高中数学初赛试题及答案

高中数学初赛试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[25]分）

1.下列选项中，不是有理数的是（）

A.-3.14

B.0

C.√2

D.-π

2.已知函数f(x)=2x+3，那么f(-1)的值是（）

A.1

B.-1

C.5

D.-5

3.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=2，d=-1，则数列的第三项是（）

A.-1

B.0

C.1

D.3

4.若|a|=5，|b|=3，那么|a+b|的值可能是（）

A.2

B.3

C.5

D.8

5.下列选项中，不是三角函数的是（）

A.sinx

B.cosx

C.tanx

D.lnx

二、填空题（每题[5]分，共[25]分）

1.若二次方程x^2-5x+6=0的解为x1和x2，则x1+x2的值是________。

2.若sinα=1/2，且α是第二象限的角，则cosα的值是________。

3.若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第10项an的值是________。

4.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则第5项an的值是________。

5.若函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为x=a，则a的值是________。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

1.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，d=2，求该数列的前5项。

2.已知函数f(x)=2x+3，求f(-1)的值。

3.已知sinα=1/2，且α是第二象限的角，求cosα的值。

4.已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1=2，q=3，求该数列的前5项。

5.已知函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为x=a，求a的值。

四、解答题（每题[10]分，共[30]分）

6.解不等式：3x-5>2x+1。

7.已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

8.求解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=7\\

x-y=1

\end{cases}

\]

9.已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(x)在x=1时的函数值。

10.求解方程：x^3-6x^2+11x-6=0。

五、证明题（每题[10]分，共[20]分）

11.证明：对于任意实数x，有（x+1）^2≥0。

12.证明：若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则abc=0。

六、应用题（每题[10]分，共[20]分）

13.一辆汽车从A地出发，以每小时60公里的速度行驶，2小时后到达B地。然后以每小时80公里的速度返回，求汽车从B地返回A地所用的时间。

14.一块长方形土地的长是宽的两倍，如果将土地的长增加10米，宽增加5米，那么新的土地面积是原土地面积的多少倍？

试卷答案如下：

一、选择题

1.C

解析思路：有理数是可以表示为两个整数之比的数，而√2是无理数，不能表示为两个整数之比。

2.C

解析思路：将x=-1代入函数f(x)=2x+3，得到f(-1)=2*(-1)+3=1。

3.A

解析思路：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=-1，n=3，得到a3=2+(3-1)(-1)=-1。

4.C

解析思路：|a+b|的值取决于a和b的符号，当a和b同号时，|a+b|=|a|+|b|；当a和b异号时，|a+b|=|a|-|b|。由于|a|=5，|b|=3，且|a+b|的值必须大于等于0，所以|a+b|的值可能为5（当a和b同号时）。

5.D

解析思路：三角函数包括正弦、余弦、正切等，而lnx是对数函数，不属于三角函数。

二、填空题

1.8

解析思路：二次方程x^2-5x+6=0可以分解为(x-2)(x-3)=0，所以x1=2，x2=3，x1+x2=2+3=5。

2.-√3/2

解析思路：由于α是第二象限的角，sinα>0，cosα<0，根据sin^2α+cos^2α=1，可以求得cosα=-√3/2。

3.2

解析思路：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=-1，n=10，得到a10=2+(10-1)(-1)=2-9=-7。

4.6

解析思路：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，q=3，n=5，得到a5=2*3^(5-1)=2*3^4=2*81=162。

5.2

解析思路：二次函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为x=-b/2a，代入a=1，b=-4，得到x=-(-4)/2*1=2。

三、解答题

1.3,5,7,9,11

解析思路：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，得到a2=5，a3=7，a4=9，a5=11。

2.1

解析思路：将x=-1代入函数f(x)=2x+3，得到f(-1)=2*(-1)+3=1。

3.-√3/2

解析思路：由于α是第二象限的角，sinα>0，cosα<0，根据sin^2α+cos^2α=1，可以求得cosα=-√3/2。

4.2,6,18,54,162

解析思路：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，代入a1=2，q=3，得到a2=2*3，a3=2*3^2，a4=2*3^3，a5=2*3^4。

5.2

解析思路：二次函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为x=-b/2a，代入a=1，b=-4，得到x=-(-4)/2*1=2。

四、解答题

6.x>6

解析思路：将不等式3x-5>2x+1中的x项移到左边，常数项移到右边，得到x>6。

7.5

解析思路：根据勾股定理，斜边长度c=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。

8.x=2,y=1

解析思路：将第二个方程x-y=1中的x用y表示，得到x=y+1，代入第一个方程2x+3y=7，解得y=1，再代入x=y+1，得到x=2。

9.2

解析思路：将x=1代入函数f(x)=3x^2-2x+1，得到f(1)=3*1^2-2*1+1=3-2+1=2。

10.x=1,x=2,x=3

解析思路：将方程x^3-6x^2+11x-6=0因式分解，得到(x-1)(x-2)(x-3)=0，解得x=1,x=2,x=3。

五、证明题

11.证明：对于任意实数x，有（x+1）^2≥0。

解析思路：展开（x+1）^2得到x^2+2x+1，由于x^2≥0，2x≥0，1≥0，所以（x+1）^2≥0。

12.证明：若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则abc=0。

解析思路：由于a、b、c是等差数列，有b=a+d，c=a+2d，代入a+b+c=0得到3a+3d=0，即a+d=0，所以b=a，c=2a，因此abc=a*a*2a=2a^3=0。

六、应用题

13.3小时

解析思路：从A地到B地用时2小时，速度为60公里/小时，所以路程为2*60=120公里。从B地返回A地，速度为80公里/小时，所以用时为120/80=1.5小时，加上之前的2小时，总共用时3.5小时。

14.2.25倍

解析思路：原土地面积=长*宽