导学案数学第九章92924总体离散程度的估计

9.2.4总体离散程度的估计【学习目标】1.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差).2.理解离散程度参数的统计含义.【素养达成】数学抽象、数学运算数据分析一、总体离散程度的估计1.方差:给定一组数据x1,x2,…,xn,用x表示这组数据的平均数,则s2=1n∑i=1n(xix)2=1n[(x1x)2+(x2x)2+…+(xnx)2.标准差:方差的算术平方根,即1n∑3.总体方差、总体标准差如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为Y,则总体方差为S2=1N∑i=1N(YiY)2如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频率为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=1N∑i=1【版本交融】(湘教P243)方差越大表示什么含义?提示:方差刻画的是总体中个体的稳定或波动的程度,方差越大,说明波动越大.【教材挖掘】(P212)数据x1,x2,…,xn的平均数是x,方差为s2,数据x1,x2,…,xn,x的方差为s12,那么s2与提示:因为数据x1,x2,…,xn,x比数据x1,x2,…,xn更加相对集中,所以方差变小了,即s12<s二、分层随机抽样的方差假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为x,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为y,方差为t2,则x=1m∑i=1mxi,s2=1m∑i=1m(xix)2,y=1n∑i=1若记样本平均数值为a,样本方差为b2,则可以算出a=1m+n(∑i=1mxi+∑i=1nyi)=mx+nym+n,b2=m[s【教材深化】1.方差的简化计算公式:s2=1n[(x12+x22+…+xn2)nx2]或写成s2=1n(x2.平均数、方差公式的推广(1)若数据x1,x2,…,xn的平均数为x,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数是mx+a.(2)若数据x1,x2,…,xn的方差为s2,那么①数据x1+a,x2+a,…,xn+a的方差也是s2;②数据ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.(×)提示:标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中.(2)在两组数据中,平均值较大的一组方差较大.(×)提示:方差是描述数据围绕平均数波动的大小的量,与两组数据平均数的大小无关.(3)若样本数据的标准差为0,则数据没有离散性.(√)提示:若样本数据的标准差为0,则样本各数据相等,说明没有离散性.类型一方差、标准差(数学运算)【典例1】(1)(2024·榆林高一检测)已知一组数据6,6,8,8,10,10,则该组数据的方差是()A.43 B.2 C.83 D【解析】选C.该组数据的平均数为16所以该组数据的方差是16[2×(68)2+2×(88)2+2×(108)2]=8(2)甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件,为检验质量,从中各抽取6件测量,数据为甲:9910098100100103乙:9910010299100100①分别计算两组数据的平均数及方差;②根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.【解析】①x甲=16×(99+100+98+100+100+103)=100,x乙=s甲2=16×[(99100)2+(100100)2+(98100)2+(100100)2+(100100)2+(103100)2s乙2=16×[(99100)2+(100100)2+(102100)2+(99100)2+(100100)2+(100100)②两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又因为s甲2>s【总结升华】1.计算方差、标准差的步骤(1)计算样本的平均数x;(2)计算每个样本数据与样本平均数的差xix(i=1,2,…,n);(3)计算(xix)2(i=1,2,…,n);(4)计算(xix)2(i=1,2,…,n)这n个数据的平均数,即为样本方差s2;(5)计算方差的算术平方根,即为样本的标准差s.2.在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度.在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动性越大,稳定性越差;方差越小,离散程度越小,数据越集中,越稳定.【即学即练】1.(2024·宁波高一期中)甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数,方差最大的是()甲:45455乙:42343丙:23234丁:61261A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】选D.由题知x甲=235,所以s甲2=1542352+52352+42352+52352+52352=625,x乙=165,所以s乙2=1541652+21652+(3-165)2+41652+3165x丙=145,所以s丙2=1521452+31452+(2-145)2+31452+4145x丁=165,所以s丁2=1561652+11652+(2-165)2+61652+1165所以方差最大的是丁.2.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位:m/s)的数据如下:甲273830373531乙332938342836(1)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度的平均数和方差;(2)比较两个人的成绩,你认为选谁参加比赛比较合适.【解析】(1)x甲=16x乙=16s甲2=16×[(2733)2+(3833)2+(3033)2+(3733)2+(3533)2+(3133)2s乙2=16×[(3333)2+(2933)2+(3833)2+(3433)2+(2833)2+(3633)2(2)由(1)知甲和乙的平均数相等,因为s甲2>所以乙更稳定,选乙参加比赛比较合适.类型二方差、标准差统计图的综合应用(数学运算)【典例2】对甲厂、乙厂、丙厂所生产的袋装食品各抽检了20袋,称得质量如条形图所示.s1,s2,s3分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差,则有()A.s2>s1>s3 B.s1>s3>s2C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1【解析】选C.根据题意,甲厂的平均数x1=120×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5,方差s12=120×[5×(78.5)2+5×(88.5)2+5×(98.5)2+5×(108.5)2]=1.25,标准差乙厂的平均数x2=120×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5,方差s22=120×[4×(78.5)2+6×(88.5)2+6×(98.5)2+4×(108.5)2]=1.05,标准差丙厂的平均数x3=120×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8方差s32=120×[6×(78.5)2+4×(88.5)2+4×(98.5)2+6×(108.5)2]=1.45,标准差s3=1.45.所以s3>s【总结升华】根据统计图表确定方差(标准差)的大小关系有两种方法:(1)根据统计图表中所提供的数据与方差(标准差)的计算公式求出其数值,然后比较大小;(2)若统计图表中没有反映出具体的数据或计算较为烦琐,可根据统计图表所反映的数据的波动性大小来比较大小.【即学即练】如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图,设小王与小张成绩的样本平均数分别为xA和xB,方差分别为sA2和A.xA<xB,sA2>sB2 B.xC.xA>xB,sA2>sB2 D.x【解析】选C.由题图可知,实线中的数据都大于或等于虚线中的数据,所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数,xA>x显然实线中的数据波动较大,所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差,即sA2>类型三分层随机抽样的方差(数据分析、数学运算)【典例3】(教材P213例6)在对某中学高一学生体重的调查中,采取按样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生30人,其平均数和方差分别为55和15,抽取了女生20人,其平均数和方差分别为45和20.你能由这些数据计算出总样本的平均数和方差吗?若能,则求出,不能,请说明理由.【解析】设男生的平均体重为x,方差为sx则x=55,sx2=15,男生占的比例为3050设女生的平均体重为y,方差为sy则y=45,sy2=20,女生占的比例为2050所以总样本的平均数z=35×55+2总样本的方差s2=35[sx2+(x51)2]+25[sy2+(y51)2]=35×(15+42【总结升华】分层随机抽样的方差设样本中不同层的平均数分别为x1,x2,…,xn,方差分别为s12,s22,…,sn2,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为s2=∑i=1nw【即学即练】某班为了了解学生每周购买零食的支出情况,利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下:项目学生数平均支出(元)方差男生9406女生6354估算全班学生每周购买零食费用的平均值和方差.【解析】男生占的比例为915=3女生占的比例为615=25,所以全班学生每周购买零食费用的平均值为x=35方差s2=35×[6+(4038)2]+25×[4+(3538)2]=11.【补偿训练】某高校新增设的“人工智能”专业,共招收了两个班,其中甲班30人,乙班40人,在2023年高考中,甲班学生的平均分为66