SAS),

・•.BM=CF,

•••DE1DF,DM=DF,

EM=EF,

在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM,

BE+CF>EF；

(3)AF+CF=AB,理由如下:

如图③，延长AE,DF交于点G,

A

VAB||CD,

•••Z.BAG=2G,

(Z.BAE=Z.G

在△48£和4GCE中，\z.AEB=乙GEC,

(BE=CE

AABE必GEC(AAS),

CG—AB,

・••4E是NB4F的平分线，

•••Z-BAG=Z-GAF,

・•・乙凡4G=乙G,即44FG是等腰三角形，

AF=GF,

•・•FG-^-CF=CG,

・•・AF+CF=AB.

5.如图，4。为△ABC的中线，F在AC上，BF交4。于E,S.BE=AC.求证：AF=EF.

【答案】见解析

【详解】证明：延长4。至一，使DP=40,连接BP,

A

P

(BD=DC

在APOB与△4QC中，\^BDP=Z.CDA,

(DP=AD

:,XPDB三△4DC(SAS),

：.BP=AC,ZP=ZD71C,

9

\BE=ACf

：.BE=BP,

：./LP=乙BEP,

：.Z.AEF=^EAFf

：.AF=EF.

6.【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

图①图②图③

如图①，△4BC中，若4B=8,AC=6,求BC边上的中线4。的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长4。至点E,使。E=AD,连接BE.

请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△AOC三△EOB,依据是

A.SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

由“三角形的三边关系”可求得2。的取值范围是

【初步运用】

(2)如图②，4。是△4BC的中线，BE交4c于E,交4。于F,S.AE=EF.若EF=4,EC=3,求线段BF的长.

【灵活运用】

(3)如图③，在△4BC中，乙4=90。，。为BC中点，DE1DF,DE交AB于点E,。尸交4c于点尸，连接EF.试

猜想线段BE,CF,EF三者之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)A；1<AD<7；(2)线段BF的长是7；(3)BE2+CF2=EF2,证明见解析

(CD=BD

【详解】解：(1)在△40C和△EOB中，\^CDA=^,BDE,

(AD=DE

：.AADC三△EOB(SAS),

：.AC=BE=6,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,

即8—6<240<8+6,

故答案为：A；1<AD<7；

(2)如图②，延长4。至M,使。M=4。，连接BM,

40是△4BC的中线，

：.BD=CD,

又..ZDC=Z.BDM,

：.AADC=AMDB(SAS),

：.BM=AC,Z.CAD=ZM,

"AE=EF,

：.^CAD=^AFE,

；KBFD=/,AFE,

:.乙BFD=^CAD=乙M,

VEF=4,EC=3,

：.BF=BM=AC=4+3=7；

222

(3)线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE+CF=EFf理由如下:

延长ED到点G,使DG=E。，连接GF,GC,如图③所示：

■:ED1DF,DG=ED,

：.EF=GF,

・・・。是BC的中点，

：.BD=CD,

(ED=GD

在△BDE和△CDG中，\z.BDE=(CDG,

(BD=CD

：.ADBE三△DCG(SAS),

:・BE=CG,乙B=LGCD,

•・Z=90°,

：.^B+/,ACB=90°,

：.Z.GCD+^LACB=90°,

即/GCF=90°,

在RtZkCFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2,

：.BE2^-CF2=EF2.

7.已知切=Z8,ZBDA=ZBAD,力月是△/M的中线，求证：ZC=ZBAE

【答案】见解析

【详解】证明：如图，取4c的中点E连接DF,

A

BEDC

*：^BDA=4BAD

：.BA=BD

・・•CD=AB,

：.BD=DC

DF//AB,DF=-AB

2f

••・(B=Z-FDC

・・・/£是△/初的中线，

：.BE=-BD=-AB

22

DF=BE

(AB=CD

CO尸中，=Z.FDC

(BE=DF

••・AABE三ACDF

:・/C=/BAE

三、四边形与倍长中线的融合。

8.如图，梯形/a7?中，AD〃BC,点E在BC上,/后庞，点分是切的中点，且/足U8,若49=2.7,A片6,

A.2aB.2^-1C.2.5D.2.3

【答案】D

【详解】延长"；BC交于点、G.

*：AD//BC

J/2/FC6,/DAQ/G.

又DgCF,

：./\AFD^/\GFC

：.AG=2AF=8,CG=AD=2.7.

*：AF.LAB,/庐6,

・•・吩10.

：.BOBG,97.3.

,:A打BE,

：./BA&/B.

:./EAR/AGE.

:・A?GE.

・・・的二除5.

2

CE^BC,小2.3.

故选：D.

9.如图，在勿BC。中，AD=2AB,F是4。的中点，E是4B上一点，连接CE,CF,EF,且CF=EF.给出下列

结论：①CF平分NBCO；②乙EFC=2KCFD；③△（?£»「为等边三角形；@CE1AB.其中正确的结论为.（填

序号）.

【答案】①②④

【详解】解：・・•四边形4BCD是平行四边形,

：.AB=CD,AD//BC,

9：AF=DF,AD=2AB,

：.DF=DC,

：.Z.DCF=乙DFC=乙FCB,

・"F平分匕BCD,故①正确，

延长EF和CD交于M,

,/四边形4BCD是平行四边形，

J.AB//CD,

：.^A=乙FDM,

：.AEAF三△MDF(ASA),

：.EF=MF,

9：EF=CF,

：.CF=MF,

・"FCD=Z.M,

•・•由(1)知：乙DFC=乙FCD,

：.Z.M=乙FCD=乙CFD,

•••△EFC=+乙FCD=2/.CFD；故②正确，

9：EF=FM=CF,

C.Z-ECM=90°,

,JABZ/CD,

:•乙BEC=乙ECM=90°,

：.CELABf故④正确，

*：EF=FM=CFCD,

•••△CDF不是等边三角形，故③错误,

・••正确的结论为①②④，

故答案为：①②④.

10.如图，〃是正方形的边BC上一点，£是。。边的中点，/E平分乙CMM.

图1图2

(1)如图1,写出线段AM,4。和MC之间的数量关系；

(2)若四边形2BCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,试判断(1)中的关系式是否成立.若成立,

请给出证明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)4M=AD+MC

(2)结论4M=AD+MC仍然成立，证明见解析

【详解】(1)解：延长4E、BC交于点N,如图，

.四边形4BCD是正方形,

：.AD//BC.

：.^DAE=Z-ENC.

•.FE平分

/.Z.DAE=Z.MAE.

:.乙ENC=/.MAE.

：.MA=MN.

是CD的中点，

：.DE=CE,

(/.DAE=UNE

在△40E和中，\/LAED=乙NEC

(DE=CE

•••△/DE三△NCE(AAS).

AD=NC.

.・.MA=MN=NC+MC=AD+MC.

故4M=AD-{-MC；

(2)结论4M=40+MC仍然成立.

证明：延长ZE、BC交于点P,如图

•・•四边形/BCD是矩形,

・•.AD//BC.

•••Z.DAE=Z.EPC.

•・.4E平分4/X4M,

・..Z.DAE=Z.MAE.

・•・乙EPC=2LMAE.

・•.MA=MP.

(Z.DAE=Z.CPE

在△/£)£•和△PCE中，\z.AED=Z.PEC

(DE=CE

ADE三△PCE(AAS).

AD=PC.

MA=MP=PC+MC=2。+MC.

11.如图，平行四边形ZBCD,点尸是3c上的一点，连接ZF,^FAD=60°,ZE平分乙F4D,交CD于点区且点

£是。0的中点，连接EF,已知4。=5,CF=3,贝

AD

BFC

【答案】4

【详解】解：如图，延长4E,BC交于点G,

AD

:点E是CD的中点，

：.DE=CE,

•.•平行四边形ABC。中，AD//BC,

Z.D=Z.ECG,

"/.AED=乙GEC,

：.AADE三△GCE(ASA),

：.CG=AD=5,AE=GE,

,.FE平分"40,AD//BC,

：.^FAE=乙DAE=ZG=-^DAF=30°,

2

,•AF=GF=3+5=8,

・・•£*是4G的中点，

：.FE1AG,

.•.RM4EF中，EF=^AF=4,

故答案为：4.

12.如图，正方形4BC。和正方形CGEF的边长分别是4和6,且点B,C,G在同一直线上，M是线段AE的中点,

连接MF,则MF的长为

E

【答案】V2

【详解】解：延长朋至〃，延长9与/〃交于〃点,

由题意可得49〃跖，

：.^MAH=Z.FEM,Z.AHM=Z.EFM,

是线段AE的中点，

：.EM=AM,

(^MAH=Z.FEM

.•.在△岫/和△£＜彼中，EM=AM

{^AHM=4EFM

:.△AMH^AEMF,

即F后MH,A住EF,

：.Df^AH-AD=EF^AD=1,

'：DF=CF^CD=&-^=2,

在直角△力汨中，力为斜边，

：.FH=yj22+22=2VL

"：FM=MH,

故答案为：V2.

13.如图，在矩形ABC。中，点E是AB的中点，点尸是BC上的一点，AB=6,Z.DEF=45°,tanZEDF=则BC的

4

长度为

【答案】10

•••/.DEF=45°,

.•.△NFE为等腰直角三角形，EN=FN,

由题意得：AB=CD=6,LA=^ABC=Z.ABM=乙FNM=90°,=AD,

设NF=3x,贝l]EN=3x,

VtanzEDF=-,

4

：.DN=4%,

DE—7x,

9：AB=6,E为48中点，

AE=BE=3,

又•・•^AED=乙BEM,乙Z=乙ABM,

AAEDABEM(ASA),

AD=BM,ME=DE=7x,

・•・MN=10%,

又•・•ZM=ZM,4ABM=乙FNM=90°,

MBE〜△MNF,

BM鬻，即黑小，解得：—I。,

MN

BC=AD=BM=10,

故答案为：10.

四、综合提升

14.【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：

如图，在△ABC中，4是边比'的中点，过点，画直线幽使CE〃4B,交49的延长线于点£,求证：AD=ED

证明(已知)

:.乙ABD=LECD,/.BAD=Z.CED(两直线平行，内错角相等).

在△4BD与△ECD中，

,/^ABD=乙ECD,ABAD=/.CED(已证)，

BD=CD(已知)，

Z.AABD=AECD(A.A.S),

：.AD=ED(全等三角形的对应边相等).

A

E

(1)【方法应用】如图①，在△ABC中，AB=6,AC=4,则宛边上的中线4?长度的取值范围是.

(2)【猜想证明】如图②，在四边形/及苏中，4B〃C£>,点£是比'的中点，若//是NB4D的平分线，试猜想线

段/以49、〃，之间的数量关系，并证明你的猜想；

(3)【拓展延伸】如图③，已知AB〃CF,点E是%的中点，点2在线段AE±.,^EDF=NB4E,若48=5,CF=2,

求出线段加的长.

A

CA

A2s

BC\7EB

c

图①图②F图③

【答案】⑴1<AD<5；(2)AD=AB+DC.理由见解析；(3)DF^i.

【详解】解：(1)延长/。到反使4庆班；连接应，

图①

•.•3是用边上的中线，

C.BD^CD,

'AD=DE

在和△核中，Z.ADC=Z.EDB,

.DC=DB

:.△ADC^AEDB{SAS),

：.AC=BE=^,

在△/跳'中，AB-BE<AE<AB^BE,

...6-4<24Z<6+4,

：A<AD<5,

故答案为：1<4Y5；

(2)结论：AD=AB+DC.

理由：如图②中，延长2c交于点尸,

9：AB//CD,

:./BA4/F,

[2AEB=Z.FEC

在△/庞和△刀龙中，A.BAE=Z.F

、BE=CE

:.MAB恒XFCE(A4S),

JC片AB,

•・・4月是/力〃的平分线，

・•・/BA2/FAD,

：.ZFAD=ZE

：.AD=DFf

■:DC+CQDF,

:・DC"氏AD；

(3)如图③，延长/£交〃的延长线于点G,

・・・CE=BEf

•：AB//CFf

：./BAE^/G,

(Z.BAE=Z-G

在△力旗和△皈中，\^AEB=乙GEC，

(BE=CE

：./\AEB^/\GEC(A4S),

：.AB=GQ

9：/ED六/BAE,

C.ZFDG^AG,

C.FD-FG,

:・AB=DRCF,

9：AB=5,层2,

:・D2AB-C我3.

15.(1)如图1,若△4BC是直角三角形，Z_B4C=90。，点。是3c的中点，延长/。到点E,使。E=4D,连接CE,

可以得到△48。04ECD,求证：△ZCE是直角三角形；

(2)如图2,△ZBC是直角三角形，4区4c=90。，。是斜边3C的中点，E、F分别是AB、ZC边上的点，且OE1DF.试

说明BE?+。92=EF2,

（3）如图3,在正方形4BCD中，E为4B边的中点，G、P分别为4D,BC边上的点，若4G=3,BF=4,nGE尸=90°,

求GF的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）7

【详解】（1）证明：'.'AABD/△ECD,

Z.ECD=